Doświadczenia wieloetapowe — drzewo

🎯 Po co Ci to?

Losujesz kulę, odkładasz, losujesz drugą. Bierzesz kartę, potem drugą. Test wykrywa chorobę u chorego i myli się u zdrowego. Świat losuje etapami, a najlepszym narzędziem do etapów jest rysunek: drzewo, w którym gałęzie niosą prawdopodobieństwa. Dwie proste zasady (mnóż wzdłuż, dodawaj w poprzek) załatwiają zadania, które na piechotę tonęłyby w przypadkach.

✅ Czego się nauczysz

• rysować drzewo doświadczenia wieloetapowego;
• stosować reguły: mnożenie wzdłuż gałęzi, dodawanie po trasach;
• obsługiwać losowanie bez zwracania (prawdopodobieństwa zmieniają się w locie).

📘 Wyjaśnienie

Urna: $3$ kule czerwone i $2$ niebieskie. Losujesz dwie, bez zwracania. Oto mapa całego doświadczenia:

Czytanie drzewa: dwie reguły:

📐 REGUŁY DRZEWA: (1) prawdopodobieństwo trasy (od korzenia do liścia) = iloczyn prawdopodobieństw wzdłuż gałęzi; (2) prawdopodobieństwo zdarzenia = suma prawdopodobieństw tras, które mu sprzyjają.

Skąd mnożenie? Z proporcji: w $\frac{3}{5}$ przypadków pierwsza kula jest czerwona, a z tych przypadków w $\frac{2}{4}$ druga też, czyli czerwona-czerwona zdarza się w $\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3}{10}$ wszystkich historii. Dodawanie tras to reguła sumy dla wykluczających się scenariuszy (§18.2); różne trasy nie mogą zajść naraz.

Zauważ dwie rzeczy na rycinie. Po pierwsze, bez zwracania ułamki drugiego etapu zależą od pierwszego ($\frac{2}{4}$ po czerwonej, $\frac{3}{4}$ po niebieskiej: pula się zmieniła). Po drugie, kontrola jakości: prawdopodobieństwa wszystkich liści sumują się do $1$ ($\frac{3}{10} + \frac{3}{10} + \frac{3}{10} + \frac{1}{10} = 1$ ✓); jeśli u Ciebie nie, gdzieś zjadło gałąź.

Przykład z pytaniem: jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie jednej niebieskiej? Sprzyjają dwie trasy: CN i NC, każda po $\frac{3}{10}$: razem $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$. A „co najmniej jedna niebieska"? Szybciej dopełnieniem: $1 - P(CC) = 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$; dopełnienie działa i na drzewach.

Ze zwracaniem (kula wraca do urny) drugi etap wygląda jak pierwszy: gałęzie $\frac{3}{5}$ i $\frac{2}{5}$ na obu piętrach; wtedy $P(CC) = \frac{9}{25}$. Porównaj oba warianty; zwracanie podnosi szansę powtórki, bo pula się odnawia.

💭 Pomyśl: W szufladzie jest $6$ skarpet czarnych i $4$ białe. Wyciągasz po ciemku dwie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będą do pary (obie tego samego koloru)?

Sprawdź odpowiedź

Dwie trasy sprzyjające: CC: $\frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} = \frac{30}{90}$; BB: $\frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{12}{90}$. Razem $\frac{42}{90} = \frac{7}{15} \approx 0{,}47$; mniej niż pół na pół! (Mieszane pary są ciut częstsze; sprawdź dopełnieniem.)

⚠️ Uwaga, pułapka

Na drugim piętrze drzewa ułamki liczysz przy założeniu, że pierwsze piętro już się wydarzyło: po wyjęciu czerwonej w urnie są $4$ kule, nie $5$. Odruch „zawsze $\frac{3}{5}$" to najczęstszy błąd losowań bez zwracania. Kontroluj się bilansem: gałęzie wychodzące z jednego węzła muszą sumować się do $1$ ($\frac{2}{4} + \frac{2}{4} = 1$ ✓), a wszystkie liście też do $1$.

📌 Najważniejsze w pigułce

• Trasa: mnóż wzdłuż gałęzi; zdarzenie: dodaj sprzyjające trasy.
• Bez zwracania: ułamki drugiego etapu zależą od pierwszego (pula maleje).
• Kontrole: gałęzie z węzła → suma $1$; wszystkie liście → suma $1$.
• „Co najmniej" na drzewie → dopełnienie (jedna trasa zamiast wielu).

🎒 Zadania

1. Z urny ($3$ czerwone, $2$ niebieskie) losujesz dwie kule ze zwracaniem. Narysuj drzewo i oblicz $P(\text{różne kolory})$.
2. W pudełku $5$ losów wygrywających i $15$ pustych. Kupujesz dwa losy. Oblicz $P(\text{co najmniej jedna wygrana})$.
3. Uczeń zna odpowiedź na $70%$ pytań. Losuje dwa pytania (niezależnie). Jakie jest prawdopodobieństwo, że odpowie dokładnie na jedno?

Rozwiązanie krok po kroku

1. Trasy CN i NC: $\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{5} + \frac{2}{5}\cdot\frac{3}{5} = \frac{12}{25}$.

2. Dopełnienie (obie puste): $\frac{15}{20} \cdot \frac{14}{19} = \frac{210}{380} = \frac{21}{38}$: $;P = 1 - \frac{21}{38} = \frac{17}{38} \approx 0{,}45$.

3. Trasy ZN i NZ: $0{,}7 \cdot 0{,}3 + 0{,}3 \cdot 0{,}7 = 0{,}42$.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• narysować drzewo z poprawnymi ułamkami (bilans w każdym węźle!);
• policzyć zdarzenie sumą tras albo dopełnieniem.

---