Prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa
🎯 Po co Ci to?
Test wykrywa chorobę z czułością $99%$. Twój wynik: dodatni. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jesteś chory? Niemal każdy odpowiada „$99%$", i niemal każdy się myli, czasem o rząd wielkości. Poprawną odpowiedź daje wzór Bayesa: przepis na aktualizowanie przekonań pod wpływem danych; serce współczesnej diagnostyki, filtrów spamu i uczenia maszynowego. To najbardziej praktyczna pojedyncza umiejętność całego działu.
✅ Czego się nauczysz
- liczyć prawdopodobieństwo całkowite (sklejanie scenariuszy);
- odwracać warunek wzorem Bayesa;
- rozumieć, czemu rzadkość choroby potrafi „pobić" dokładność testu.
📘 Wyjaśnienie
Krok 1: prawdopodobieństwo całkowite. Czasem $P(A)$ najłatwiej policzyć, rozbijając świat na scenariusze $B_1, B_2, \dots$ (rozłączne, wyczerpujące, jak piętra drzewa):
📐 FAKT: $;P(A) = P(B_1)P(A|B_1) + P(B_2)P(A|B_2) + \dots$; suma tras prowadzących do $A$ przez wszystkie scenariusze.
To dokładnie „dodaj trasy" z §18.3, ubrane we wzór. Przykład: dwie urny, w pierwszej $3$ białe i $1$ czarna, w drugiej $1$ biała i $3$ czarne. Rzucasz monetą, wybierasz urnę, losujesz kulę: $P(\text{biała}) = \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.
Krok 2: odwrócenie warunku. Wylosowałeś białą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi z pierwszej urny? Pytasz o $P(U_1|\text{biała})$, a znasz $P(\text{biała}|U_1)$: kierunki jak w błędzie prokuratora (§18.4). Ratunek:
📐 WZÓR BAYESA: $$P(B|A) = \frac{P(B) \cdot P(A|B)}{P(A)}$$ (w mianowniku zwykle prawdopodobieństwo całkowite z Kroku 1).
Urny: $P(U_1|\text{biała}) = \frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{3}{4}$. Sens: spośród wszystkich „białych historii" trzy czwarte biegnie przez pierwszą urnę; Bayes to udział trasy w sumie tras. Nic ponad drzewo z §18.3, tylko czytane wstecz.
Krok 3: test medyczny, obiecana bomba. Choroba dotyka $1$ osoby na $1000$. Test: wykrywa chorego w $99%$ przypadków, u zdrowego myli się w $5%$ (fałszywy alarm). Weź $100,000$ osób; najczytelniej na liczbach: chorych $100$, test łapie $99$; zdrowych $99,900$, fałszywych alarmów $5%$, czyli $4995$. Dodatnich razem: $99 + 4995 = 5094$, z czego chorych… $$P(\text{chory}|\text{dodatni}) = \frac{99}{5094} \approx 2%.$$ Nie $99$; dwa. Powód: choroba jest tak rzadka, że nawet drobny procent fałszywych alarmów w wielkiej masie zdrowych zagłusza prawdziwe trafienia. Dlatego wyniki przesiewowe potwierdza się drugim testem, po pierwszym dodatnim „prior" wynosi już $2%$, nie $0{,}1%$, i kolejny dodatni wynik znaczy dużo więcej. Aktualizowanie przekonań w rytmie danych, to jest Bayes.
💭 Pomyśl: Filtr spamu: $40%$ maili to spam; słowo „PROMOCJA" zawiera $30%$ spamu i $2%$ zwykłych maili. Przyszedł mail z „PROMOCJA". Jakie jest prawdopodobieństwo, że to spam?
Sprawdź odpowiedź
Trasy do „PROMOCJA": $0{,}4 \cdot 0{,}3 = 0{,}12$ (spam) i $0{,}6 \cdot 0{,}02 = 0{,}012$ (zwykły). Bayes: $\frac{0{,}12}{0{,}132} \approx 0{,}91$. Jedno słowo podbiło szansę spamu z $40%$ do $91%$, tak (w uproszczeniu) filtrowały pocztę pierwsze programy antyspamowe.
⚠️ Uwaga, pułapka
Najczęstszy błąd: zapomnieć o rozpowszechnieniu (priorze) i utożsamić $P(\text{chory}|\text{dodatni})$ z czułością $P(\text{dodatni}|\text{chory})$. Antidotum praktyczne: przelicz na konkretną populację ($100,000$ osób, tabelka chory/zdrowy × dodatni/ujemny), na liczbach naturalnych błąd kierunku widać gołym okiem, a wzór Bayesa wychodzi sam z dzielenia dwóch komórek.
📌 Najważniejsze w pigułce
- Całkowite: $P(A) = \sum P(B_i)P(A|B_i)$; dodaj wszystkie trasy do $A$.
- Bayes: $P(B|A) = \frac{P(B)P(A|B)}{P(A)}$; udział trasy w sumie tras; odwraca kierunek warunku.
- Rzadkość zdarzenia potrafi pobić dokładność testu (99% czułości → 2% pewności!).
- W praktyce: tabelka na $100,000$ osób zamiast żonglerki wzorami.
🎒 Zadania
- Fabryki A i B produkują odpowiednio $60%$ i $40%$ żarówek; wadliwych jest $2%$ z A i $5%$ z B. Oblicz $P(\text{wadliwa})$ oraz $P(\text{z B} \mid \text{wadliwa})$.
- W szufladzie dwie monety: uczciwa i oszukana (orzeł po obu stronach). Losujesz jedną, rzucasz: orzeł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trzymasz oszukaną?
- Wróć do testu z §18.4 zad. 3 ($200$ osób) i sprawdź, że Twoje $P(\text{cecha}|\text{dodatni}) = 0{,}72$ wychodzi też ze wzoru Bayesa.
Rozwiązanie krok po kroku
1. $P(W) = 0{,}6 \cdot 0{,}02 + 0{,}4 \cdot 0{,}05 = 0{,}012 + 0{,}02 = 0{,}032$. $;P(B|W) = \frac{0{,}02}{0{,}032} = 0{,}625$: choć B produkuje mniej, odpowiada za większość wad.
2. Trasy do orła: $\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ (uczciwa) i $\frac{1}{2}\cdot 1 = \frac{1}{2}$ (oszukana). $;P(\text{oszukana}|O) = \frac{1/2}{3/4} = \frac{2}{3}$.
3. $P(C) = \frac{40}{200} = 0{,}2$; $P(D|C) = 0{,}9$; $P(D) = \frac{50}{200} = 0{,}25$: $;P(C|D) = \frac{0{,}2 \cdot 0{,}9}{0{,}25} = 0{,}72$ ✓; tabelka i wzór to jedno.
🔍 Sprawdź, czy umiesz
- rozpisać prawdopodobieństwo całkowite po scenariuszach;
- odwrócić warunek Bayesem (i wyjaśnić wynik testu medycznego laikowi).