Schemat Bernoulliego i zmienna losowa
🎯 Po co Ci to?
Rzucasz kostką $10$ razy: jaka szansa na dokładnie dwie szóstki? Strzelasz serię rzutów wolnych, test wielokrotnego wyboru, kontrola jakości partii towaru: wszędzie ta sama próba powtarzana niezależnie. Do tego schemat Bernoulliego. A na deser pojęcie, które spina cały dział i rozlicza Lotto co do grosza: wartość oczekiwana: ile średnio wygrywasz (albo tracisz) na jednej grze.
✅ Czego się nauczysz
- stosować schemat Bernoulliego: $P(\text{dokładnie } k \text{ sukcesów w } n \text{ próbach})$;
- rozumieć zmienną losową i jej rozkład;
- [poza podstawą] liczyć wartość oczekiwaną i podejmować nią decyzje.
📘 Wyjaśnienie
📐 SCHEMAT BERNOULLIEGO: $n$ niezależnych powtórzeń tej samej próby o dwóch wynikach: „sukces" (prawdopodobieństwo $p$) i „porażka" ($1-p$). Wtedy $$P(\text{dokładnie } k \text{ sukcesów}) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}.$$
Wzór to trójwarstwowa kanapka, którą umiesz złożyć samodzielnie: jedna konkretna trasa z $k$ sukcesami (np. najpierw wszystkie sukcesy, potem porażki) ma prawdopodobieństwo $p^k(1-p)^{n-k}$ (mnożenie po niezależnych gałęziach, §18.3–18.4); takich tras jest tyle, ile sposobów rozmieszczenia $k$ sukcesów w $n$ próbach; $\binom{n}{k}$ (§17.4); trasy się wykluczają, więc dodajesz. Kombinatoryka, drzewa i niezależność w jednym wzorze; cały dział w pigułce.
Dwie szóstki w $10$ rzutach: $\binom{10}{2}\left(\frac{1}{6}\right)^2\left(\frac{5}{6}\right)^8 = 45 \cdot \frac{1}{36} \cdot 0{,}2326 \approx 0{,}29$.
[poza podstawą] Zmiennej losowej i wartości oczekiwanej nie ma w podstawie programowej w żadnym zakresie. Ta część jednostki poszerza horyzont, a matura jej nie sprawdza.
📐 DEFINICJA (zmienna losowa): przypisanie każdemu wynikowi doświadczenia liczby (wygrana w grze, liczba sukcesów, suma oczek). Jej rozkład to tabelka: możliwe wartości i ich prawdopodobieństwa. Wartość oczekiwana: $$E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots$$; średnia ważona wartości wagami-prawdopodobieństwami.
$E(X)$ czytaj jako średnią na dłuższą metę: grając wielokrotnie, tyle średnio wychodzisz na jednej grze. Kostka: $E = \frac{1+2+\dots+6}{6} = 3{,}5$; „średni rzut" to trzy i pół oczka, choć taki wynik nigdy nie wypada (wartość oczekiwana to środek ciężkości rozkładu, nie prognoza pojedynczej gry; porównaj środek ciężkości z §13.5!).
Rozliczenie Lotto. Kupon kosztuje $3$ zł. Szansa szóstki $\approx \frac{1}{14,000,000}$, przeciętna główna wygrana: powiedzmy $2,000,000$ zł (plus drobne za trójki-piątki, które łącznie dodają groszowe ułamki). Oczekiwana wygrana z samej szóstki: rzędu $2 \cdot 10^6 \cdot 7 \cdot 10^{-8} \approx 0{,}14$ zł. Mniejsze wygrane dokładają swoje, ale razem i tak zostaje wyraźnie mniej niż cena kuponu: $E$ gry jest ujemne, średnio tracisz sporą część każdej stawki, i to jest matematyczna odpowiedź na pytanie ze wstępu działu. (Czy „warto", to już pytanie o cenę emocji, nie o rachunek; matematyka uczciwie mówi, co kupujesz: marzenie, nie inwestycję.) Kasyna i ubezpieczyciele żyją z tego samego wzoru, z dodatnim $E$ po swojej stronie.
💭 Pomyśl: Gra: rzucasz kostką; gdy wypadnie szóstka, wygrywasz $10$ zł, gdy cokolwiek innego, płacisz $2$ zł. Grać czy nie grać?
Sprawdź odpowiedź
$E = \frac{1}{6} \cdot 10 + \frac{5}{6} \cdot (-2) = \frac{10 - 10}{6} = 0$. Gra sprawiedliwa, na dłuższą metę wychodzisz na zero. (Rzadki okaz: prawdziwe gry losowe mają $E < 0$ dla gracza; ktoś musi opłacić żyrandole.)
⚠️ Uwaga, pułapka
Schemat Bernoulliego wymaga niezależności i stałego $p$: losowanie bez zwracania łamie oba warunki (użyj drzewa albo kombinacji, §18.2–18.3). A przy $E(X)$ pamiętaj o znakach: koszt gry to wartość ujemna (albo odejmij stawkę na końcu; byle konsekwentnie). I nie myl $E$ z „najbardziej prawdopodobnym wynikiem": $E$ kostki to $3{,}5$, wynik niemożliwy; środek ciężkości nie musi leżeć na żadnej z wartości.
🕰️ Skąd to się wzięło
Jakob Bernoulli (XVII/XVIII w.), jeden z ośmiu matematyków w trzech pokoleniach tej niezwykłej bazylejskiej rodziny, udowodnił w dziele Ars Conjectandi pierwsze prawo wielkich liczb: częstości sukcesów zbiegają do $p$, gdy prób przybywa (granica z §11.5 spotyka losowość!). To ono tłumaczy, czemu $E(X)$ jest „średnią na dłuższą metę" i czemu kasyno z małą przewagą w $E$ wygrywa na pewno; wystarczy mu skala. Pojęcie wartości oczekiwanej jest starsze: wyrosło z listów Pascala i Fermata o przerwanej grze (§18.2); pytanie „jak sprawiedliwie podzielić pulę" to dosłownie pytanie o $E$.
📌 Najważniejsze w pigułce
- Bernoulli: $\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$; trasa × liczba tras; wymaga niezależności i stałego $p$.
- Zmienna losowa = liczby przypisane wynikom; rozkład = tabelka wartość–prawdopodobieństwo.
- $E(X) = \sum x_i p_i$: środek ciężkości rozkładu, średnia na dłuższą metę (nie prognoza!).
- Lotto: $E < 0$ na kuponie; gry komercyjne mają $E < 0$ dla gracza.
🎒 Zadania
- Rzucasz monetą $6$ razy. Oblicz $P(\text{dokładnie } 3 \text{ orły})$ i porównaj z intuicją „przecież to połowa rzutów".
- Łucznik trafia z prawdopodobieństwem $0{,}8$. Strzela $5$ razy. Oblicz $P(\text{co najmniej } 4 \text{ trafienia})$.
- Loteria: los za $5$ zł; $1$ los na $100$ wygrywa $200$ zł, $5$ losów na $100$ wygrywa $20$ zł, reszta nic. Oblicz $E$ zysku gracza i oceń grę.
Rozwiązanie krok po kroku
1. $\binom{6}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{20}{64} = 0{,}3125$: „idealna połowa" wypada w mniej niż co trzeciej serii; reszta rozkłada się na sąsiednie wyniki.
2. $P(4) + P(5) = \binom{5}{4}(0{,}8)^4(0{,}2) + (0{,}8)^5 = 0{,}4096 + 0{,}3277 \approx 0{,}74$.
3. Wygrane: $E_{\text{wygranej}} = 0{,}01 \cdot 200 + 0{,}05 \cdot 20 = 2 + 1 = 3$ zł; zysk $= 3 - 5 = -2$ zł na losie. Gracz oddaje średnio $40%$ stawki; loteria typowa.
🔍 Sprawdź, czy umiesz
- złożyć wzór Bernoulliego z trasy i liczby tras (nie z pamięci);
- ułożyć rozkład zmiennej, policzyć $E$ i zinterpretować znak wyniku.