Średnia, mediana, moda

🎯 Po co Ci to?

Czas rozbroić zagadkę ze wstępu działu. „Środek" danych można mierzyć na trzy sposoby, i te trzy liczby potrafią się drastycznie różnić na tych samych danych. Kto zna wszystkie trzy, ten wie, o co pytać, gdy słyszy „przeciętnie"; kto zna jedną, tego łatwo ograć jednym prezesem.

✅ Czego się nauczysz

• liczyć średnią arytmetyczną (też ważoną), medianę i modę;
• rozumieć odporność mediany na wartości odstające;
• dobierać miarę do sytuacji, i czytać cudze wybory podejrzliwie.

📘 Wyjaśnienie

📐 DEFINICJE: średnia arytmetyczna $\bar{x} = \frac{x_1 + \dots + x_n}{n}$ (suma przez liczbę); mediana: środkowa wartość po uporządkowaniu danych (przy parzystym $n$: średnia dwóch środkowych); moda (dominanta): wartość najczęstsza.

Firma ze wstępu, cała lista płac (w tys. zł): $2{;}\ 2{,}6{;}\ 3{;}\ 3{,}4{;}\ 3{,}8{;}\ 4{,}2{;}\ 4{,}6{;}\ 5{;}\ 20$; ośmiu pracowników i prezes. Spójrz na dane, zanim policzysz:

Średnia: $\bar{x} = \frac{48{,}6}{9} = 5{,}4$; wyższa niż osiem z dziewięciu pensji. Mediana: piąta wartość po uporządkowaniu, $3{,}8$; dokładnie „typowy pracownik". Jedna odstająca wartość wciągnęła średnią jak magnes, a mediany nawet nie drasnęła: podnieś pensję prezesa do miliona, a mediana nie drgnie (środkowa pozycja to środkowa pozycja). To się nazywa odporność, i to jest odpowiedź na zagadkę rekrutera: mówił średnią, myślałeś medianą.

Kiedy która miara?

• Średnia, gdy liczy się suma (średnia ocen decyduje o świadectwie z paskiem; średnie zużycie paliwa się liczy, bo płacisz za sumę litrów). Wrażliwa na ogony i outliers.
• Mediana, gdy pytasz o typowy przypadek w danych skośnych: płace, ceny mieszkań, czas dojazdu. GUS publikuje obie; porównanie średniej z medianą to szybki test skośności (średnia $\gg$ mediana ⇒ długi prawy ogon, jak na rycinie).
• Moda, dla danych nieliczbowych (najpopularniejszy kolor, rozmiar buta: jedyna miara, która działa!) i szczytów popularności. Może nie istnieć albo być kilka.

Do kompletu średnia ważona: gdy składniki mają różne wagi, $\bar{x} = \frac{w_1x_1 + \dots + w_kx_k}{w_1 + \dots + w_k}$. Ocena semestralna ze sprawdzianów (waga $3$) i kartkówek (waga $1$) oraz średnia z tabeli liczebności (wagi-liczebności) to jeden i ten sam wzór.

💭 Pomyśl: Wymyśl zestaw pięciu pensji, w którym średnia jest niższa od mediany. Co musi być prawdą o „ogonie" danych?

Sprawdź odpowiedź

Np. $1, 5, 5, 5, 5$ (tys. zł): mediana $5$, średnia $4{,}2$. Ogon musi ciągnąć się w dół (wartość odstająca mała); skośność lewostronna. Rzadsza w płacach, częsta np. w wynikach łatwych testów (pojedyncze wpadki ciągną średnią w dół).

⚠️ Uwaga, pułapka

Do mediany dane trzeba uporządkować: mediana nieuporządkowanej listy to błąd z gatunku niewymuszonych. Druga pułapka: średnia średnich nie jest średnią całości, gdy grupy mają różne rozmiary (średnia klasy $30$-osobowej i $10$-osobowej to nie „średnia z dwóch średnich"; potrzebna ważona wagami-liczebnościami). I nie uśredniaj rzeczy, których suma nie ma sensu (numerów butów… a jednak moda działa!).

📌 Najważniejsze w pigułce

• Średnia = suma/liczba (wrażliwa); mediana = środek po uporządkowaniu (odporna); moda = najczęstsza (działa i bez liczb).
• Średnia $\gg$ mediana ⇒ prawy ogon (prezes); porównanie obu = test skośności.
• Ważona: $\frac{\sum w_ix_i}{\sum w_i}$; oceny z wagami, $E(X)$, tabele liczebności.
• Średnich z grup nie uśredniaj po równo: waż liczebnościami.

🎒 Zadania

1. Dane: $7, 3, 9, 3, 8, 3, 6$. Oblicz średnią, medianę i modę.
2. Oceny: sprawdziany $4$ i $5$ (waga $3$), kartkówki $3, 4, 4$ (waga $1$). Oblicz średnią ważoną.
3. Mediana pensji w firmie to $4200$ zł, średnia $6100$ zł. Co można powiedzieć o rozkładzie płac, i którą liczbę poda rekruter?
4. Do danych $2, 4, 6, 8$ dołącz taką liczbę $x$, by mediana wyniosła $6$. Ile wynosi wtedy średnia (zależnie od $x$)?

Rozwiązanie krok po kroku

1. Uporządkuj: $3,3,3,6,7,8,9$. Średnia $\frac{39}{7} \approx 5{,}6$; mediana $6$ (czwarta z siedmiu); moda $3$.

2. $\frac{3(4+5) + 1(3+4+4)}{3 \cdot 2 + 3} = \frac{27 + 11}{9} = \frac{38}{9} \approx 4{,}2$.

3. Średnia wyraźnie nad medianą ⇒ prawy ogon: garstka wysokich pensji zawyża sumę; typowy pracownik zarabia ok. $4200$. Rekruter poda $6100$, teraz wiesz, o co dopytać.

4. Pięć liczb, mediana = trzecia: musi być $6 \le x$… dokładnie: uporządkowane $2,4,6,8$ z dołożonym $x \ge 6$ dają środek $6$ (dla $x < 6$ środkiem byłoby mniej). Np. $x = 10$: średnia $\frac{30}{5} = 6$; ogólnie $x \ge 6$, średnia $= \frac{20 + x}{5}$.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• policzyć trzy miary (z porządkowaniem!) i średnią ważoną;
• z pary „średnia vs mediana" wyczytać kształt rozkładu i intencję nadawcy.

---