Rozrzut — wariancja i odchylenie

[poza podstawą]

🎯 Po co Ci to?

Dwóch strzelców ma identyczną średnią: $8$ punktów. Pierwszy trafia $8, 8, 8, 8$, drugi $10, 10, 6, 6$. Komu powierzysz jedyny strzał? Średnia milczy; różnicę widzi dopiero miara rozrzutu. Bez niej każda średnia to pół prawdy: prognoza „średnio $15°$C" znaczy co innego nad morzem (od $12$ do $18$) i w górach (od $2$ do $28$). Czas nauczyć się mierzyć niepewność liczbą.

✅ Czego się nauczysz

• liczyć rozstęp, wariancję i odchylenie standardowe;
• rozumieć, czemu odchylenia się kwadratuje (i czemu potem pierwiastkuje);
• interpretować $\sigma$: typowa odległość od średniej.

📘 Wyjaśnienie

Najprostsza miara: rozstęp: największa minus najmniejsza. Szybki, ale zna tylko dwa skrajne punkty (jeden outlier i po rozstępie). Miara z prawdziwego zdarzenia patrzy na wszystkie odchylenia od średniej $x_i - \bar{x}$… tylko jak je uśrednić? Wprost się nie da: odchylenia w górę i w dół znoszą się do zera zawsze (średnia jest środkiem ciężkości; §13.5!). Trzeba najpierw zabić znaki, a matematyka wybrała kwadraty:

📐 DEFINICJE: wariancja $;\sigma^2 = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + \dots + (x_n - \bar{x})^2}{n};$ (średnia kwadratów odchyleń); odchylenie standardowe $;\sigma = \sqrt{\sigma^2}$.

Strzelcy: pierwszy ma odchylenia $0,0,0,0$, więc $\sigma = 0$ (chirurgiczna powtarzalność). Drugi: odchylenia $2, 2, -2, -2$, kwadraty po $4$: $\sigma^2 = 4$, $\sigma = 2$. Czytanie: wyniki drugiego strzelca odbiegają od średniej typowo o $2$ punkty. I to jest cała interpretacja $\sigma$: typowa odległość od średniej, w tych samych jednostkach co dane (punkty, złotówki, stopnie), bo pierwiastek odkręcił kwadraty (dlatego raportujemy $\sigma$, nie $\sigma^2$ w „punktach do kwadratu").

Czemu kwadraty, a nie np. wartości bezwzględne? Trzy powody w skrócie: kwadraty gładko się liczy (algebra z §4.2 działa, moduły łamią wzory), duże odchylenia karane są mocniej (zestawy $10, 6, 8, 8$ i $9, 7, 9, 7$ mają tę samą średnią odległość od średniej, równą $1$, ale różne $\sigma$: $\sqrt{2}$ i $1$; słusznie, bo pierwszy ma większe skrajności), a głęboka teoria (krzywa dzwonowa Gaussa; tego samego, który parował liczby w §11.4) właśnie z $\sigma$ współpracuje najlepiej. Dla wielu naturalnych danych obowiązuje reguła kciuka: około $\frac{2}{3}$ obserwacji leży w pasie $\bar{x} \pm \sigma$, a prawie wszystkie w $\bar{x} \pm 3\sigma$; pas wokół średniej łapiący „typowe" dane.

Rachunkowa rada: licz etapami w tabelce ($x_i$ → $x_i - \bar{x}$ → kwadraty → średnia → pierwiastek); kontrola po drodze: odchylenia surowe muszą sumować się do $0$.

💭 Pomyśl: Klasa A ma z klasówki $\bar{x} = 4{,}0$ i $\sigma = 0{,}3$; klasa B: $\bar{x} = 4{,}0$ i $\sigma = 1{,}1$. Opisz obie klasy po ludzku. W której łatwiej być nauczycielem?

Sprawdź odpowiedź

A: wszyscy piszą podobnie, wokół czwórki; grupa wyrównana. B: ta sama średnia, ale rozstrzelenie od dwójek do szóstek; są orły i są tonący. Nauczanie w B jest trudniejsze: jedna lekcja musi obsłużyć dwa światy. Średnia identyczna; sytuacje skrajnie różne; właśnie po to jest $\sigma$.

⚠️ Uwaga, pułapka

Nie porównuj $\sigma$ bez spojrzenia na skalę: odchylenie $50$ zł przy średniej $200$ zł to burza, przy średniej $2$ mln flauta (w razie potrzeby porównuj $\frac{\sigma}{\bar{x}}$). I pilnuj kolejności operacji: najpierw średnia, potem odchylenia od niej; „wariancja" liczona od czegokolwiek innego niż $\bar{x}$ to inna (i większa) liczba. Suma surowych odchyleń $\ne 0$? Wróć: błąd już siedzi w środku.

📌 Najważniejsze w pigułce

• Rozstęp: max − min (szybki, ślepy na środek).
• $\sigma^2$ = średnia kwadratów odchyleń od $\bar{x}$; $;\sigma = \sqrt{\sigma^2}$, w jednostkach danych.
• Interpretacja: $\sigma$ ≈ typowa odległość od średniej; $\sigma = 0$ ⇔ wszystkie dane równe.
• Reguła kciuka (dane „dzwonowate"): $\frac{2}{3}$ w $\bar{x} \pm \sigma$; kontrola: surowe odchylenia sumują się do $0$.

🎒 Zadania

1. Dane: $4, 6, 6, 8$. Oblicz $\bar{x}$, wariancję i odchylenie standardowe.
2. Temperatury dzienne w dwóch miastach mają: M1 $\bar{x} = 15°$, $\sigma = 2°$; M2 $\bar{x} = 15°$, $\sigma = 9°$. Gdzie łatwiej spakować walizkę i co realnie znaczy $\sigma = 9°$?
3. Do danych $2, 4, 6$ dołączono liczbę $4$. Co stanie się ze średnią, a co z odchyleniem standardowym: przewidź bez liczenia, potem sprawdź.

Rozwiązanie krok po kroku

1. $\bar{x} = 6$; odchylenia $-2, 0, 0, 2$ (suma $0$ ✓); kwadraty $4,0,0,4$: $\sigma^2 = 2$, $;\sigma = \sqrt{2} \approx 1{,}41$.

2. M1: dni typowo $13$–$17°$; jedna kurtka. M2: typowo $6$–$24°$, od czapki po krótki rękaw; $\sigma = 9°$ znaczy, że „średnia $15°$" prawie nic nie mówi o jutrze.

3. Średnia zostaje $4$ (dokładamy wartość równą średniej); $\sigma$ maleje: nowy punkt ma odchylenie $0$, a mianownik rośnie. Rachunek: było $\sigma^2 = \frac{8}{3} \approx 2{,}67$, jest $\frac{8}{4} = 2$ ✓.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• policzyć $\sigma$ tabelką z kontrolą zerowej sumy odchyleń;
• zinterpretować $\sigma$ w jednostkach danych („typowo o … od średniej").

---