Granica funkcji

🎯 Po co Ci to?

Funkcja $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ nie istnieje w $x = 1$ (dziura w dziedzinie: §9.2). A jednak pytanie „do czego zbliżają się wartości $f$, gdy $x$ podchodzi pod $1$?" ma doskonały sens, i konkretną odpowiedź. Granica funkcji to granica ciągu przeniesiona z „kolejnych numerów" na „podchodzenie do punktu": ostatni klocek, którego brakuje do zdefiniowania pochodnej (§21.2 czeka z niecierpliwością).

✅ Czego się nauczysz

  • rozumieć $\lim_{x \to a} f(x)$ (podchodzenie do punktu) i $\lim_{x \to \infty} f(x)$;
  • liczyć granice z dziurami metodą „skróć i podstaw";
  • rozpoznawać granice jednostronne i sytuacje bez granicy.

📘 Wyjaśnienie

📐 DEFINICJA (robocza): granica funkcji w punkcie: $\lim_{x \to a} f(x) = g$, jeśli wartości $f(x)$ zbliżają się dowolnie blisko $g$, gdy $x$ podchodzi do $a$ (z obu stron, ale bez stawania w $a$; punkt $a$ nas nie obchodzi, obchodzi nas droga do niego).

Dla porządnych funkcji w porządnych punktach granica to po prostu wartość: $\lim_{x \to 3} x^2 = 9$; podchodzisz pod $3$, wartości podchodzą pod $9$. Ciekawie robi się przy dziurach. Wróćmy do $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$: w $x = 1$ zakaz (dzielenie przez zero), ale obok $x = 1$ wolno skracać (§9.2; skracanie poza dziurą jest legalne!):

$$\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x - 1} = x + 1 \quad (x \ne 1) \qquad\Longrightarrow\qquad \lim_{x \to 1} f(x) = 1 + 1 = 2.$$

Wykres $f$ to prosta $y = x + 1$ z wyjętym punktem $(1, 2)$ (pamiętasz go z §9.2?), a granica mówi: dziura jest dokładnie na wysokości $2$. Metoda ogólna na $\frac{0}{0}$ (tak, to trzeci symbol nieoznaczony): skróć wspólny czynnik, potem podstaw. Cała maszyneria rozkładów z Działów 4 i 8 znajduje tu nowe życie.

xy−2−1123−3−2−112dziura: (0, −1)po skróceniu y = x − 1,ale x = 0 wypada z dziedziny
Prosta z pustym kółkiem w miejscu wyjętego punktu: granica funkcji w dziurze wskazuje wysokość, na której punkt by leżał. · rys. własny

Granica w nieskończoności: $\lim_{x \to \infty} f(x)$: pyta, do czego funkcja się uspokaja daleko na prawo: $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$ (hiperbola kładzie się na osi; §9.1), $\lim_{x\to\infty} \frac{2x+1}{x-3} = 2$ (dzielenie przez $x$, jak w §20.1; techniki ciągowe przenoszą się w całości).

Granice jednostronne. Czasem droga z lewej i z prawej prowadzą gdzie indziej: $\frac{1}{x}$ przy $x \to 0^+$ ucieka w $+\infty$, przy $x \to 0^-$, w $-\infty$ (dwie gałęzie hiperboli!). Zapisujemy $\lim_{x \to 0^+}$ i $\lim_{x \to 0^-}$; granica obustronna istnieje tylko, gdy obie jednostronne są równe. To rozstrzyga też, kiedy granicy nie ma: skok wartości (lewa $\ne$ prawa) albo ucieczka w nieskończoność.

💭 Pomyśl: Oblicz $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$, i powiedz, co ta liczba mówi o wykresie.

Sprawdź odpowiedź

Skróć: $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2 \to 4$. Wykres to prosta $y = x+2$ z dziurą w $(2, 4)$; granica wskazuje wysokość dziury. (Za chwilę, w §21.2, dokładnie taki iloraz z dziurą stanie się pochodną.)

⚠️ Uwaga, pułapka

$\lim_{x \to a} f(x)$ nie pyta o $f(a)$: funkcja może w $a$ nie istnieć (dziura), a granicę mieć; może też istnieć z wartością inną niż granica (punkt „przestawiony"). Odruch „granica = podstaw $a$" działa tylko dla funkcji ciągłych (o nich za chwilę: §20.3) i przy $\frac{0}{0}$ prowadzi donikąd: zero w mianowniku to sygnał „przekształć", nie „poddaj się" ani „pisz $\infty$" (przy $\frac{0}{0}$ wynik bywa dowolną liczbą!).

📌 Najważniejsze w pigułce

  • $\lim_{x\to a} f(x)$ = dokąd zmierzają wartości po drodze do $a$ ($a$ samo: nieistotne).
  • $\frac{0}{0}$: skróć wspólny czynnik (rozkłady!), potem podstaw; granica = wysokość dziury.
  • $x \to \infty$: techniki ciągowe (dzielenie przez najwyższą potęgę).
  • Jednostronne $x \to a^\pm$; obustronna istnieje $\iff$ lewa $=$ prawa.

🎒 Zadania

  1. Oblicz: $\lim_{x \to 5} (2x - 3)$; $;\lim_{x \to -1} \frac{x^2 - 1}{x + 1}$.
  2. Oblicz $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 3}$ oraz $\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + x}{2x^2 - 7}$.
  3. Zbadaj granice jednostronne $\frac{|x|}{x}$ przy $x \to 0$ i rozstrzygnij, czy istnieje granica obustronna.
Rozwiązanie krok po kroku

1. Podstawienie (funkcja porządna): $7$. Drugie: $\frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = x - 1 \to -2$.

2. Rozkład: $\frac{(x-2)(x-3)}{x-3} = x - 2 \to 1$. Drugie: podziel przez $x^2$: $\to \frac{4}{2} = 2$.

3. Dla $x > 0$: $\frac{x}{x} = 1$; dla $x < 0$: $\frac{-x}{x} = -1$. Granice: $1$ (prawa) i $-1$ (lewa); różne, więc granica obustronna nie istnieje (wykres skacze przez zero; dwie półki).

🔍 Sprawdź, czy umiesz

  • policzyć granicę typu $\frac{0}{0}$ metodą „skróć i podstaw";
  • zbadać granice jednostronne i orzec o istnieniu obustronnej.

Ucz się tej jednostki z asystentem