Ciągłość

🎯 Po co Ci to?

Wielokrotnie w tym przewodniku mówiliśmy „wykres nie przeskoczy osi, nie odrywając ołówka" (§5.3: istnienie miejsca zerowego). To była intuicja na słowo honoru. Teraz honor odzyskuje pokrycie: ciągłość, własność „bez rozrywania", dostaje ścisłą definicję przez granice, a twierdzenie o przyjmowaniu wartości pośrednich zamienia dawną obietnicę w narzędzie, którym dowodzi się istnienia rozwiązań równań nie do rozwiązania.

✅ Czego się nauczysz

  • definiować ciągłość w punkcie ($\lim = f(a)$) i rozpoznawać nieciągłości;
  • wiedzieć, które funkcje są ciągłe (cały Twój zwierzyniec!);
  • stosować własność Darboux do lokalizowania pierwiastków.

📘 Wyjaśnienie

📐 DEFINICJA (ciągłość w punkcie): funkcja $f$ jest ciągła w $a$, gdy $$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$$; granica istnieje, wartość istnieje i są równe: droga prowadzi dokładnie tam, gdzie funkcja stoi. Funkcja ciągła na przedziale = ciągła w każdym jego punkcie.

To definicja-spinacz: łączy trzy rzeczy, które mogą się popsuć osobno. Dziura ($f(a)$ nie istnieje, granica tak, jak $\frac{x^2-1}{x-1}$), skok (granice jednostronne różne, jak $\frac{|x|}{x}$; typowe dla cenników: taryfa do 30 km i powyżej), ucieczka (granica nieskończona, jak $\frac{1}{x}$ w zerze). Każda z tych awarii to inny sposób „oderwania ołówka".

Dobra wiadomość: wszystko, co hodowałeś w tym przewodniku, jest ciągłe na swoich dziedzinach; wielomiany, wymierne, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne, pierwiastki; oraz ich sumy, iloczyny i złożenia (to arytmetyka granic z §20.1 w akcji: granica sumy = suma granic = suma wartości). Dlatego przez trzy części liczyłeś granice „podstawieniem", dla funkcji ciągłych to legalne z definicji.

A teraz wypłata z intuicji o ołówku:

📐 TWIERDZENIE (własność Darboux: o wartości pośredniej): funkcja ciągła na $[a, b]$ przyjmuje po drodze każdą wartość między $f(a)$ i $f(b)$. W szczególności: jeśli $f(a)$ i $f(b)$ mają różne znaki, to w $(a, b)$ istnieje pierwiastek $f(x) = 0$.

Przykład z mocą: równanie $x^3 + x - 1 = 0$ nie łamie się żadną szkolną metodą (kandydaci wymierni $\pm 1$ zawodzą; §8.3). Ale $f(0) = -1 < 0$ i $f(1) = 1 > 0$, a wielomian jest ciągły: pierwiastek istnieje między $0$ a $1$. Połowienie przedziału ($f(0{,}5) < 0$ → pierwiastek w $(0{,}5;,1)$; $f(0{,}75) > 0$ → w $(0{,}5;,0{,}75)$…) zacieśnia go dowolnie, tak właśnie komputery znajdują pierwiastki „nie do znalezienia". Dowód istnienia + algorytm w jednym twierdzeniu; sprawdzian z §5.3 (zadanie o funkcji rosnącej z ołówkiem) właśnie dostał podstawę prawną.

💭 Pomyśl: Czy równanie $\cos x = x$ ma rozwiązanie? (Wskazówka: zbadaj $f(x) = \cos x - x$ na $[0, \frac{\pi}{2}]$.)

Sprawdź odpowiedź

$f(0) = 1 > 0$, $;f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 - \frac{\pi}{2} < 0$; $f$ ciągła → pierwiastek istnieje (okolice $0{,}739$: tzw. liczba Dottie; naciskaj cos na kalkulatorze w radianach zaczynając od dowolnej liczby, a zbiegniesz właśnie do niej). Fala spotyka prostą: Darboux gwarantuje, gdzie.

⚠️ Uwaga, pułapka

Darboux wymaga ciągłości na całym przedziale: $\frac{1}{x}$ ma $f(-1) = -1 < 0$ i $f(1) = 1 > 0$, a pierwiastka nie ma, bo w zerze rozrywa się na dwie gałęzie (przeskoczyła oś „w powietrzu", przez nieciągłość). Zanim powołasz się na znaki na końcach, sprawdź, czy między nimi nie ma dziury, skoku ani ucieczki. I odwrotna przestroga: równe znaki na końcach nie wykluczają pierwiastka (parabola $x^2 - 1$ na $[-2, 2]$: oba końce dodatnie, pierwiastki dwa).

📌 Najważniejsze w pigułce

  • Ciągłość w $a$: granica $=$ wartość; awarie: dziura / skok / ucieczka.
  • Cały szkolny zwierzyniec funkcji jest ciągły na dziedzinach (stąd „granica przez podstawienie").
  • Darboux: ciągła na $[a,b]$ przyjmuje wszystko pomiędzy; różne znaki końców ⇒ pierwiastek.
  • Połowienie przedziału = Darboux jako algorytm; ciągłość na CAŁYM przedziale obowiązkowa.

🎒 Zadania

  1. Zbadaj ciągłość w $x = 2$ funkcji: $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ dla $x \ne 2$ oraz $f(2) = 4$. A gdyby $f(2) = 5$?
  2. Wykaż, że równanie $x^3 - 6x + 2 = 0$ ma pierwiastek w przedziale $(0, 1)$, i drugi w $(2, 3)$.
  3. Cennik parkingu: $5$ zł za każdą rozpoczętą godzinę. Naszkicuj koszt jako funkcję czasu i wskaż punkty nieciągłości. Jakiego typu to nieciągłości?
Rozwiązanie krok po kroku

1. Granica: $\lim_{x\to 2} (x+2) = 4$. Przy $f(2) = 4$: granica $=$ wartość; ciągła (dziura załatana idealnie). Przy $f(2) = 5$: granica $4 \ne 5$; nieciągła (punkt przestawiony nad dziurą).

2. $f(0) = 2 > 0$, $f(1) = -3 < 0$ → pierwiastek w $(0,1)$. $;f(2) = -2 < 0$, $f(3) = 11 > 0$ → drugi w $(2,3)$. (Wielomian ciągły; Darboux dwukrotnie.)

3. Schodki: koszt skacze o $5$ zł w $t = 1, 2, 3, \dots$ godz.: nieciągłości typu skok (granica lewa $\ne$ prawa). Między skokami funkcja stała; „rozpoczęta godzina" to matematycznie funkcja schodkowa.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

  • rozstrzygnąć ciągłość w punkcie przez porównanie granicy z wartością;
  • użyć Darboux do dowodu istnienia i zlokalizowania pierwiastka.

Ucz się tej jednostki z asystentem