Iloraz różnicowy
🎯 Po co Ci to?
Zanim zmierzysz tempo „w chwili", naucz się mierzyć je na odcinku, to umiesz od zawsze: $180$ km w $2$ godziny to średnio $90$ km/h. Iloraz różnicowy to ta sama idea ubrana w język funkcji: przyrost wartości przez przyrost argumentu. Geometrycznie: nachylenie siecznej. To ostatni przystanek przed pochodną; wszystko, co tu policzysz, w §21.2 pojedzie do granicy.
✅ Czego się nauczysz
- liczyć iloraz różnicowy $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ i interpretować go w kontekstach;
- widzieć go jako nachylenie siecznej (i krewnego współczynnika $a$ z §7.1);
- rozumieć, czemu średnie tempo nie wystarcza, i co z tym zrobimy.
📘 Wyjaśnienie
📐 DEFINICJA (iloraz różnicowy funkcji $f$ na przedziale $[a, b]$): $$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$; przyrost wartości przypadający na jednostkę przyrostu argumentu: średnie tempo zmiany.
Znasz go dłużej, niż myślisz. Dla funkcji liniowej to dokładnie współczynnik kierunkowy $a$: stały na każdym odcinku (§7.1: „tempo"). Dla pozostałych funkcji zależy od przedziału, i to jest cała różnica między światem prostych a resztą świata. Weź $f(x) = x^2$ (droga spadającego kamienia w umownych jednostkach): na $[1, 3]$: $\frac{9 - 1}{2} = 4$; na $[1, 1{,}5]$: $\frac{2{,}25 - 1}{0{,}5} = 2{,}5$; na $[1, 1{,}1]$: $\frac{1{,}21 - 1}{0{,}1} = 2{,}1$. Średnie tempo w okolicy $x = 1$ zmienia się w zależności od tego, jak szeroko patrzysz.
Geometria: iloraz różnicowy to nachylenie siecznej, prostej przez punkty $(a, f(a))$ i $(b, f(b))$ (wzór na nachylenie z dwóch punktów, §7.1, słowo w słowo). Interpretacje kontekstowe: średnia prędkość (droga/czas), średnie tempo wzrostu populacji, średni koszt dodatkowej sztuki; wszędzie „ile efektu na jednostkę przyczyny, licząc hurtowo".
I obserwacja, która za chwilę zmieni wszystko. Policzone ilorazy $4$; $2{,}5$; $2{,}1$, dla coraz krótszych przedziałów zaczynających się w $1$: do czegoś zmierzają. Weź przedział $[1, 1+h]$ i policz na literach (algebra z §4.2!): $$\frac{(1+h)^2 - 1}{h} = \frac{2h + h^2}{h} = 2 + h.$$ Dla $h = 2$: $4$ ✓; dla $h = 0{,}5$: $2{,}5$ ✓; dla $h = 0{,}1$: $2{,}1$ ✓. A gdy $h$ maleje do zera… $2 + h \to 2$. Średnie tempa mają granicę. Nadaj jej imię w następnej jednostce.
💭 Pomyśl: Populacja bakterii: $N(t) = t^2 + 10$ (tys. sztuk po $t$ godzinach). Oblicz średnie tempo wzrostu między $2$. a $4$. godziną, z jednostką!
Sprawdź odpowiedź
$\frac{N(4) - N(2)}{2} = \frac{26 - 14}{2} = 6$ tys. sztuk na godzinę. Jednostka ilorazu = jednostka wartości przez jednostkę argumentu: pilnuj jej, ona niesie sens (§2.5).
⚠️ Uwaga, pułapka
Średnie tempo maskuje to, co działo się wewnątrz przedziału: samochód mógł jechać $140$ i stać w korku, a średnia wyjdzie $90$. Iloraz różnicowy z definicji nie widzi środka; widzi końce. Nie wnioskuj więc ze średniego tempa o chwilowym (jeszcze nie!), od tego będzie pochodna. I drobiazg rachunkowy: kolejność spójna w liczniku i mianowniku ($f(b)-f(a)$ nad $b-a$, nie na krzyż); inaczej znak tempa kłamie.
📌 Najważniejsze w pigułce
- $\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$: średnie tempo; geometrycznie: nachylenie siecznej.
- Dla liniowej: stałe ($= a$); dla innych: zależy od przedziału.
- Jednostka: wartość/argument (km/h, tys./godz., zł/sztuka).
- Na literach: $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$; dla $x^2$ w $a=1$: $2 + h$, i to ma granicę.
🎒 Zadania
- Dla $f(x) = x^2 - 3x$ oblicz iloraz różnicowy na $[2, 5]$ i na $[2, 2{,}5]$.
- Temperatura pacjenta: $37{,}0°$ o 8:00, $39{,}4°$ o 14:00. Podaj średnie tempo zmiany (z jednostką) i zinterpretuj.
- Dla $f(x) = x^2$ wyprowadź iloraz różnicowy na $[3, 3+h]$ i podaj, do czego zmierza przy $h \to 0$.
Rozwiązanie krok po kroku
1. $\frac{f(5)-f(2)}{3} = \frac{10 - (-2)}{3} = 4$; $;\frac{f(2{,}5)-f(2)}{0{,}5} = \frac{-1{,}25 + 2}{0{,}5} = 1{,}5$.
2. $\frac{39{,}4 - 37{,}0}{6} = 0{,}4$ °C/h: gorączka narastała średnio o $0{,}4$ stopnia na godzinę.
3. $\frac{(3+h)^2 - 9}{h} = \frac{6h + h^2}{h} = 6 + h \to 6$. (W $x = 3$ parabola „przyspiesza" trzykrotnie mocniej niż w $x = 1$: za chwilę nazwiemy to $f'(3) = 6$.)
🔍 Sprawdź, czy umiesz
- policzyć iloraz różnicowy liczbowo i na literach (z $h$);
- podać jego interpretację i jednostkę w kontekście.