Pochodna i styczna

🎯 Po co Ci to?

Oto chwila, na którą pracowały trzy działy. Iloraz różnicowy z $h$ w mianowniku to przy $h \to 0$ symbol $\frac{0}{0}$, ale Ty umiesz takie granice (§20.2: skróć i podstaw!). Wykonaj to przejście, a dostaniesz liczbę mierzącą tempo zmiany dokładnie w punkcie: prędkościomierz, koszt krańcowy, nachylenie stycznej. Jedno pojęcie, trzy twarze: nazywa się pochodna.

✅ Czego się nauczysz

• definiować pochodną jako granicę ilorazu różnicowego (i liczyć ją z definicji);
• stosować wzory: $(x^n)' = nx^{n-1}$ oraz pochodną sumy i stałej krotności;
• różniczkować iloczyn, iloraz i funkcję złożoną oraz potęgę o dowolnym wykładniku rzeczywistym;
• pisać równanie stycznej do wykresu.

📘 Wyjaśnienie

📐 DEFINICJA (pochodna funkcji $f$ w punkcie $a$): $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$ (o ile granica istnieje); chwilowe tempo zmiany $f$ w punkcie $a$.

Rachunek z §21.1 był już dowodem: dla $f(x) = x^2$ iloraz w punkcie $a$ wynosi $\frac{(a+h)^2 - a^2}{h} = 2a + h \to 2a$, więc $(x^2)' = 2x$. W $x = 1$ tempo $2$, w $x = 3$ tempo $6$; parabola ma w każdym punkcie inną prędkość wspinaczki, i pochodna jest funkcją, która ją raportuje.

Geometria. Sieczna przez $(a, f(a))$ i punkt obok miała nachylenie = iloraz różnicowy. Gdy $h \to 0$, drugi punkt zsuwa się do pierwszego, a sieczne kładą się na jednej granicznej prostej:

📐 FAKT: $f'(a)$ to nachylenie stycznej do wykresu w punkcie $(a, f(a))$; styczna ma równanie $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ (prosta przez punkt o znanym nachyleniu; §15.2 słowo w słowo).

Styczna to „prosta najlepiej udająca funkcję w pobliżu punktu": lokalne przybliżenie krzywego świata prostą linijką. Dlatego pochodna jest wszędzie: nauka przybliża skomplikowane zjawiska liniowo „w małym", a pochodna mówi, jaką prostą wziąć.

Wzory zamiast granic. Z definicji policzono raz na zawsze (dla $x^3$: $\frac{(a+h)^3 - a^3}{h} = 3a^2 + 3ah + h^2 \to 3a^2$; wzór z §4.3 pracuje!):

$$(x^n)' = n,x^{n-1}, \qquad (c)' = 0, \qquad (c \cdot f)' = c \cdot f', \qquad (f + g)' = f' + g'.$$

Stała ma tempo zero (nie zmienia się), mnożnik przechodzi na tempo, tempa się dodają. To wystarcza na wszystkie wielomiany: $(2x^3 - 5x^2 + 7x - 1)' = 6x^2 - 10x + 7$; potęga spada o piętro, wykładnik schodzi przed front. Po dwóch rachunkach z definicji wzory wolno kochać bez wyrzutów.

Iloczyn, iloraz, złożenie. Wielomiany to nie wszystko. Trzy reguły obsługują resztę:

$$(f \cdot g)' = f'g + fg', \qquad \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} ;;(g \ne 0), \qquad \big(f(g(x))\big)' = f'\big(g(x)\big) \cdot g'(x).$$

Skąd reguła iloczynu? Dodaj i odejmij w liczniku ilorazu różnicowego $f(x),g(x+h)$: $$\frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h} = \frac{f(x+h) - f(x)}{h}, g(x+h) + f(x),\frac{g(x+h) - g(x)}{h} ;\longrightarrow; f'(x),g(x) + f(x),g'(x),$$ bo funkcja mająca pochodną jest ciągła, więc $g(x+h) \to g(x)$. Uwaga: pochodna iloczynu to nie iloczyn pochodnych; sprawdź na $x \cdot x$: $(x^2)' = 2x$, a $1 \cdot 1 = 1$.

Reguła łańcuchowa mówi, że tempa się mnożą: gdy $g$ zmienia się trzy razy szybciej niż $x$, a $f$ dwa razy szybciej niż $g$, całość zmienia się sześć razy szybciej. Przykład: $\big((3x + 1)^5\big)' = 5(3x + 1)^4 \cdot 3 = 15(3x + 1)^4$. Z reguły ilorazu dostajesz $\left(\frac{1}{x}\right)' = \frac{0 \cdot x - 1 \cdot 1}{x^2} = -\frac{1}{x^2}$, czyli wzór $(x^n)' = nx^{n-1}$ dla $n = -1$. Ten wzór działa dla każdego rzeczywistego wykładnika $r$ (przy $x > 0$): $(x^r)' = r,x^{r-1}$, np. $(\sqrt{x})' = \left(x^{1/2}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

💭 Pomyśl: Droga kamienia: $s(t) = 5t^2$ (metry po $t$ sekundach). Oblicz $s'(t)$ i prędkość w trzeciej sekundzie. Rozpoznajesz szkolny wzór?

Sprawdź odpowiedź

$s'(t) = 10t$; $;s'(3) = 30$ m/s. To fizyczne $v = gt$ (przy $g \approx 10$): wzór z lekcji fizyki jest pochodną wzoru na drogę, teraz wiesz, skąd fizyka bierze swoje wzory.

⚠️ Uwaga, pułapka

$f'(a)$ to liczba (tempo w punkcie $a$), a $f'$: funkcja (tempo w każdym punkcie); mieszanie zapisów mści się przy stycznej: w równaniu $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ musi stać liczba $f'(a)$, nie wzór z $x$. Klasyk błędu: styczna do $y = x^2$ w $a = 3$ to $y = 6(x-3) + 9 = 6x - 9$, nie „$y = 2x \cdot (x-3) + 9$". Policz nachylenie, zanim napiszesz prostą. I pamiętaj: pochodna nie wszędzie istnieje, w „dzióbku" wykresu $|x|$ (§6.4) sieczne z lewej i prawej mają różne granice ($-1$ i $1$), więc $f'(0)$ nie ma; gładkość to przywilej, nie prawo.

📌 Najważniejsze w pigułce

• $f'(a) = \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$: chwilowe tempo; graniczne nachylenie siecznych.
• Styczna: $y = f'(a)(x-a) + f(a)$; $f'(a)$ to liczba, $f'$ to funkcja.
• Wzory: $(x^n)' = nx^{n-1}$ (także $(x^r)' = rx^{r-1}$); stała → $0$; liniowość (suma, krotność); wielomiany z głowy.
• Iloczyn $f'g + fg'$; iloraz $\frac{f'g - fg'}{g^2}$; złożenie $f'(g(x)) \cdot g'(x)$ (tempa się mnożą).
• W dzióbkach pochodnej brak (granice jednostronne różne).

🎒 Zadania

1. Oblicz z definicji $f'(2)$ dla $f(x) = 3x^2$.
2. Oblicz pochodne: $f(x) = x^4 - 2x^3 + 5x - 8$; $;g(x) = \frac{x^6}{6} + \pi$.
3. Napisz równanie stycznej do $y = x^3 - 2x$ w punkcie o odciętej $a = 1$. Sprawdź, że punkt styczności spełnia oba równania.
4. W którym punkcie paraboli $y = x^2 - 4x$ styczna jest pozioma? Co to za punkt geometrycznie?
5. Oblicz pochodne: $f(x) = (x^2 + 1)(x - 3)$; $;g(x) = \frac{x}{x + 1}$; $;h(x) = \sqrt{2x + 5}$.

Rozwiązanie krok po kroku

1. $\frac{3(2+h)^2 - 12}{h} = \frac{12h + 3h^2}{h} = 12 + 3h \to 12$.

2. $f' = 4x^3 - 6x^2 + 5$; $;g' = x^5$ (a $\pi$ to stała: $0$, nie daj się symbolowi).

3. $f(1) = -1$; $f'(x) = 3x^2 - 2$, $f'(1) = 1$: styczna $y = 1 \cdot (x - 1) - 1 = x - 2$. Punkt $(1, -1)$: krzywa ✓, prosta $1 - 2 = -1$ ✓.

4. Pozioma ⇔ $f'(x) = 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$: punkt $(2, -4)$; wierzchołek paraboli ($p = -\frac{b}{2a} = 2$, §7.3 ✓). Styczna pozioma na szczycie/dnie; zapamiętaj, §21.4 zrobi z tego metodę.

5. $f' = 2x(x - 3) + (x^2 + 1) \cdot 1 = 3x^2 - 6x + 1$. $;g' = \frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$. $;h = (2x + 5)^{1/2}$, więc $h' = \frac{1}{2}(2x + 5)^{-1/2} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x + 5}}$.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• policzyć pochodną z definicji (raz!) i wzorami (zawsze), także iloczynu, ilorazu i funkcji złożonej;
• napisać styczną z liczbowym nachyleniem i sprawdzić punkt styczności.

---