Pochodna a monotoniczność
🎯 Po co Ci to?
Skoro $f'$ to tempo zmiany, to jego znak mówi, w którą stronę funkcja zmierza: dodatnie tempo: pod górę, ujemne: w dół. Ta banalna z pozoru obserwacja to przemysłowa metoda badania monotoniczności: zamiast żonglować nierównością $f(x_1) < f(x_2)$ z definicji (§5.3), rozwiązujesz jedną nierówność $f'(x) > 0$. Cała Twoja maszyneria nierówności (kwadratowe §7.5, wielomianowe §8.5) dostaje nową posadę.
✅ Czego się nauczysz
- wiązać znak $f'$ z monotonicznością $f$;
- wyznaczać przedziały monotoniczności wielomianów;
- czytać tabelę znaków pochodnej.
📘 Wyjaśnienie
📐 TWIERDZENIE: jeśli $f'(x) > 0$ dla wszystkich $x$ z przedziału, to $f$ jest na nim rosnąca; jeśli $f'(x) < 0$, to malejąca.
Intuicja jest kinowa: wykres to trasa, $f'$ to nachylenie stycznej-drogowskazu w każdym punkcie; drogowskazy stale pod górę; jedziesz pod górę. (Formalny dowód wymaga twierdzenia o wartości średniej; zostawiamy go studiom; kierunek „rosnąca ⇒ $f' \ge 0$" jest oczywisty z definicji granicy.)
Procedura, na przykładzie $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$:
- Pochodna: $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x-3)(x+1)$ (rozkład; §7.5).
- Znak pochodnej: parabola z ramionami w górę, zera $-1$ i $3$: dodatnia na zewnątrz, ujemna między (szkic z §7.5!).
- Wniosek: $f$ rośnie na $(-\infty, -1]$ i na $[3, \infty)$, maleje na $[-1, 3]$.
Wszystko, czego wymagała ta procedura, umiesz od dawna: pochodna tylko przetłumaczyła pytanie o monotoniczność na pytanie o znak, a znaki to Twoja specjalność od §5.3. Zauważ punkty przełomu: w $x = -1$ wzrost przechodzi w spadek (szczyt!), w $x = 3$ spadek we wzrost (dno). W obu $f' = 0$: drogowskaz poziomy. To obserwacja-zwiastun następnej jednostki.
Wyniki wygodnie spina tabela znaków: w wierszach $x$ (przedziały wyznaczone zerami $f'$), znak $f'$, strzałka $f$ ($\nearrow$/$\searrow$). Ta tabela to szkic wykresu w formie księgowej, w §21.6 rozrośnie się w pełny portret.
💭 Pomyśl: Wykaż jednym zdaniem (przez pochodną), że $f(x) = x^3 + 5x - 2$ jest rosnąca na całej dziedzinie, i przypomnij, co to daje przy równaniu $f(x) = 0$ (§20.3 sprawdzian!).
Sprawdź odpowiedź
$f'(x) = 3x^2 + 5 \ge 5 > 0$ zawsze (kwadrat nieujemny): rosnąca wszędzie. Skutek: równanie $x^3 + 5x - 2 = 0$ ma co najwyżej jedno rozwiązanie (a z Darboux: dokładnie jedno, bo $f(0) < 0 < f(1)$). Pochodna + granice = kontrola liczby pierwiastków.
⚠️ Uwaga, pułapka
Kierunek wnioskowania: znak $f'$ na przedziale → monotoniczność na tym przedziale. Nie sklejaj przedziałów przez dziury dziedziny: $\frac{1}{x}$ ma $f'(x) = -\frac{1}{x^2} < 0$ wszędzie, a nie jest malejąca na całej dziedzinie ($f(-1) = -1 < 1 = f(1)$! §9.1 ostrzegał); malejąca jest na każdej połówce osobno. Monotoniczność to własność przedziału bez przerw.
📌 Najważniejsze w pigułce
- $f' > 0$ na przedziale ⇒ rosnąca; $f' < 0$ ⇒ malejąca (drogowskazy).
- Procedura: pochodna → rozkład → znak (szkic paraboli/wężyk) → strzałki.
- Punkty przełomu monotoniczności: $f' = 0$ (drogowskaz poziomy); zwiastun ekstremów.
- Nie sklejaj wniosków przez dziury dziedziny.
🎒 Zadania
- Wyznacz przedziały monotoniczności $f(x) = x^2 - 6x + 1$ i porównaj z wiedzą o wierzchołku (§7.3).
- Wyznacz przedziały monotoniczności $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 4$.
- Dla jakich wartości $x$ funkcja $f(x) = x^3 - 12x$ maleje?
Rozwiązanie krok po kroku
1. $f' = 2x - 6$: ujemna dla $x < 3$, dodatnia dla $x > 3$; maleje do $3$, rośnie od $3$. Wierzchołek w $p = 3$ ✓; pochodna odtwarza §7.3.
2. $f' = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x-2)(x+1)$: rośnie na $(-\infty, -1]$ i $[2, \infty)$, maleje na $[-1, 2]$.
3. $f' = 3x^2 - 12 = 3(x-2)(x+2) < 0$ dla $x \in (-2, 2)$, tam maleje.
🔍 Sprawdź, czy umiesz
- przełożyć monotoniczność na znak pochodnej i rozwiązać nierówność;
- zbudować tabelę znaków ze strzałkami.