Ekstrema

🎯 Po co Ci to?

W §21.3 zauważyłeś: tam, gdzie wzrost przechodzi w spadek, jest szczyt; gdzie spadek we wzrost, dno. Te punkty (ekstrema lokalne) to miejsca, o które pyta świat: najwyższy zysk, najniższy koszt, największa wytrzymałość. Wierzchołek paraboli z §7.3 był jednym szczytem jednej rodziny funkcji; pochodna znajduje szczyty wszystkich.

✅ Czego się nauczysz

• definiować ekstrema lokalne i odróżniać je od globalnych (§21.5);
• stosować warunek konieczny ($f' = 0$) i badać zmianę znaku $f'$;
• omijać pułapkę punktów siodłowych ($f' = 0$ bez ekstremum).

📘 Wyjaśnienie

📐 DEFINICJA (ekstremum lokalne): $f$ ma w $x_0$ maksimum lokalne, gdy w pewnym otoczeniu $x_0$ wartości nie przekraczają $f(x_0)$ (minimum analogicznie). „Lokalne" = najwyższy punkt okolicy, niekoniecznie całego wykresu (szczyt pagórka, nie Everest).

Jak ich szukać? Na szczycie gładkiej górki styczna jest pozioma (zauważyłeś to w §21.2 zad. 4):

📐 WARUNEK KONIECZNY: jeśli $f$ ma ekstremum w $x_0$ (i $f'(x_0)$ istnieje), to $f'(x_0) = 0$.

Uwaga na logikę (§1.2: implikacja, nie równoważność!): warunek jest konieczny, nie wystarczający. Kontrprzykład-strażnik: $f(x) = x^3$ ma $f'(0) = 0$, a w zerze nie ma ekstremum; wykres na moment się prostuje (drogowskaz poziomy) i jedzie dalej pod górę. Punkty z $f' = 0$ to dopiero kandydaci; rozstrzyga to, co pochodna robi wokół:

📐 WARUNEK WYSTARCZAJĄCY: jeśli w $x_0$ pochodna zmienia znak z $+$ na $-$: maksimum lokalne; z $-$ na $+$: minimum. Bez zmiany znaku: brak ekstremum.

To dokładnie tabela znaków z §21.3, czytana w punktach przełomu. Dokończmy tamten przykład: $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$, $;f' = 3(x-3)(x+1)$. W $x = -1$: znak $+ \to -$; maksimum lokalne, $f(-1) = 10$. W $x = 3$: $- \to +$; minimum lokalne, $f(3) = -22$. (A $x^3$: pochodna $3x^2$ jest $\ge 0$ po obu stronach zera; znak bez zmiany, kandydat odpada ✓.)

Procedura kompletna: pochodna → zera pochodnej (kandydaci) → tabela znaków → werdykt + wartości. Zauważ, że sama wartość $f(x_0)$ liczona jest na końcu; najpierw ustalasz, czy to szczyt, potem jak wysoki.

💭 Pomyśl: Ile ekstremów lokalnych może mieć wielomian stopnia $4$? A ile musi mieć co najmniej?

Sprawdź odpowiedź

$f'$ ma stopień $3$, co najwyżej $3$ zera, więc co najwyżej $3$ ekstrema (np. kształt litery W: min-max-min). Co najmniej: jedno; wykres stopnia parzystego z obu stron ucieka w tę samą nieskończoność (§8.5), więc gdzieś musi zawrócić. (Np. $x^4$: jedno minimum, zero maksimów.)

⚠️ Uwaga, pułapka

Dwa grzechy główne. Pierwszy: ogłosić ekstremum z samego $f'(x_0) = 0$, bez tabeli znaków ($x^3$ czeka na nieuważnych, maturalne klucze też). Drugi: pomylić wartość ekstremum ($f(x_0)$, wysokość szczytu) z miejscem ($x_0$, gdzie stoi); pytanie „podaj maksimum lokalne" zwykle chce wartości, „gdzie funkcja ma maksimum" miejsca. Czytaj pytanie, odpowiadaj właściwą współrzędną.

📌 Najważniejsze w pigułce

• Ekstremum lokalne = rekord okolicy; konieczne: $f'(x_0) = 0$ (kandydaci).
• Rozstrzyga zmiana znaku $f'$: $+\to-$ max, $-\to+$ min, bez zmiany: nic ($x^3$!).
• Procedura: $f' \to$ zera $\to$ tabela $\to$ werdykt $\to$ wartość.
• Miejsce ($x_0$) ≠ wartość ($f(x_0)$): odpowiadaj na właściwe pytanie.

🎒 Zadania

1. Wyznacz ekstrema lokalne $f(x) = x^3 - 12x + 3$.
2. Wyznacz ekstrema $f(x) = x^4 - 8x^2$ i naszkicuj tabelę znaków.
3. Uzasadnij, że $f(x) = x^5 + 2x$ nie ma żadnych ekstremów lokalnych.

Rozwiązanie krok po kroku

1. $f' = 3x^2 - 12 = 3(x-2)(x+2)$: w $-2$ znak $+\to-$: max lokalne $f(-2) = 19$; w $2$: $-\to+$: min lokalne $f(2) = -13$.

2. $f' = 4x^3 - 16x = 4x(x-2)(x+2)$: zera $-2, 0, 2$. Wężyk (§8.5) od prawej: $+$ za $2$, $-$ na $(0,2)$, $+$ na $(-2,0)$, $-$ przed $-2$. Werdykty: min w $\pm 2$ (wartość $-16$ w obu), max w $0$ (wartość $0$). Kształt W ✓.

3. $f' = 5x^4 + 2 \ge 2 > 0$: pochodna nigdy nie zeruje się (brak kandydatów) i funkcja stale rośnie. Zero ekstremów.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• przeprowadzić pełną procedurę z tabelą znaków i wartościami;
• podać kontrprzykład $x^3$ i wyjaśnić, czemu $f' = 0$ nie wystarcza.

---