Optymalizacja

🎯 Po co Ci to?

Kulminacja przewodnika. W §7.4 znajdowałeś „najlepszy wybór", ale tylko tam, gdzie wielkość była parabolą: wierzchołek robił robotę. Świat rzadko jest paraboliczny: objętość pudełka to wielomian trzeciego stopnia (§8.1), koszty bywają wymierne. Pochodna zdejmuje ograniczenie: każda gładka wielkość ujawnia swoje optimum tam, gdzie $f' = 0$. Ten sam pięciokrokowy schemat, mocniejszy silnik, i cała inżynieria u Twoich stóp.

✅ Czego się nauczysz

  • prowadzić pełny schemat optymalizacji z pochodną w roli wyszukiwarki;
  • rozróżniać ekstremum lokalne od globalnego na przedziale (brzegi!);
  • rozwiązać klasyki: pudełko, ogrodzenie, koszt.

📘 Wyjaśnienie

Schemat z §7.4 w wersji ostatecznej:

  1. Zmienna i funkcja celu: nazwij, co regulujesz ($x$) i co maksymalizujesz ($V(x)$, $P(x)$, $K(x)$).
  2. Dziedzina zadania: co jest fizycznie wykonalne (zwykle przedział).
  3. Pochodna i kandydaci: $f' = 0$ wewnątrz dziedziny.
  4. Werdykt: zmiana znaku (§21.4) albo porównanie wartości kandydatów i brzegów.
  5. Odpowiedź słowami, z jednostką, w języku zadania.

Klasyk pełnym rachunkiem: pudełko z §8.1 wraca po finał: z kartonu $18 \times 18$ cm wycinasz z rogów kwadraty $x$ i zaginasz. $V(x) = x(18 - 2x)^2$. Dziedzina: $x \in (0, 9)$. Pochodna (rozwiń: $V = 324x - 72x^2 + 4x^3$): $$V'(x) = 324 - 144x + 12x^2 = 12(x^2 - 12x + 27) = 12(x - 3)(x - 9).$$ Kandydat w dziedzinie: $x = 3$ (dziewiątka to brzeg-degenerat). Znak $V'$: $+$ przed $3$, $-$ za (parabola ramionami w górę, jesteśmy między zerami); maksimum. $V(3) = 3 \cdot 144 = 432$ cm³. Odpowiedź: wycinaj kwadraty $3 \times 3$; więcej niż $432$ cm³ z tej kartki nie wyciśniesz. Zauważ, że bez pochodnej byłeś wobec tego zadania bezradny: wielomian trzeciego stopnia nie ma wierzchołka z §7.3.

Lokalny vs globalny. Na przedziale domkniętym $[a, b]$ największa wartość funkcji ciągłej istnieje zawsze i siedzi albo w kandydacie ($f' = 0$), albo na brzegu: porównaj wszystkie wartości i wybierz (pamiętasz brzeg z §7.4 zad. 4? tu to samo, ogólniej). Na przedziale otwartym brzegów nie ma, ale bywa, że optimum też nie ma (funkcja ucieka do granicy): tabela znaków rozstrzyga.

💭 Pomyśl: Liczba dodatnia $x$ i jej odwrotność: zminimalizuj $f(x) = x + \frac{1}{x}$ na $(0, \infty)$. (Pochodna $\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}$ wynika z reguły ilorazu, §21.2.)

Sprawdź odpowiedź

$f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} = 0 \Rightarrow x = 1$ (dodatnie). Znak: $-$ przed, $+$ za; minimum: $f(1) = 2$. Liczba plus odwrotność nigdy nie schodzi poniżej $2$, a równość tylko dla $1$; ładny fakt, którym w §7.4 nie umieliśmy rządzić (to nie parabola!).

⚠️ Uwaga, pułapka

Największy grzech optymalizacji: zapomnieć o brzegach i dziedzinie. Kandydat z $f' = 0$ bywa pobity przez brzeg (fabryka: produkuj maksimum linii, choć „optimum rachunkowe" wyszło wyżej; poza mocami). Odpowiadaj też na pytanie zadania: pytali o wymiary, podaj wymiary; pytali o objętość, podaj objętość. Po pięciu krokach rachunku łatwo oddać nie tę liczbę (§21.4 déjà vu).

📌 Najważniejsze w pigułce

  • Schemat: zmienna → dziedzina → $f' = 0$ → werdykt (znaki albo porównanie z brzegami) → odpowiedź słowami.
  • Na $[a,b]$: globalne = max/min z {kandydaci, brzegi} (ciągłość gwarantuje istnienie).
  • Pochodna uwalnia optymalizację od parabol (sześciany, wymierne…).
  • Dziedzina i brzeg to nie biurokracja, to połowa zadań.

🎒 Zadania

  1. Rozłóż $24$ na dwa dodatnie składniki tak, by iloczyn pierwszego i kwadratu drugiego był największy.
  2. Z drutu długości $60$ cm budujesz szkielet prostopadłościanu o podstawie kwadratowej. Jakie wymiary dają największą objętość?
  3. Znajdź największą i najmniejszą wartość $f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$ na przedziale $[-1, 4]$.
Rozwiązanie krok po kroku

1. Składniki $x$ i $24 - x$; cel $f(x) = x(24-x)^2$ na $(0, 24)$. $;f' = (24-x)^2 - 2x(24-x) = (24-x)(24 - 3x)$: kandydat $x = 8$ (i brzeg-degenerat $24$). Znak $+\to-$ w $8$: maksimum $f(8) = 8 \cdot 256 = 2048$. Podział: $8$ i $16$.

2. Krawędzie: $8$ krawędzi podstaw (razem $8a$) i $4$ pionowe $h$: $8a + 4h = 60 \Rightarrow h = 15 - 2a$. $;V(a) = a^2(15 - 2a)$, dziedzina $(0; 7{,}5)$. $;V' = 30a - 6a^2 = 6a(5 - a)$: kandydat $a = 5$, znak $+\to-$: max. Wymiary $5 \times 5 \times 5$; sześcian, $V = 125$ cm³. (Symetria wygrywa, jak w §7.4.)

3. $f' = 3x(x - 2)$: kandydaci $0$ i $2$. Wartości: $f(-1) = -3$, $f(0) = 1$, $f(2) = -3$, $f(4) = 17$. Największa: $17$ (brzeg!), najmniejsza: $-3$ (dwukrotnie: brzeg i minimum lokalne). Kandydat $x=0$ (max lokalny, $1$) przegrał z brzegiem $4$; podręcznikowa lekcja pokory.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

  • przeprowadzić schemat od treści do odpowiedzi słowami (z dziedziną!);
  • znaleźć globalne ekstremum na przedziale porównaniem kandydatów i brzegów.

Ucz się tej jednostki z asystentem