Badanie przebiegu zmienności

🎯 Po co Ci to?

Finałowy popis: dostać wzór, oddać pełny portret funkcji. Dziedzina, granice na krańcach, asymptoty, znaki, monotoniczność, ekstrema, szkic wykresu. Każdy składnik masz z osobna; badanie przebiegu zmienności to choreografia, w której wszystkie kroki idą w ustalonym porządku, a na papierze wyrasta wykres funkcji, której nigdy wcześniej nie widziałeś. To jest dokładnie to „czytanie funkcji", które obiecywał Dział 5, w wersji mistrzowskiej.

✅ Czego się nauczysz

• prowadzić pełny protokół badania funkcji (kolejność kroków!);
• spinać wyniki w tabelę przebiegu i szkic wykresu;
• kontrolować spójność (granice vs strzałki vs ekstrema).

📘 Wyjaśnienie

Protokół (dla wielomianu; przy wymiernych dochodzą asymptoty z §20.4):

1. Dziedzina (wielomian: $\mathbb{R}$; wymierna: wyklucz zera mianownika).
2. Granice na krańcach ($x \to \pm\infty$; wymierna: też przy dziurach dziedziny → asymptoty).
3. Punkty charakterystyczne: $f(0)$ (przecięcie z osią $y$), miejsca zerowe, jeśli policzalne (§8.3–8.4).
4. Pochodna: zera i znaki → monotoniczność i ekstrema (§21.3–21.4).
5. Tabela przebiegu: wiersze $x$ / $f'$ / $f$; strzałki i wartości ekstremów.
6. Szkic: od asymptot/krańców, przez ekstrema, po zera, i kontrola spójności.

Przykład kompletny: $f(x) = x^3 - 3x + 1$.

1. Dziedzina $\mathbb{R}$. 2. $x \to -\infty$: $f \to -\infty$; $;x \to \infty$: $f \to \infty$ (rządzi $x^3$, §8.5). 3. $f(0) = 1$; zera niepoliczalne szkolnie; zostawiamy (za chwilę i tak je zlokalizujemy!). 4. $f' = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$: rośnie do $-1$, maleje na $[-1, 1]$, rośnie od $1$; max lokalne $f(-1) = 3$, min lokalne $f(1) = -1$. 5 do 6. Tabela i szkic: z lewej z dołu, szczyt $(−1, 3)$, zjazd przez $f(0)=1$ do dna $(1, -1)$, i w górę.

Kontrola spójności, trzy szybkie testy: strzałki muszą zgadzać się z granicami (zaczynamy z $-\infty$ i rośniemy ✓); między szczytem nad osią a dnem pod osią wykres przecina oś (Darboux, §20.3! zero między $-1$ a $1$, a z granic jeszcze dwa: przed $-1$ i za $1$; kubek w kubek trzy pierwiastki, choć „nie umieliśmy" ich policzyć); wartości ekstremów wpisane w tabelę, nie tylko miejsca (§21.4). Portret gotowy, i to portret z dowodami, nie ze skanowania kalkulatorem.

💭 Pomyśl: Ile miejsc zerowych ma $g(x) = x^3 - 3x + 3$? (To samo $f$ przesunięte o $2$ w górę; Dział 6 w akcji. Nie licz; przeczytaj z portretu.)

Sprawdź odpowiedź

Szczyt ląduje na $(−1, 5)$, dno na $(1, 1)$: oba nad osią. Z lewej funkcja przychodzi z $-\infty$, więc przecina oś raz przed szczytem; potem już nigdy nie schodzi pod zero. Jedno miejsce zerowe. Portret odpowiada na pytania, których wzór nie zdradza wprost.

⚠️ Uwaga, pułapka

Kolejność kroków to nie pedanteria: pochodna liczona przed dziedziną prowadzi do „ekstremów" poza dziedziną, a szkic bez granic, do wykresów lewitujących wbrew krańcom. I nie myl ról: zera $f$ to przecięcia z osią (krok 3), zera $f'$ to kandydaci na ekstrema (krok 4); wpisanie jednych za drugie to najczęstsza katastrofa tabel. Nagłówki wierszy tabeli pisz zawsze: $x$, $f'(x)$, $f(x)$.

📌 Najważniejsze w pigułce

• Protokół: dziedzina → granice/asymptoty → $f(0)$, zera → $f'$: znaki, ekstrema → tabela → szkic.
• Tabela przebiegu: $x$ / $f'$ / $f$ ze strzałkami i wartościami ekstremów.
• Kontrole: strzałki vs granice; Darboux zlicza zera z położenia ekstremów.
• Zera $f$ ≠ zera $f'$: dwie różne rubryki portretu.

🎒 Zadania

1. Zbadaj przebieg zmienności $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ (pełny protokół; zera policzalne!).
2. Zbadaj $f(x) = x^4 - 2x^2$ i podaj, ile ma miejsc zerowych: najpierw z portretu, potem sprawdź algebrą (podstawienie $t = x^2$, §8.4).
3. Na podstawie badania z przykładu głównego ($x^3 - 3x + 1$) wskaż przedziały, w których leżą wszystkie trzy pierwiastki.

Rozwiązanie krok po kroku

1. Dziedzina $\mathbb{R}$; granice $\mp\infty$. Zera: $x(x-3)^2 = 0$: $;0$ i $3$ (dwukrotne; dotknięcie, §8.5). $;f' = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)$: rośnie do $1$, maleje na $[1,3]$, rośnie od $3$; max $f(1) = 4$, min $f(3) = 0$; dno dokładnie na osi (stąd dotknięcie ✓). Szkic: z dołu przez $(0,0)$ na szczyt $(1,4)$, zjazd do $(3,0)$, w górę.

2. $f' = 4x^3 - 4x = 4x(x-1)(x+1)$: minima $f(\pm 1) = -1$, max lokalny $f(0) = 0$. Portret (kształt W z czubkiem środkowym na osi): zera; środkowy szczyt dotyka osi w $0$, a każde ramię W przecina oś raz: razem trzy ($0$ podwójne plus $\pm\sqrt{2}$). Algebra: $x^2(x^2 - 2) = 0$ ✓.

3. Szczyt $(-1, 3)$ nad osią, dno $(1, -1)$ pod osią, granice $\mp\infty$: pierwiastki w $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$ i $(1, \infty)$; dokładniej: Darboux na $f(-2) = -1 < 0 < f(-1) = 3$ daje $(-2, -1)$; $;f(0) = 1 > 0 > f(1) = -1$ daje $(0, 1)$; $;f(1) < 0 < f(2) = 3$ daje $(1, 2)$.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• przeprowadzić pełny protokół i zszyć wyniki w tabelę oraz szkic;
• odczytać z portretu liczbę i położenie miejsc zerowych (Darboux!).

---