Własności logarytmów w akcji

🎯 Po co Ci to?

To dla tej jednej własności Napier w ogóle wymyślił logarytmy, i to ona czyni je potężnym narzędziem, a nie ciekawostką. Logarytm zamienia mnożenie na dodawanie. Kiedy to zobaczysz i udowodnisz, logarytmy przestaną być zbiorem reguł do wykucia, a staną się zrozumiałym mechanizmem.

✅ Czego się nauczysz

• stosować i udowadniać własności logarytmów;
• rozbijać złożone logarytmy na prostsze;

📘 Wyjaśnienie

Trzy główne własności (zakładamy $a>0$, $a\ne 1$, $x,y>0$): $$\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y, \qquad \log_a!\frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y, \qquad \log_a(x^n) = n\log_a x.$$

Pierwsza to serce wynalazku Napiera: iloczyn w środku → suma na zewnątrz. Dawniej, żeby pomnożyć dwie wielkie liczby, odczytywano z tablic ich logarytmy, dodawano je i odczytywano wynik z powrotem. Godziny pracy skracały się do minut.

Skąd te własności? Wprost z definicji i praw potęg: oto dowód pierwszej:

Dowód. Niech $\log_a x = m$ i $\log_a y = n$. Z definicji logarytmu znaczy to $x = a^m$ i $y = a^n$. Wtedy $$xy = a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$ (użyliśmy prawa potęg z §3.1). Ale „$xy = a^{\text{coś}}$" to właśnie definicja logarytmu: $\log_a(xy) = m + n = \log_a x + \log_a y$. ∎

Widać, że własności logarytmów to cień praw potęg: logarytm „tłumaczy" mnożenie potęg na dodawanie wykładników.

📌 Najważniejsze w pigułce

• $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$: mnożenie → dodawanie (rdzeń pomysłu Napiera).
• $\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$, $;\log_a(x^n)=n\log_a x$.
• Własności logarytmów to cień praw potęg.

🎒 Zadania

1. Zapisz jako jeden logarytm: $\log_2 5 + \log_2 3$; $;\log 100 - \log 4$.
2. Oblicz, korzystając z własności: $\log_2 (8 \cdot 16)$; $;\log_5 125^2$.
3. Udowodnij własność $\log_a(x^n) = n\log_a x$ (naśladuj dowód z tekstu).

Rozwiązanie krok po kroku

1. Suma → logarytm iloczynu: $\log_2 5+\log_2 3=\log_2(5\cdot3)=\log_2 15$. Różnica → logarytm ilorazu: $\log 100-\log 4=\log\tfrac{100}{4}=\log 25$.

2. (a) $\log_2(8\cdot16)=\log_2 8+\log_2 16=3+4=7$. (b) $\log_5(125^2)=2\log_5 125=2\cdot3=6$.

3. Niech $\log_a x=m$, czyli $x=a^m$. Wtedy $x^n=(a^m)^n=a^{mn}$ (prawo potęg), więc $\log_a(x^n)=mn=n\log_a x$. ∎

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• stosować i uzasadniać własności logarytmów;
• zamienić iloczyn/iloraz/potęgę pod logarytmem na sumę/różnicę/wielokrotność.

---