Twierdzenie cosinusów

🎯 Po co Ci to?

Pitagoras działa tylko w trójkącie prostokątnym, a świat rzadko ustawia się pod kątem prostym: nawigator zna dwa kursy i przebyte odległości, geodeta dwa boki i kąt między nimi. Twierdzenie cosinusów uwalnia rachunek z klatki kąta prostego i pozwala policzyć trzeci bok, gdy znasz dwa pozostałe i kąt między nimi. Pitagoras okaże się jego szczególnym przypadkiem.

✅ Czego się nauczysz

  • stosować twierdzenie cosinusów: „Pitagorasa z poprawką";
  • udowodnić je i zobaczyć, skąd bierze się poprawka;
  • rozpoznawać rodzaj trójkąta (ostrokątny, prostokątny, rozwartokątny) po długościach boków.

📘 Wyjaśnienie

Umowa notacyjna: w trójkącie $ABC$ bok $a$ leży naprzeciw kąta $\alpha$, $b$ naprzeciw $\beta$, $c$ naprzeciw $\gamma$.

📐 TWIERDZENIE COSINUSÓW: $;c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$ (i analogicznie dla pozostałych boków).

Czytaj to jako Pitagorasa z poprawką: gdy $\gamma = 90°$, poprawka znika ($\cos 90° = 0$) i zostaje czysty $c^2 = a^2 + b^2$ (§13.4); Pitagoras okazuje się szczególnym przypadkiem. Kąt ostry ($\cos\gamma > 0$) skraca bok naprzeciw, rozwarty ($\cos\gamma < 0$) wydłuża; znak poprawki mówi, w którą stronę trójkąt „otwiera ramiona".

Skąd ta poprawka? Wystarczy opuścić wysokość i dwa razy użyć Pitagorasa:

Dowód (dla kąta ostrego $\gamma$). Opuść wysokość $h$ z wierzchołka $A$ na prostą $BC$; niech $D$ będzie jej spodkiem, a $x = |CD|$. W trójkącie prostokątnym $ACD$: $h^2 = b^2 - x^2$ oraz $x = b\cos\gamma$ (definicja cosinusa z §12.1). W trójkącie prostokątnym $ABD$ odcinek $|BD| = a - x$, więc $$c^2 = h^2 + (a-x)^2 = (b^2 - x^2) + a^2 - 2ax + x^2 = a^2 + b^2 - 2ax.$$ Podstawiając $x = b\cos\gamma$, dostajemy $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$. ∎

Dla kąta rozwartego rachunek jest ten sam, tylko spodek wysokości wypada poza bokiem, a $\cos\gamma < 0$, i właśnie dlatego poprawka zmienia znak na dodatni.

Kiedy go używać? Decydują dane: kąt między dwoma bokami albo trzy boki. To jedyne twierdzenie, które nie potrzebuje pary „bok i kąt naprzeciw niego". Trzy kąty nie wystarczą nigdy: kształt znasz, rozmiaru nie (podobieństwo z §14.3: takich trójkątów jest nieskończenie wiele).

Przykład nawigacyjny: dwa statki wypływają z portu kursami rozchylonymi o $60°$; po godzinie są $10$ i $14$ mil od portu. Odległość między nimi? Kąt między znanymi bokami → cosinusów: $d^2 = 100 + 196 - 2 \cdot 10 \cdot 14 \cdot \cos 60° = 296 - 140 = 156$, więc $d = \sqrt{156} \approx 12{,}5$ mili.

Rozpoznawanie trójkąta po bokach. Odwróć wzór: znak wyrażenia $a^2 + b^2 - c^2$ (gdzie $c$ to bok najdłuższy) mówi o kącie naprzeciw niego. Dodatni → kąt ostry, zero → prosty (twierdzenie odwrotne do Pitagorasa), ujemny → rozwarty. Środkowy przypadek to zarazem dowód twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa: jeśli $a^2 + b^2 = c^2$, to z twierdzenia cosinusów $2ab\cos\gamma = a^2 + b^2 - c^2 = 0$, więc $\cos\gamma = 0$, a jedynym kątem od $0°$ do $180°$ o cosinusie zero jest $90°$ (§12.1). $\blacksquare$

💭 Pomyśl: Boki trójkąta to $4$, $5$ i $8$. Czy kąt naprzeciw najdłuższego boku jest ostry, prosty, czy rozwarty?

Sprawdź odpowiedź

$4^2 + 5^2 = 41$, a $8^2 = 64$. Skoro $41 < 64$, poprawka musi być dodatnia, czyli $\cos\gamma < 0$: kąt jest rozwarty. (Rachunkiem: $\cos\gamma = \frac{41-64}{2\cdot4\cdot5} = -0{,}575$.)

⚠️ Uwaga, pułapka

Kąt $\gamma$ we wzorze to kąt naprzeciw liczonego boku $c$ (czyli ten między bokami $a$ i $b$); pomylenie ról to klasyka błędów. Pilnuj też znaku: dla kąta rozwartego $\cos\gamma < 0$, więc poprawka $-2ab\cos\gamma$ staje się dodatnia i bok wychodzi dłuższy, nie krótszy (znaki funkcji właśnie zarobiły na siebie).

📌 Najważniejsze w pigułce

  • Cosinusów: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$; Pitagoras z poprawką; $\gamma$ między $a$ i $b$.
  • Dowód: opuść wysokość i użyj Pitagorasa dwa razy; $x = b\cos\gamma$ wnosi poprawkę.
  • Dane pasujące: kąt między bokami albo trzy boki. Trzy kąty → za mało.
  • Znak $a^2+b^2-c^2$ rozpoznaje trójkąt: $+$ ostrokątny, $0$ prostokątny, $-$ rozwartokątny.

🎒 Zadania

  1. Boki trójkąta: $5$, $7$, $8$. Oblicz cosinus kąta naprzeciw boku $7$, a potem sam kąt.
  2. Dwie proste drogi rozchodzą się z ronda pod kątem $120°$. Rowerzyści przejechali nimi $9$ km i $15$ km. Jak daleko są od siebie w linii prostej?
  3. Sprawdź, nie licząc kątów, czy trójkąt o bokach $6$, $8$, $11$ jest ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny.
Rozwiązanie krok po kroku

1. Trzy boki → cosinusów: $49 = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cos\gamma \Rightarrow \cos\gamma = \frac{40}{80} = \frac{1}{2} \Rightarrow \gamma = 60°$.

2. $d^2 = 81 + 225 - 2 \cdot 9 \cdot 15 \cdot \cos 120° = 306 - 270 \cdot (-\tfrac{1}{2}) = 306 + 135 = 441 \Rightarrow d = 21$ km. (Rozwarty kąt dodał: znak zadziałał.)

3. Najdłuższy bok to $11$: $6^2 + 8^2 = 100$, a $11^2 = 121$. Skoro $100 < 121$, kąt naprzeciw jest rozwarty, więc trójkąt jest rozwartokątny.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

  • zastosować twierdzenie cosinusów przy kącie między bokami i przy trzech bokach;
  • odtworzyć jego dowód i wskazać, skąd bierze się poprawka;
  • obsłużyć kąt rozwarty (znak cosinusa) i rozpoznać rodzaj trójkąta po bokach.

Ucz się tej jednostki z asystentem