Twierdzenie sinusów
🎯 Po co Ci to?
Twierdzenie cosinusów (§14.5) radzi sobie, gdy znasz kąt między bokami albo trzy boki. Ale nawigator częściej ma dwa namiary i jeden bok, a geodeta dwa kąty i bok. Wtedy szybsza jest prosta proporcja, która przy okazji odsłania niespodziankę: w tej proporcji siedzi promień okręgu opisanego.
✅ Czego się nauczysz
- stosować twierdzenie sinusów (z okręgiem opisanym w tle);
- wybierać właściwe twierdzenie pod układ danych;
- rozstrzygać dwuznaczność sinusa.
📘 Wyjaśnienie
📐 TWIERDZENIE SINUSÓW: $;\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R$, gdzie $R$ to promień okręgu opisanego.
Sens: im większy kąt, tym dłuższy bok naprzeciw, i to w dokładnie tej samej proporcji dla wszystkich trzech par. A skąd $2R$? To ukłon w stronę §14.1: kąt wpisany $\alpha$ i kąt środkowy $2\alpha$ opierają się na tym samym łuku co bok $a$; chwila rachunku na trójkącie równoramiennym z promieni daje $a = 2R\sin\alpha$. Kąty wpisane pracują pod maską.
Które twierdzenie kiedy? Decydują dane:
- kąt między dwoma bokami (albo trzy boki) → cosinusów (§14.5);
- para bok + kąt naprzeciw (i cokolwiek trzeciego) → sinusów (szybsza proporcja);
- trzy kąty → za mało: kształt znasz, rozmiaru nie (§14.3).
💭 Pomyśl: W trójkącie $a = 6$, $\alpha = 30°$. Jaki jest promień okręgu opisanego?
Sprawdź odpowiedź
$\frac{a}{\sin\alpha} = 2R \Rightarrow 2R = \frac{6}{0{,}5} = 12 \Rightarrow R = 6$. Jedna para „bok–kąt naprzeciw" wystarcza; reszta trójkąta może się zmieniać, a okrąg opisany trzyma rozmiar.
⚠️ Uwaga, pułapka
Uwaga na dwuznaczność: $\sin\alpha = 0{,}5$ daje $\alpha = 30°$ lub $150°$ (bo $\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha$, §12.2). Czasem obie wersje trójkąta naprawdę istnieją i trzeba rozstrzygnąć z kontekstu, np. sprawdzając, czy suma kątów nie przekroczy $180°$.
📌 Najważniejsze w pigułce
- Sinusów: $\frac{a}{\sin\alpha} = 2R$; para bok–kąt naprzeciw; rodowód w kątach wpisanych.
- Dobór: kąt między bokami / 3 boki → cosinusów; para naprzeciwległa → sinusów; 3 kąty → za mało.
- Sinus nie rozróżnia $\alpha$ od $180° - \alpha$: sprawdzaj obie możliwości.
🎒 Zadania
- W trójkącie $b = 8$, $\beta = 45°$, $\gamma = 60°$. Oblicz $c$.
- W trójkącie $a = 10$, $\alpha = 45°$, $\beta = 60°$. Oblicz $b$ i promień okręgu opisanego.
Rozwiązanie krok po kroku
1. Sinusów: $\frac{c}{\sin 60°} = \frac{8}{\sin 45°} \Rightarrow c = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{2}/2} = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{6} \approx 9{,}8$.
2. $2R = \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{10}{\sqrt{2}/2} = 10\sqrt{2}$, więc $R = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07$. Dalej $b = 2R\sin\beta = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{6} \approx 12{,}2$.
🔍 Sprawdź, czy umiesz
- zastosować twierdzenie sinusów i powiązać je z promieniem okręgu opisanego;
- wybrać twierdzenie pod dane;
- rozstrzygnąć dwuznaczność sinusa.