Liczby pierwsze i złożone, rozkład

🎯 Po co Ci to?

Liczby składają się z klocków jak klocki LEGO. Klocek, którego nie da się rozłupać na mniejsze klocki (poza $1$ i sobą), nazywamy pierwszym. Reszta dodatnich (poza $1$) to złożone. Rozkład na pierwsze to przepis składu. PP obcina zakres, i to jest dobra wiadomość: nie rozkładasz milionów. Rozpoznajesz pierwsze jednocyfrowe i dwucyfrowe (albo większe, gdy wystarczy cecha). Rozkładasz co najwyżej trzycyfrowe, w których co najwyżej jeden czynnik pierwszy jest $>10$. Jeśli w zadaniu wychodzi inaczej — to już poza tą jednostką, nie „nie umiesz matmy".

✅ Czego się nauczysz

Po tej jednostce:

• odróżniasz pierwsze, złożone i jedynkę;
• korzystasz z małego sita Eratostenesa ($1$–$50$) jako mapy, nie jako kary;
• rozkładasz na czynniki pierwsze w limicie PP;
• sprawdzasz „czy pierwsze" cechami, zanim zaczniesz dzielić na oślep.

🔁 Przypomnij sobie

Cechy z 3.1. Dzielenie z resztą z 2.2. $1$ dzieli każdą liczbę — ale $1$ nie jest pierwsza. To osobny status; na egzaminie zdanie „$1$ jest pierwsza" to klasyczny fałsz.

📘 Wyjaśnienie

Pierwsza: naturalna $>1$, która ma dokładnie dwa dzielniki dodatnie: $1$ i siebie. Lista na start: $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,\ldots$ Jedyna parzysta pierwsza to $2$ (reszta parzystych ma dzielnik $2$).

Złożona: $>1$ i nie pierwsza — ma dzielnik „w środku". $4,6,8,9,10,12,\ldots$

Jedynka: ani pierwsza, ani złożona. Jeden dzielnik: ona sama.

Sito Eratostenesa (małe). Wypisujesz $1$–$50$. Skreślasz $1$. Zostawiasz $2$, skreślasz resztę parzystych. Zostawiasz $3$, skreślasz wielokrotności $3$ (które jeszcze żyją). Potem $5$, $7$. Następna byłaby $11$, ale $11^2=121>50$, więc po $7$ wszystkie ocalałe $\le 50$ są pierwsze. To nie jest algorytm na $10,000$ w arkuszu. To mapa klocków, żebyś nie zgadywał, czy $49$ jest pierwsze ($49=7\cdot 7$).

PP wprost dopuszcza zresztą strategię „wypisz wszystkie i policz": gdy obiektów jest na tyle mało, że lista mieści się na kartce (dzielniki $36$, pierwsze między $20$ a $30$), pełne wypisanie jest legalnym tokiem rozwiązania. Warunek jeden: wypisuj systematycznie, parami albo po kolei, żeby nic nie uciekło.

Czy $n$ dwucyfrowe jest pierwsze? Wystarczy sprawdzić dzielenie przez pierwsze $\le\sqrt{n}$. Dla dwucyfrowych praktycznie: cechy $2,3,5$ (i $9$ jako ostrzejsze $3$), potem próba przez $7,11,13,\ldots$ aż do pierwszych, których kwadrat nie przekracza $n$. $91=7\cdot 13$: cechy $2,3,5$ milczą, ale $7$ łapie. Nie musisz znać „wyglądu" $91$.

Dla trzycyfrowych PP nie każe orzekać pierwszości gołym okiem. Wolno, gdy cecha wystarczy („parzysta $>2$ → złożona"). Nie rozkładaj $143$ na siłę, jeśli wychodzą dwa czynniki $>10$ ($11\cdot 13$) — to granica, którą arkusz raczej ominie albo poda w kontekście cech.

Rozkład — drzewo. Dziel przez najmniejszą pierwszą, która wchodzi (cecha albo próba). $180$: parzysta → $2$, $90$ → $2$, $45$ suma $9$ → $3$, $15$ → $3$, $5$ pierwsze. $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$. Zapis z potęgami (dział 8 dopiero uczy nazwy, ale $2\cdot 2=2^2$ tu jest skrótem powtórzeń — legalnym w rozkładzie).

Limit: trzycyfrowa, co najwyżej jeden czynnik $>10$. $180$ jest OK (wszystkie $\le 5$). $154=2\cdot 7\cdot 11$: jeden czynnik ($11$) większy od $10$, OK. $187=11\cdot 17$: dwa czynniki $>10$, czyli poza obowiązkiem tej jednostki.

💭 Pomyśl: Które są pierwsze, które złożone, co z $1$? Lista: $1$, $2$, $9$, $17$, $27$, $49$. Nie zgaduj $49$.

Sprawdź odpowiedź

$1$: ani. $2$: pierwsza. $9=3\cdot 3$: złożona. $17$: pierwsza (nie dzieli się przez $2,3,5$; $7^2=49>17$). $27=3^3$: złożona (suma $9$, cecha $3$). $49=7\cdot 7$: złożona. Sito do $50$ pokazuje $49$ skreślone przy $7$.

📐 DEFINICJA — liczba pierwsza: liczba naturalna większa od $1$, której jedynymi dzielnikami dodatnimi są $1$ i ona sama.

Po ludzku: klocek, którego nie rozłupiesz na mniejsze klocki $>1$. Czym to NIE jest: $1$; liczba nieparzysta (9 nie jest pierwsza); „duża liczba wyglądająca poważnie".

📐 DEFINICJA — rozkład na czynniki pierwsze (zakres PP): przedstawienie liczby naturalnej $>1$ jako iloczynu liczb pierwszych (z powtórzeniami), dla liczb co najwyżej trzycyfrowych, w których co najwyżej jeden czynnik pierwszy jest większy od $10$.

Po ludzku: przepis składu z klocków-pierwszych, bez potworów. Czym to NIE jest: dowolna suma; rozkład $1$; obowiązek rozkładu czterocyfrowych.

⚠️ Uwaga, pułapka

1. $1$ jest pierwsza. Nie.
2. Wszystkie nieparzyste są pierwsze. $9,15,21,25,27,33,35,49$.
3. $2$ nie jest pierwsza, bo parzysta. Jest — jedyna taka.
4. Rozkład „na cokolwiek". $12=4\cdot 3$ to nie koniec: $4$ nie jest pierwsze. Do $2\cdot 2\cdot 3$.
5. Dwa duże pierwsze w trzycyfrowej. Jeśli tak wychodzi, jesteś poza limitem — nie panikuj; w arkuszu z tej warstwy raczej dostaniesz $180$ albo $154$, nie $187$.

🧮 Przykład krok po kroku

Rozłóż $154$.

1. Cecha $2$: tak → $154=2\cdot 77$.
2. $77$: nie parzysta, suma $14$ nie dzieli się przez $3$, nie końcówka $\frac{0}{5}$. Próba $7$: $7\cdot 11=77$.
3. $11$ pierwsze. Czynniki: $2,7,11$. Jeden $>10$ (jedynka $11$) — w limicie.
4. $154=2\cdot 7\cdot 11$.

Kolejność dzielenia w drzewie: od najmniejszej pierwszej, która wchodzi. Nie zaczynaj od $11$, jeśli $2$ stoi w drzwiach — łatwiej się pomylić i zostawić złożony liść. Liście drzewa mają być pierwsze; jeśli został $25$, to nie liść, tylko kolejny węzeł ($5\cdot 5$).

Unikalność (bez dowodu, jako hamulec): ten sam zestaw pierwszych, najwyżej w innej kolejności. $180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5=5\cdot 3\cdot 3\cdot 2\cdot 2$. Nie $180=4\cdot 45$ jako „rozkład" do NWD, bo $4$ nie jest pierwsze. Do NWD w 3.3 potrzebujesz właśnie pierwszych.

Jak sprawdzić dwucyfrową: cechy $2,3,5$ (czasem od razu koniec), potem pierwsze aż do $\sqrt{n}$. $37$: nie $2,3,5$; $7^2=49>37$, więc pierwsza. $35$: końcówka $5$, więc złożona; nie idziesz do $7$. Sito do $50$ zastępuje tę pracę dla liczb $\le 50$: patrzysz, czy ocalała.

💭 Pomyśl: Czemu po skreśleniu wielokrotności $2,3,5,7$ w siatce $1$–$50$ nie musisz skreślać wielokrotności $11$? Jedno zdanie z kwadratem.

Sprawdź odpowiedź

Pierwsza niezaznaczona wielokrotność $11$ w tej siatce byłaby $11\cdot 11=121$, a $121>50$. Każda złożona $\le 50$ ma dzielnik pierwszy $\le 7$ (bo inaczej oba czynniki byłyby $\ge 11$ i iloczyn $\ge 121$). Dlatego sito się urywa.

🎒 Teraz Ty

1. Wypisz wszystkie pierwsze z przedziału $20$–$30$.

Pokaż rozwiązanie

$23,29$. $21=3\cdot 7$, $22$ parzysta, $24$ parzysta, $25=5^2$, $26$ parzysta, $27=3^3$, $28$ parzysta, $30$ parzysta.

2. Rozłóż $180$ i $105$. Czy oba mieszczą się w limicie PP?

Pokaż rozwiązanie

$180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$: tak (żaden czynnik $>10$). $105=3\cdot 5\cdot 7$: tak. Oba trzycyfrowe, zero lub jeden czynnik $>10$.

3. Czy $91$ jest pierwsze? Uzasadnij bez „wydaje mi się".

Pokaż rozwiązanie

Cechy $2,3,5$ nie łapią. $7\cdot 13=91$. Złożona. (Sito do $50$ tu nie wystarcza, bo $91>50$; cecha/próba $7$ tak.)

✍️ Na egzaminie

Prawda/fałsz: „każda liczba kończąca się na $3$ jest pierwsza" — fałsz ($33$). Otwarte: drzewo albo zapis $n=2^a\cdot 3^b\cdot\ldots$. Tok = kolejne dzielenia z cechą. Nie musisz pisać słowa „Eratostenes", jeśli sprawdzasz dzielniki. Gdy liczba nie chce wejść w limit — napisz, co sprawdziłeś cechami; nie zmyślaj trzech dużych pierwszych.

📌 W pigułce

• Pierwsza: $>1$, dokładnie dwa dzielniki. $1$ odpada. $2$ jest pierwsza.
• Sito $1$–$50$ = mapa, nie cały egzamin.
• Rozkład: trzy cyfry, co najwyżej jeden pierwszy $>10$.
• Najpierw cechy $2,3,5$, potem próby $7,11,\ldots$

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• [ ] Nie nazywam $1$ pierwszą.
• [ ] Wiem, czemu $49$ jest złożona.
• [ ] Rozkładam $180$ do samych pierwszych.
• [ ] Znam limit „trzy cyfry, jeden duży klocek".

---