NWD i NWW metodą rozkładu, dwa co najwyżej trzycyfrowe

🎯 Po co Ci to?

Dwie taśmy: $12$ kafelków i $18$ kafelków. Jaki największy kafelek-pas wejdzie w obie bez cięcia? To NWD. Drugie pytanie: za ile kroków znów staną równo, jeśli jedna osoba robi kroki $12$, druga $18$? To NWW. Wzory z plakatu $\mathrm{NWD}\cdot\mathrm{NWW}=a\cdot b$ są prawdziwe, ale PP każe metodę rozkładu dla dwóch liczb, co najwyżej trzycyfrowych. Najpierw skład z 3.2, potem: wspólne klocki z min wykładnikiem = NWD; wszystkie klocki z max wykładnikiem = NWW.

✅ Czego się nauczysz

Po tej jednostce:

  • liczysz NWD i NWW z rozkładu (nie zgadujesz z listy dzielników na oślep, chyba że liczby są malutkie);
  • czytasz NWD jako przekrój klocków, NWW jako sumę (najwyższe potęgi);
  • trzymasz się dwóch liczb $\le 999$ w limicie rozkładu z 3.2.

🔁 Przypomnij sobie

Rozkład $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$. Dzielnik to podzbiór tych klocków (nie więcej sztuk niż jest). Wielokrotność dokłada klocki albo podnosi wykładniki.

📘 Wyjaśnienie

NWD$(a,b)$ to największa liczba naturalna, która dzieli i $a$, i $b$. Wspólne klocki, przy każdym pierwszym bierzesz mniejszy wykładnik (ile sztuk jest w obu).

NWW$(a,b)$ to najmniejsza liczba naturalna dodatnia, która jest wielokrotnością i $a$, i $b$. Wszystkie pierwsze, które występują w $a$ lub $b$, przy każdym większy wykładnik (tyle, żeby starczyło na każdą z dwóch).

Przykład $12$ i $18$:

$$12=2^2\cdot 3,\quad 18=2\cdot 3^2.$$

NWD: $2^{\min(2,1)}\cdot 3^{\min(1,2)}=2^1\cdot 3^1=6$. NWW: $2^{\max(2,1)}\cdot 3^{\max(1,2)}=2^2\cdot 3^2=36$.

Sprawdzenie: $6$ dzieli obie; $12=6\cdot 2$, $18=6\cdot 3$. Wielokrotności $12$: $12,24,36,\ldots$; wielokrotności $18$: $18,36,\ldots$; pierwsza wspólna to $36$.

Związek (warto znać, PP nie każe go jako jedynej metody): $\mathrm{NWD}(a,b)\cdot\mathrm{NWW}(a,b)=a\cdot b$ dla naturalnych dodatnich. $6\cdot 36=216=12\cdot 18$. Jeśli NWW wyjdzie dziwnie, sprawdź tym iloczynem.

1222318233część WSPÓLNA obu rozkładówNWD23= 6NAŁOŻENIE obu rozkładówNWW2233= 36wspólne biorę raz, brakujące dobieramNWD = mniejsze wykładniki, NWW = większe
Rozkłady 12 i 18 jako klocki: część wspólna to jedna dwójka i jedna trójka, czyli NWD równe 6, a nałożenie to dwie dwójki i dwie trójki, czyli NWW równe 36 · źródło: opracowanie własne AsLekcyjny

💭 Pomyśl: NWD i NWW dla $8$ i $12$. Najpierw rozkład, potem min/max.

Sprawdź odpowiedź

$8=2^3$, $12=2^2\cdot 3$. NWD $=2^2=4$ (trójki nie ma w $8$). NWW $=2^3\cdot 3=24$. Iloczyn: $4\cdot 24=96=8\cdot 12$.

Gdy liczby nie mają wspólnych pierwszych (np. $8=2^3$ i $9=3^2$), NWD $=1$; mówimy, że są względnie pierwsze. NWW $=8\cdot 9=72$. To nie błąd. „Największy wspólny dzielnik $1$" znaczy: nic większego nie wchodzi w obie.

📐 DEFINICJA — NWD$(a,b)$: największa liczba naturalna $d$ taka, że $d$ dzieli $a$ i $d$ dzieli $b$. Z rozkładu: iloczyn pierwszych z wykładnikiem $\min$.

Po ludzku: największy wspólny klocek-pas. Czym to NIE jest: mniejsza z dwóch liczb (czasem tak bywa, gdy jedna dzieli drugą — ale nie zawsze: $\mathrm{NWD}(8,12)=4\neq 8$); NWW.

📐 DEFINICJA — NWW$(a,b)$: najmniejsza liczba naturalna dodatnia $m$ taka, że $a$ dzieli $m$ i $b$ dzieli $m$. Z rozkładu: iloczyn pierwszych z wykładnikiem $\max$.

Po ludzku: najbliższy wspólny „przystanek" na dwóch osiach kroków. Czym to NIE jest: iloczyn $a\cdot b$ zawsze (tylko gdy NWD $=1$); większa z dwóch liczb (tylko gdy jedna jest wielokrotnością drugiej).

Zakres: dwie liczby, każda co najwyżej trzycyfrowa, rozkładalne w limicie 3.2. Nie NWD trzech liczb jako obowiązek. Nie Euklides — wolno znać, PP wskazuje rozkład.

⚠️ Uwaga, pułapka

  1. NWD = mniejsza, NWW = iloczyn. Fałsz, gdy jest wspólny klocek.
  2. Min i max pomylone. Wspólne (przekrój) to min → NWD. Suma klocków to max → NWW.
  3. Zgubiony pierwszy, który jest tylko w jednej. W NWD go nie ma. W NWW musi być.
  4. NWD$(0,a)$. W teorii $a$ dzieli $0$; bywa $\mathrm{NWD}(0,a)=a$. Arkusz ósmoklasisty raczej da dwie dodatnie. Nie kombinuj z zerem, jeśli nie ma go w zadaniu.
  5. Trzy liczby. Jeśli kiedyś przyjdą — NWD/NWW parami, ale to już poza twardym PP tej jednostki.

🧮 Przykład krok po kroku

$84$ i $90$.

  1. $84=2^2\cdot 3\cdot 7$, $90=2\cdot 3^2\cdot 5$. Limit: trzycyfrowe, czynniki $2,3,5,7$, czyli OK.
  2. NWD: $2^{\min(2,1)}\cdot 3^{\min(1,2)}\cdot 5^{0}\cdot 7^{0}=2\cdot 3=6$.
  3. NWW: $2^2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7=4\cdot 9\cdot 5\cdot 7=36\cdot 35=1,260$.
  4. Test: $6\cdot 1,260=7,560=84\cdot 90$. Zgadza się.

Gdy jedna liczba dzieli drugą, NWD jest tą mniejszą, a NWW — większą. $12$ i $36$: $12$ dzieli $36$, więc $\mathrm{NWD}=12$, $\mathrm{NWW}=36$. To jedyny przypadek, w którym „mniejsza / większa" działa. Przy $12$ i $18$ już kłamie — stąd pułapka z plakatu.

Zastosowanie. Płytki $12$ cm i $18$ cm wzdłuż tej samej ściany: największy wspólny „krok" luki to $6$ cm (NWD) — np. słupek co $6$ cm trafi w obie siatki. Autobus co $12$ min i tramwaj co $18$ min, start razem: znów razem po $36$ min (NWW). Nie mieszaj: NWD tnie na mniejsze kawałki, NWW czeka na wspólne „teraz".

Nie licz NWD z listy wszystkich dzielników, gdy liczby są trzycyfrowe — lista $84$ jest długa i łatwo pominąć $6$. Rozkład jest krótszy i tokiem egzaminu.

💭 Pomyśl: $48$ i $36$. Zanim min/max: czy $12$ dzieli obie? Czy $24$ dzieli obie? Co to mówi o NWD, zanim skończysz rozkład?

Sprawdź odpowiedź

$12$ dzieli obie ($48=12\cdot 4$, $36=12\cdot 3$). $24$ dzieli $48$, ale nie $36$. NWD jest co najmniej $12$, nie $24$. Rozkład: $48=2^4\cdot 3$, $36=2^2\cdot 3^2$, NWD $=2^2\cdot 3=12$, NWW $=2^4\cdot 3^2=144$. Zgadza się z testem „$12$ tak, $24$ nie".

🎒 Teraz Ty

1. NWD i NWW: $20$ i $45$.

Pokaż rozwiązanie

$20=2^2\cdot 5$, $45=3^2\cdot 5$. NWD $=5$. NWW $=2^2\cdot 3^2\cdot 5=180$. $5\cdot 180=900=20\cdot 45$.

2. NWD i NWW: $154$ i $180$ (oba z 3.2).

Pokaż rozwiązanie

$154=2\cdot 7\cdot 11$, $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$. NWD $=2$. NWW $=2^2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 11=4\cdot 9\cdot 5\cdot 7\cdot 11=180\cdot 77=13,860$. Iloczyn: $2\cdot 13,860=27,720=154\cdot 180$.

3. Dwie liczby względnie pierwsze: $8$ i $9$. Czego się spodziewasz po NWD i NWW — zanim policzysz?

Pokaż rozwiązanie

NWD $=1$, NWW $=72=8\cdot 9$. Brak wspólnych klocków.

✍️ Na egzaminie

Otwarte: rozłóż obie, wypisz min i max, iloczyn. Sam wynik $6$ bez rozkładu bywa mało, gdy każe „metodą rozkładu na czynniki pierwsze". Zamknięte: pomyłka min/max daje dystraktor (NWD i NWW zamienione miejscami). Zadanie praktyczne (płytki, rytm świateł): NWD = największy wspólny kawałek; NWW = najbliższe wspólne „teraz". Dwie liczby, nie pięć.

📌 W pigułce

  • NWD = przekrój klocków ($\min$ wykładników). NWW = nałożenie ($\max$).
  • $\mathrm{NWD}\cdot\mathrm{NWW}=a\cdot b$ to hamulec.
  • Dwie liczby $\le 999$, rozkład z limitem 3.2.
  • Brak wspólnych pierwszych → NWD $=1$, NWW $=a\cdot b$.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

  • [ ] Z $12$ i $18$ mam NWD $6$ i NWW $36$, nie odwrotnie.
  • [ ] W NWW nie gubię pierwszych, które są tylko w jednej liczbie.
  • [ ] Sprawdzam iloczynem NWD $\times$ NWW.
  • [ ] Nie liczę NWD trzech liczb, jeśli arkusz dał dwie.

Ucz się tej jednostki z asystentem