Rachunki na całkowitych

🎯 Po co Ci to?

Znak „już umiem dodawać" rozpada się przy $-3+(-5)$ i przy „minus razy minus". Tu wielu ludzi zamarza — i to ma sens: w naturalnych nie było kierunku. Żetony i skoki na osi dają obraz, zanim padnie reguła. Reguła bez obrazu na egzaminie pęka przy pierwszym nawiasie.

Na sali rachunki są krótkie i pamięciowe. Nikt nie każe mnożyć czterocyfrowych ujemnych. Każe nie zgubić znaku w dwóch–trzech krokach.

✅ Czego się nauczysz

Po tej jednostce:

  • dodajesz i odejmujesz całkowite skokami na osi albo żetonami $\pm$;
  • mnożysz i dzielisz całkowite, wiedząc skąd bierze się znak iloczynu;
  • odejmowanie zapisujesz jako dodanie liczby przeciwnej: $a-b=a+(-b)$.

🔁 Przypomnij sobie

$|a|$ z 4.2 to odległość. Przeciwna do $a$ to lustro względem zera. Dodawanie naturalnych jako skok w prawo. Teraz skok bywa w lewo.

💭 Pomyśl: Masz trzy żetony „dług" (każdy $-1$) i dwa żetony „masz" (każdy $+1$). Para „dług + masz" się znosi. Ile zostaje i z jakim znakiem?

Sprawdź odpowiedź

Dwie pary się znoszą, zostaje jeden żeton długu: $-1$. Model: dodawanie to dosypywanie żetonów; pary przeciwków znikają.

📘 Wyjaśnienie

3 + (−2)pary plus i minus znoszą się= 0= 0zostaje3 + (−2) = 1para plus i minus = zero
Trzy żetony plus i dwa minus: dwie pary plus-minus znoszą się do zera, zostaje jeden plus, więc trzy dodać minus dwa równa się jeden · źródło: opracowanie własne AsLekcyjny

Dodawanie. $a+b$ na osi: start w $a$, skok o $|b|$ w prawo gdy $b>0$, w lewo gdy $b<0$.

  • $4+3=7$: trzy w prawo.
  • $4+(-3)=1$: trzy w lewo.
  • $-4+(-3)=-7$: z $-4$ jeszcze trzy w lewo.
  • $-4+3=-1$: z $-4$ trzy w prawo.
skok = start plus kierunek−8−4048start w 2+4−5−8−4048start w −3+6−2w prawo dodaje, w lewo odejmuje
Cztery skoki na osi od minus ośmiu do ośmiu: z dwóch o cztery w prawo, z dwóch o pięć w lewo, z minus trzech o dwa w lewo i z minus trzech o sześć w prawo · źródło: opracowanie własne AsLekcyjny

🧮 Przykład — dodawanie: $-5+8$.

Start w $-5$. Osiem w prawo: $-4,-3,-2,-1,0,1,2,3$. Wynik $3$. Inny obraz: $8$ to pięć do zera i trzy dalej. Żetony: osiem plusów zjada pięć minusów, zostają trzy plusy.

Odejmowanie. $a-b$ znaczy: $a$ plus przeciwna do $b$.

$$a-b = a+(-b).$$

Dlatego $5-(-2)=5+2=7$: odjąć dług to jakby dług unieważnić — zostajesz z większą kwotą. Na osi: odjąć ujemną = skok w prawo.

$5-8=5+(-8)=-3$: osiem w lewo z piątki.

Nie musisz recytować „minus minus daje plus" zanim zobaczysz lustro: przeciwna do $-2$ jest $2$, więc dodajesz $2$.

💭 Pomyśl: $-3-(-5)$. Najpierw: jaka liczba jest przeciwna do $-5$? Potem skok.

Sprawdź odpowiedź

Przeciwna do $-5$ jest $5$. Więc $-3+5=2$. Na osi: z $-3$ pięć w prawo. Pułapka: $-3-5=-8$ (oba minusy sklejone w „jeszcze bardziej w lewo" bez nawiasu). Nawias przy $-5$ jest częścią liczby, którą odejmujesz.

Mnożenie. $3\cdot 4$ to trzy czwórki. $3\cdot(-4)$ to trzy skoki po $-4$: $-4+(-4)+(-4)=-12$. Znak: dodatnia $\times$ ujemna = ujemna.

$0$ razy cokolwiek = $0$. Kierunek razy nic nie rusza.

A $(-3)\cdot(-4)$? Tu zamarza pół klasy — i to jest OK, bo „trzy ujemne czwórki" źle się opowiada. Lepszy trop: wzorzec, nie zaklęcie.

$3\cdot(-4)=-12$, $2\cdot(-4)=-8$, $1\cdot(-4)=-4$, $0\cdot(-4)=0$, $(-1)\cdot(-4)=4$.

Gdy mnożnik maleje o $1$, zabierasz jeden skok po $-4$, więc wynik rośnie o $4$. Skoro $0\cdot(-4)=0$, to następny krok, $(-1)\cdot(-4)$, musi wylądować na $4$: po zerze wychodzi plus. Obraz: przeciwna do przeciwnej — dwa lustra względem zera wracają na tę samą stronę.

n · (−4), krok po krokunn · (−4)3−122−8+41−4+400+4−14+4−28+4minus razy minus nie jest kaprysemwychodzi z ciągłości skoków o 4
Schodki wartości n razy minus cztery dla n od trzech do minus dwóch: wyniki minus dwanaście, minus osiem, minus cztery, zero, cztery, osiem, za każdym krokiem o cztery więcej · źródło: opracowanie własne AsLekcyjny

Dzielenie: odwróć mnożenie. $(-12):3=-4$, bo $3\cdot(-4)=-12$. $(-12):(-3)=4$, bo $(-3)\cdot 4=-12$. Zero w dzielnej: $0:(-5)=0$. Przez zero nie dzielimy — ta ściana była już przy naturalnych.

📐 DEFINICJA — suma i iloczyn całkowitych (na użytek SP): suma to skok na osi (albo żetony z kasowaniem par). Iloczyn $m\cdot n$ to $|m|$ skoków po $n$ (albo po $-n$), a znak wynika ze stron: dwie te same strony $\rightarrow$ dodatni, różne $\rightarrow$ ujemny.

Po ludzku: ile razy i w którą stronę. Czym to NIE jest: osobna magia „zasad znaków" oderwana od osi. Zasada znaków jest skrótem skoków.

🧮 Przykład — znaki: $(-6)\cdot 2$, $6\cdot(-2)$, $(-6)\cdot(-2)$, $(-6):2$, $(-6):(-2)$.

$(-6)\cdot 2=-12$ (dwa razy dług sześciu). $6\cdot(-2)=-12$ (sześć skoków po $-2$). $(-6)\cdot(-2)=12$ (dwa lustra). $(-6):2=-3$. $(-6):(-2)=3$. Ten sam „$12$" albo „$3$" w odległości; strona zależy od liczby minusów w czynnikach, nie od nastroju.

Kolejność działań z działu 2 zostaje: najpierw $\cdot$ i $:$, potem $+$ i $-$. Nawias jak zawsze wygrywa. $-3^2$ to pułapka liceum (potęga vs znak); tu, w całkowitych SP, jeśli widzisz nawias $(-3)\cdot(-3)$, licz $9$. Potęgi wrócą w dziale 8; nie mieszaj tego teraz.

Łańcuch pamięciowy. $-2+7-(-3)$ najpierw zamień odejmowanie: $-2+7+3$. Potem z lewej: $5+3=8$. Nie zbieraj wszystkich minusów w jedną kupę. Żetony: start dwa minusy, dosyp siedem plusów (zostaje pięć plusów), dosyp trzy plusy (osiem plusów).

🧮 Przykład — kolejność: $10+(-2)\cdot 5$.

Najpierw iloczyn: $(-2)\cdot 5=-10$. Potem $10+(-10)=0$. Pułapka: $10-2=8$, potem $8\cdot 5=40$: minus „wessał" dodawanie i zgubił kolejność. Nawias przy $-2$ chroni czynnik, nie kasuje kolejności.

Ujemne w dzieleniu z resztą PP zostawia na później / poza ten dział; tu dzielisz „wchodzi na całe" bez reszty: $(-20):5=-4$, $(-20):(-4)=5$. Jeśli nie wychodzi całkowicie — na egzaminie ósmoklasisty w tym temacie zwykle nie mieszają reszty z minusem. Nie zgaduj; wróć do mnożenia wstecz.

Odejmowanie = dodaj przeciwną. To nie nowa magia, tylko ten sam skok w drugą stronę. $5-8$ to $5+(-8)$. $-3-(-7)$ to $-3+7$. Nawias przy odejmowanej liczbie chroni jej znak: zjadać nawias to zjadać kierunek. Na żetonach: odjąć minusy = dosypać plusy (bo zabierasz dług). Na osi: strzałka odejmowania odwraca się.

Sprawdzanie wstecz. Dodałeś $-4+(-9)=-13$. Sprawdź: od $-13$ odejmij $-9$, czyli dodaj $9$: $-13+9=-4$. Wróciłeś. Iloczyn: $(-5)\cdot(-4)=20$. Sprawdź dzieleniem: $20:(-4)=-5$. Jeśli sprawdzenie nie wraca do startu — zgubiłeś stronę, nie „źle mnożyłeś w słupku". Słupek przy jednocyfrowych tu prawie nie istnieje; strona jest całym zadaniem.

💭 Pomyśl: Czy $(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)$ jest dodatnie, czy ujemne? Nie licz „na trzy minusy = minus" z kapelusza — narysuj skoki albo żetony parami.

Sprawdź odpowiedź

Najpierw $(-1)\cdot(-1)=1$ (dwa lustra). Potem $1\cdot(-1)=-1$. Trzy czynniki ujemne → wynik ujemny. Wzorzec: nieparzysta liczba minusów w iloczynie zostawia minus. Parzysta zjada. To skrót skoków, nie zaklęcie „im więcej minusów, tym gorzej".

⚠️ Uwaga, pułapka

  1. $-3+5$ policzone jako $-(3+5)=-8$: minus „wyssał" całe dodawanie. Minus przy $3$ należy do jednej liczby, nie do operacji na sumie.
  2. $4-(-1)$ policzone jako $4-1=3$: zjedzony nawias. Odjąć przeciwną = dodać $1$, wynik $5$.
  3. „Minus razy minus = minus, bo dwa minusy to jeszcze gorzej." Wzorzec skoków mówi odwrotnie. Dwa lustra.

✍️ Na egzaminie

Krótki łańcuch: $-2+7-(-3)$. Tok na kartce: zamień odejmowanie na dodanie przeciwnej, potem skoki albo żetony. Wynik bez toku w otwartym bywa 1 pkt z trzech, jeśli droga znika. Zamknięte: dystraktor $-(2+7-3)$ albo $2+7-3$ bez minusu przy dwójce. Policz dwa razy: raz osią, raz znakami. Jeśli dwa sposoby się rozjeżdżają — zgubiłeś nawias, nie „słabo dodajesz".

🎒 Teraz Ty

1. Policz pamięciowo: $-8+3$, $5+(-9)$, $-4+(-6)$, $2-(-7)$, $-5-3$.

Pokaż rozwiązanie

$-5$; $-4$; $-10$; $9$; $-8$. Przy $2-(-7)$: $2+7=9$. Przy $-5-3$: $-5+(-3)=-8$. Gdzie błąd: $-8+3=-11$ (oba w lewo).

2. Policz: $(-5)\cdot 4$, $3\cdot(-6)$, $(-7)\cdot(-2)$, $(-18):3$, $(-18):(-9)$.

Pokaż rozwiązanie

$-20$; $-18$; $14$; $-6$; $2$. Sprawdzenie mnożenia: $4$ skoki po $-5$ lądują na $-20$. Dzielenie: $3\cdot(-6)=-18$, stąd $(-18):3=-6$.

3. Na koncie $-12$ zł. Trzy razy wypłacasz po $4$ zł (saldo spada). Zapisz to jednym iloczynem i jednym wynikiem.

Pokaż rozwiązanie

Start już jest ujemny; trzy wypłaty to jeszcze $3\cdot(-4)=-12$, razem $-12+(-12)=-24$. Albo: $-12-4-4-4=-24$. Iloczyn samych wypłat nie zastępuje startu — dolicz saldo początkowe. Pułapka: $3\cdot 4=12$ na plus.

4. Policz $6-(-2)\cdot(-3)$ z kolejnością. Potem sprawdź żetonami albo skokami, że nie wyszło $24$.

Pokaż rozwiązanie

Najpierw iloczyn: $(-2)\cdot(-3)=6$. Potem $6-6=0$. Automat $6-(-2)=8$, potem $8\cdot(-3)=-24$ gubi kolejność. Nawias przy czynnikach nie kasuje reguły „mnożenie przed odejmowaniem".

📌 W pigułce

  • Dodawanie = skok: plus w prawo, minus w lewo; żetony kasują pary.
  • $a-b=a+(-b)$; odjąć ujemną = dodać dodatnią.
  • Iloczyn: różne znaki $\rightarrow$ minus; dwa minusy $\rightarrow$ plus (wzorzec skoków, nie kaprys).
  • Krótko i pamięciowo — na sali bez kalkulatora. Sprawdź wstecz mnożeniem.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

  • [ ] Dodaję całkowite na osi bez zgadywania znaku.
  • [ ] Zamieniam odejmowanie na dodanie przeciwnej, także $a-(-b)$.
  • [ ] Mnożę i dzielę z uzasadnieniem znaku (skok / lustro), nie samą rymowanką.
  • [ ] Nie wciągam minusa na całe wyrażenie bez nawiasu.
  • [ ] Szanuję kolejność: iloczyn przed sumą, także przy minusach.

Ucz się tej jednostki z asystentem