Zamiany: zwykły na dziesiętny i odwrotnie

🎯 Po co Ci to?

Gdy dół jest $10$, $100$, $1000$, zamiana jest przesunięciem przecinka w głowie, nie magią. Gdy dół jest $2$, $4$, $5$, $8$, często da się dokończyć do $10$ lub $100$ rozszerzaniem z 5.2. Gdy dół jest $3$, przecinek się nie kończy: pętla. PP wprost ostrzega: kalkulator potrafi przekłamać okres — pokaże ucięte $0{,}33$, a przy $2:3$ zaokrągloną końcówkę $0{,}66666667$. Na sali tego kłamstwa nie sprawdzisz maszyną; musisz wiedzieć, skąd się bierze $0{,}(3)$.

✅ Czego się nauczysz

Po tej jednostce:

zamieniasz $\tfrac{a}{10^n}$ na przecinek i z powrotem;
dokańczasz mianownik do $10$ / $100$ tam, gdzie się da;
rozpoznajesz rozwinięcie skończone i okres; nie wierzysz ślepo wyświetlaczowi.

🔁 Przypomnij sobie

Rozszerzanie (5.2). Dzielenie z resztą (2.2) — reszty przy dzieleniu pisemnym wracają, i to jest okres. $0{,}5=\tfrac{1}{2}$ z 6.1. Kalkulator na lekcji wolno wyjąć (PP tego chce) — na sali ósmoklasisty go nie będzie. Dlatego okres uczysz się widzieć w resztach, nie na ekranie. Ekran bywa kłamczuchem właśnie wtedy, gdy pętla się nie kończy.

💭 Pomyśl: $\tfrac{1}{4}$ to ile setnych? (Ile ćwiartek w całości $100$ groszy / $100$ kratek?)

Sprawdź odpowiedź

Ćwierć ze stu to $25$. $\tfrac{1}{4}=\tfrac{25}{100}=0{,}25$. Rozszerzenie: razy $25$ górę i dół, bo $4\cdot 25=100$.

📘 Wyjaśnienie

Dół już jest $10^n$. Licznik piszesz, przecinek wstawiasz tak, by tyle cyfr po przecinku, ile zer w dole:

$\tfrac{7}{10}=0{,}7$
$\tfrac{7}{100}=0{,}07$
$\tfrac{37}{100}=0{,}37$
$\tfrac{37}{10}=3{,}7$ (więcej niż całość — jak niewłaściwy).

Z powrotem: $0{,}07=\tfrac{7}{100}$; $1{,}2=\tfrac{12}{10}=\tfrac{6}{5}$.

Trzy dziesiąte to zero przecinek trzy na pasku z dziesięcioma komórkami, a trzy setne to zero przecinek zero trzy na siatce dziesięć na dziesięć · źródło: opracowanie własne AsLekcyjny

Dół $2,4,5,8,16,\ldots$ albo $20,25$: gdy da się dobić do $10^n$. Rozszerzasz, aż dół będzie $10$, $100$ albo $1000$ (na SP zwykle do $100$ wystarcza). $\tfrac{3}{5}=\tfrac{6}{10}=0{,}6$. $\tfrac{3}{4}=0{,}75$. $\tfrac{1}{8}=\tfrac{125}{1000}=0{,}125$: trzy miejsca; na egzaminie bywa, że zostawiasz ułamek, jeśli nie każą przecinka.

Nie każdy dół da się dobić do samej dziesiątki: $3$, $6$, $7$, $9$, $11$ mają w rozkładzie czynniki inne niż $2$ i $5$. Wtedy rozwinięcie jest nieskończone okresowe.

Okres. Dzielisz $1:3$ pisemnie: $10$ po pożyczce, $3\cdot 3=9$, reszta $1$, i znowu ta sama reszta. Cyfra $3$ wraca w kółko.

$$ \tfrac{1}{3}=0{,}333\ldots=0{,}(3). $$

Nawias w $0{,}(3)$ oznacza: od tej cyfry pętla. $0{,}(12)=0{,}121212\ldots$

Dzieląc jeden przez trzy reszta jeden wraca w kółko, więc rozwinięcie nigdy się nie kończy: zero i trzy w nieskończoność, zapisywane jako zero przecinek nawias trzy · źródło: opracowanie własne AsLekcyjny

📐 DEFINICJA — rozwinięcie dziesiętne okresowe: nieskończony ciąg cyfr po przecinku, w którym od pewnego miejsca powtarza się ten sam blok (okres). Zapis $0{,}(3)$, $0{,}1(6)$ itd.

Po ludzku: pętla reszt przy dzieleniu. Czym to NIE jest: „ułamek się nie da". Da się — kreską $\tfrac{1}{3}$. Przecinek wtedy nie kończy się, ale liczba jest zwyczajna, wymierna. (Niewymierne — liceum, nie tu.)

Kalkulator kłamie. PP każe to wiedzieć. Wyświetlacz ma skończenie wiele miejsc. Może:

uciąć: $0{,}333333$ i koniec, jakby dalej było zero;
zaokrąglić ostatnią w górę: dla $2:3$ pokaże $0{,}66666667$;
pokazać $0{,}329999$ przy brudnym rachunku.

Żadna z tych rzeczy nie jest definicją $\tfrac{1}{3}$ ani $\tfrac{2}{3}$. Definicja jest: pętla cyfr, albo kreska.

Kalkulator pokazuje przybliżenie zero przecinek sześćdziesiąt sześć i tak dalej, a dokładny zapis dwóch trzecich to zero przecinek nawias sześć · źródło: opracowanie własne AsLekcyjny

🧮 Przykład — zamiany:

zwykły dziesiętny komentarz

$\tfrac{2}{5}$ $0{,}4$ $\times 2$ do dziesiątek

$\tfrac{3}{20}$ $0{,}15$ $\times 5$ do setnych

$\tfrac{1}{2}$ $0{,}5$ nie $0{,}2$

$\tfrac{1}{3}$ $0{,}(3)$ pętla; nie wynik z kalkulatora

$\tfrac{2}{3}$ $0{,}(6)$

$0{,}08$ $\tfrac{8}{100}=\tfrac{2}{25}$ skróć

zwykły	dziesiętny	komentarz
$\tfrac{2}{5}$	$0{,}4$	$\times 2$ do dziesiątek
$\tfrac{3}{20}$	$0{,}15$	$\times 5$ do setnych
$\tfrac{1}{2}$	$0{,}5$	nie $0{,}2$
$\tfrac{1}{3}$	$0{,}(3)$	pętla; nie wynik z kalkulatora
$\tfrac{2}{3}$	$0{,}(6)$
$0{,}08$	$\tfrac{8}{100}=\tfrac{2}{25}$	skróć

💭 Pomyśl: Kalkulator pokazał $0{,}16666667$ dla $1:6$. Jaki ułamek to było zanim maszyna zaokrągliła — i jak zapisać okres?

Sprawdź odpowiedź

$\tfrac{1}{6}=0{,}1(6)$: jedynka, potem pętla szóstek. Ostatnia $7$ na ekranie to kłamstwo zaokrąglenia. Jeśli uwierzysz w $0{,}16666667$ jako ułamek skończony i skrócisz na siłę — zejdziesz z talerza.

Skończone rozwinięcie (na SP): doły złożone z $2$ i $5$. Reszta — okres albo zostaw kreskę. Nie musisz z każdego ułamka robić przecinka; czasem $\tfrac{2}{7}$ jest uczciwszą odpowiedzią niż osiem cyfr z pamięci.

Droga przez rozszerzanie. $\tfrac{3}{4}$: dół $4=2\cdot 2$, brakuje piątek do setki. $\times 25$ górę i dół: $\tfrac{75}{100}=0{,}75$. $\tfrac{1}{8}$: $\times 125$ da tysięczne $0{,}125$. Czasem szybciej najpierw skrócić: $\tfrac{30}{60}=\tfrac{1}{2}=\tfrac{5}{10}=0{,}5$; po skróceniu dół bywa od razu przyjaźniejszy. Jeśli dół ma w rozkładzie trójkę — nie dojdziesz do $10^n$ skracaniem/rozszerzaniem; zostaje dzielenie i pętla reszt.

Dzielenie pisemne jako pętla. $1:3$: $10$ dziesiątych, $3$ mieści się $3$ razy, reszta $1$: znowu $10$, znowu $3$, znowu reszta $1$. Kółko. Zapis $0{,}(3)$ znaczy: trójka wraca bez końca, nie „trzy trójki i stop". Nawias w $0{,}(3)$ obejmuje cyfry okresu; w $0{,}1(6)$ jedynka jest przed pętlą, szóstka w pętli.

PP i kalkulator. Maszyna ma skończoną liczbę miejsc. $1:3$ pokaże ucięty ogon trójek, który nie jest $\tfrac{1}{3}$; przy $2:3$ ostatnia cyfra bywa zaokrąglona w górę (…667). Na lekcji wolno sprawdzić maszyną, skąd wziął się ogon — i nie wierzyć mu jako równości. Na egzaminie ósmoklasisty kalkulatora nie ma; zostaje pętla albo kreska.

🧮 Przykład — ułamek $\tfrac{1}{6}$: $1:6=0{,}1$ i reszta, która generuje same szóstki: $0{,}1(6)$. Nie $0{,}16$ (ucięcie). Nie $0{,}16666667$ z ekranu. Sprawdzenie: $0{,}1(6)\cdot 6$ powinno wrócić do $1$ w ułamkach ($\tfrac{1}{6}\cdot 6=1$), nie w uciętym przecinku.

💭 Pomyśl: Czy $\tfrac{1}{5}$ ma okres? Czy $\tfrac{1}{4}$? Skąd wiesz bez dzielenia na dwadzieścia miejsc?

Sprawdź odpowiedź

$\tfrac{1}{5}=0{,}2$: dół same piątki, skończone. $\tfrac{1}{4}=0{,}25$: same dwójki. Okres pojawia się, gdy w dole (po skróceniu) zostaje czynnik inny niż $2$ i $5$. $\tfrac{1}{3}$ ma trójkę — pętla.

⚠️ Uwaga, pułapka

$\tfrac{1}{5}=0{,}5$? Znowu ten automat. $0{,}5=\tfrac{1}{2}$. $\tfrac{1}{5}=0{,}2$. Druga: skończyć $0{,}333$ na trzech trójkach i uznać, że to $\tfrac{333}{1000}$, równe $\tfrac{1}{3}$. Blisko na osi, nie równe. Trzecia: wierzyć kalkulatorowi wbrew pętli reszt.

Na lekcji wolno zestawić ekran z pętlą reszt: zobacz, gdzie maszyna kłamie (ostatnia cyfra, ucięcie). Potem schowaj maszynę i zapisz $0{,}(3)$ albo $\tfrac{1}{3}$. Ten nawyk jest całym pożytkiem kalkulatora w tym temacie — nie „żeby wyszło szybciej".

Z powrotem: przecinek → kreska. $0{,}07=\tfrac{7}{100}$, potem skróć gdy wolno. $1{,}5=\tfrac{15}{10}=\tfrac{3}{2}$. Liczba miejsc po przecinku = potęga dziesiątki w dole zanim skrócisz. $0{,}5$ ma jedno miejsce → dół $10$, nie $5$. Stąd ginie automat $\tfrac{1}{5}$.

Co zostawić kreską. $\tfrac{2}{7}$ na SP nie musisz rozwijać do okresu o sześciu cyfrach. Jeśli polecenie nie każe postaci dziesiętnej — kreska jest legalna i zwykle uczciwsza. Okres zapisuj, gdy zadanie chce przecinka albo gdy porównujesz z wyświetlaczem na lekcji.

✍️ Na egzaminie

Bez kalkulatora. Zamiana przez $10^n$ albo krótkie dzielenie pisemne. Jeśli wyjdzie okres — zapisz $0{,}(3)$ albo zostaw $\tfrac{1}{3}$, zgodnie z poleceniem. „Podaj w postaci dziesiętnej" przy $\tfrac{1}{3}$ = pętla, nie trzy cyfry z kapelusza. Gdy dół to $2$, $4$, $5$, $8$, $20$, $25$, najpierw spróbuj rozszerzyć do $10$ / $100$ / $1000$; to szybsze niż pisemne i mniej miejsc do zgubienia. $\tfrac{1}{5}$ w opcjach obok $0{,}5$ jest celowym dystraktorem z 6.1: połowa vs piąta. Tok: „dół pięć, $\times 2$ do dziesiątek, $0{,}2$".

🎒 Teraz Ty

1. Zamiana: $\tfrac{9}{10}$, $\tfrac{9}{100}$, $\tfrac{3}{4}$, $\tfrac{1}{5}$ na przecinek.

Pokaż rozwiązanie

$0{,}9$; $0{,}09$; $0{,}75$; $0{,}2$. Ostatnie nie $0{,}5$.

2. $0{,}6$ i $0{,}06$ zapisz ułamkiem nieskracalnym.

Pokaż rozwiązanie

$0{,}6=\tfrac{6}{10}=\tfrac{3}{5}$. $0{,}06=\tfrac{6}{100}=\tfrac{3}{50}$. Nie $\tfrac{6}{6}$.

3. $\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3}$. W ułamkach? Na kalkulatorze $0{,}33+0{,}33+0{,}33$? Co się rozjeżdża?

Pokaż rozwiązanie

Ułamki: $1$. Kalkulator z ucięciem: $0{,}99$. Kłamstwo miejsc. Dlatego okres albo kreska, nie trzy cyfry „na oko". Na sali i tak liczysz $\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3}=1$.

4. Zamiana: $0{,}125$ na ułamek nieskracalny; $\tfrac{7}{8}$ na przecinek (rozszerz do tysięcznych).

Pokaż rozwiązanie

$0{,}125=\tfrac{125}{1000}=\tfrac{1}{8}$. $\tfrac{7}{8}=\tfrac{875}{1000}=0{,}875$. Sprawdzenie: $0{,}125\cdot 8=1$. Pułapka: $\tfrac{7}{8}=0{,}78$ (cyfry góry i dołu sklejone).

📌 W pigułce

Mianownik $10^n$ $\leftrightarrow$ przecinek z $n$ miejscami.
Inne doły: rozszerz do $10^n$, gdy się da; inaczej okres.
$0{,}(3)=\tfrac{1}{3}$; kalkulator może kłamać ostatnią cyfrą.
$\tfrac{1}{5}=0{,}2$, nie $0{,}5$.
Skończone rozwinięcie, gdy po skróceniu w dole zostają tylko $2$ i $5$; inaczej pętla albo kreska.
PP: kalkulator potrafi przekłamać okres — ostatnia cyfra na ekranie nie jest definicją.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

[ ] Zamieniam $\tfrac{7}{100}$ i $1{,}5$ w obie strony.
[ ] Dobicie $\tfrac{3}{4}$ do setnych.
[ ] Rysuję pętlę reszty przy $1:3$.
[ ] Nie traktuję wyświetlacza jako definicji okresu.

Ucz się tej jednostki z asystentem