Mnożenie i dzielenie zwykłych

🎯 Po co Ci to?

„Weź trzy czwarte z dwudziestu złotych." To nie dodawanie. Nikt nie zrówna mianowników, żeby wziąć część. Mnożenie ułamków straszy, bo w szkole często pada po dodawaniu z etykietą „teraz trudniejsze". Nie jest trudniejsze. Jest inne: mianowników nie zrównujesz — mnożysz je, bo bierzesz część z części. Dzielenie to pytanie „ile takich porcji zmieści się" — i dopiero stąd odwrotność.

✅ Czego się nauczysz

Po tej jednostce:

mnożysz i dzielisz ułamki zwykłe (i mieszane);
liczysz ułamek danej liczby, całość z części oraz powiększenie / pomniejszenie o ułamek (PP IV.13–14, V.4);
umiesz powiedzieć, czemu $\times$ nie potrzebuje wspólnego mianownika.

🔁 Przypomnij sobie

Ułamek = część całości (dział 5). Dodawanie z 7.1: wspólny dół, bo składasz te same plasterki. Teraz nie składasz — wycinasz kawałek z kawałka. Odwrotność: $\tfrac{2}{3}$ i $\tfrac{3}{2}$ dają w iloczynie 1. Mieszana przed $\times$ i $:$ idzie na niewłaściwą — tu osobne mnożenie całości i ułamków kłamie.

📘 Wyjaśnienie

Mnożenie: część z części

$\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{3}$. Historia: weź połowę prostokąta, a z tej połowy — jedną trzecią. Zostaje jedna szósta całości.

$$\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{3}=\tfrac{1\cdot 1}{2\cdot 3}=\tfrac{1}{6}.$$

Liczniki mnożysz (ile „zaznaczeń"), mianowniki mnożysz (jak drobno siatka się złożyła). Nie sprowadzasz do wspólnego mianownika. Gdy ktoś to robi „dla bezpieczeństwa", produkuje inną historię (dodawanie) pod etykietą mnożenia.

W prostokącie lewa połowa, a w niej dolna trzecia: ten mały kawałek to jedna szósta całego prostokąta, bo jedna trzecia z jednej drugiej to jedna szósta · źródło: opracowanie własne AsLekcyjny

Skracać wolno po drodze: $\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{3}{4}=\tfrac{2\cdot 3}{3\cdot 4}$. Trójka góra-dół się znosi: $\tfrac{2}{4}=\tfrac{1}{2}$. To nie magia — to ta sama równoważność z działu 5, tylko w locie.

Mieszane: najpierw niewłaściwa. $2\tfrac{1}{2}\cdot 3\tfrac{1}{3}=\tfrac{5}{2}\cdot\tfrac{10}{3}=\tfrac{50}{6}=\tfrac{25}{3}=8\tfrac{1}{3}$. Automat „2·3 i $\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{3}$" daje $6\tfrac{1}{6}$ i jest zły. Całości i ułamki w mieszanej nie żyją osobnymi życiami przy mnożeniu.

📐 DEFINICJA — iloczyn ułamków: $\tfrac{a}{b}\cdot\tfrac{c}{d}=\tfrac{ac}{bd}$ (przy $b,d\neq 0$). „Z" w języku („trzy czwarte z dwudziestu") to to samo mnożenie.

Po ludzku: część z części; siatka licznik × mianownik. Czym to NIE jest: wspólny mianownik; mnożenie osobno całości i ułamków w mieszanej.

Ułamek liczby, całość z części, powiększenie

Ułamek danej liczby. $\tfrac{3}{4}$ z 20 zł: $\tfrac{3}{4}\cdot 20=\tfrac{3\cdot 20}{4}=15$ zł. „Z" = razy. 20 to $\tfrac{20}{1}$.

Całość, gdy znasz część. Wiesz, że $\tfrac{2}{5}$ kwoty to 12 zł. Szukasz całości. To dzielenie przez ułamek (albo: 2 części po 12, jedna część to 6, pięć części to 30). Algebraicznie: $x\cdot\tfrac{2}{5}=12\Rightarrow x=12:\tfrac{2}{5}=12\cdot\tfrac{5}{2}=30$.

Powiększenie o ułamek. Podwyżka o $\tfrac{1}{4}$: nowa kwota to stara plus ćwierć starej, czyli $\times\bigl(1+\tfrac{1}{4}\bigr)=\times\tfrac{5}{4}$. 80 zł po podwyżce: $80\cdot\tfrac{5}{4}=100$. Pomniejszenie o $\tfrac{1}{5}$: zostaje $\tfrac{4}{5}$, więc $\times\tfrac{4}{5}$. $80\cdot\tfrac{4}{5}=64$. Nie odejmujesz „$\tfrac{1}{5}$" jakby to było 0,2 zł — odejmujesz piątą część tej kwoty.

💭 Pomyśl: Cena 60 zł spadła o $\tfrac{1}{3}$, potem wzrosła o $\tfrac{1}{3}$ nowej ceny. Czy wróciła do 60? Policz, zanim powiesz „tak, bo plus i minus się zniosły".

Sprawdź odpowiedź

Nie. Spadek: $60\cdot\tfrac{2}{3}=40$. Wzrost o $\tfrac{1}{3}$ z 40: $40\cdot\tfrac{4}{3}=\tfrac{160}{3}=53\tfrac{1}{3}$ zł. Druga trzecia jest od innej bazy. Ten wzorzec wraca przy procentach (dział 12) — dziura jest tu, nie w procencie.

Dzielenie: ile razy zmieści się

$\tfrac{3}{4}:\tfrac{1}{8}$. Pytanie nie brzmi „odwróć i pomnóż" — brzmi: ile ósemek wchodzi w trzy czwarte? Pasek $\tfrac{3}{4}$; małe paski $\tfrac{1}{8}$; wchodzi ich sześć. $6$. I teraz skrót: dzielić przez $\tfrac{1}{8}$ to mnożyć przez 8, bo porcja jest osiem razy drobniejsza niż całość. Ogólnie: dzielić przez ułamek = mnożyć przez odwrotność.

$$\tfrac{3}{4}:\tfrac{1}{8}=\tfrac{3}{4}\cdot\tfrac{8}{1}=\tfrac{24}{4}=6.$$

W trzech czwartych mieści się dokładnie sześć ósmych części, więc trzy czwarte dzielone przez jedną ósmą to sześć · źródło: opracowanie własne AsLekcyjny

Odwrotność $\tfrac{a}{b}$ (przy $a\neq 0$) to $\tfrac{b}{a}$. Liczba i jej odwrotność dają 1. Dzielenie przez 2 to $\times\tfrac{1}{2}$: ta sama reguła, tylko 2 to $\tfrac{2}{1}$.

Mieszane znowu: na niewłaściwe. $1\tfrac{1}{2}:\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{2}\cdot 4=6$. Półtorej czekolady, porcje po ćwiartce: sześć porcji. Historia trzyma.

🧮 Krok po kroku: ile to $\tfrac{2}{5}$ z $1\tfrac{1}{4}$, i jaka jest całość, jeśli $\tfrac{2}{5}$ z niej to $1\tfrac{1}{4}$? Dwa różne pytania.

Ułamek liczby: $\tfrac{2}{5}\cdot\tfrac{5}{4}=\tfrac{2}{4}=\tfrac{1}{2}$.

Całość z części: $x\cdot\tfrac{2}{5}=\tfrac{5}{4}\Rightarrow x=\tfrac{5}{4}\cdot\tfrac{5}{2}=\tfrac{25}{8}=3\tfrac{1}{8}$.

Słowa „z" i „to jest część" odwracają stronę równania. Czytaj zdanie do kropki.

Odwrotność mieszanej i reszta kieszonkowego

Odwrotność $2\tfrac{1}{2}$ nie jest $2\tfrac{2}{1}$. Najpierw niewłaściwa: $\tfrac{5}{2}$, odwrotność $\tfrac{2}{5}$. Dzielenie przez półtorej czekolady to „ile takich półtorej zmieści się" — czyli $\times\tfrac{2}{5}$. $6:2\tfrac{1}{2}=\tfrac{6}{1}\cdot\tfrac{2}{5}=\tfrac{12}{5}=2\tfrac{2}{5}$. Kontrola: $2\tfrac{2}{5}\cdot 2\tfrac{1}{2}=\tfrac{12}{5}\cdot\tfrac{5}{2}=6$.

Kieszonkowe 80 zł, wydajesz $\tfrac{3}{8}$. Zostaje $\tfrac{5}{8}\cdot 80=50$ zł — albo liczysz wydane $\tfrac{3}{8}\cdot 80=30$ i odejmujesz od całości. To mnożenie, nie odejmowanie mianowników. Gdy treść mówi „wydałeś 30 zł, a to była $\tfrac{3}{8}$ kieszonkowego", to 30 jest częścią — szukasz całości ($30:\tfrac{3}{8}=80$), nie „80 minus $\tfrac{3}{8}$". Słowa rozstrzygają, którą z trzech historii z tej jednostki odpalasz.

Skracanie po drodze przy $\tfrac{4}{9}\cdot\tfrac{3}{8}$: czwórka z ósemką → $\tfrac{1}{9}\cdot\tfrac{3}{2}=\tfrac{3}{18}=\tfrac{1}{6}$. Wolno skracać ukośnie (licznik jednego z mianownikiem drugiego), bo to ten sam iloczyn gór i dołów. Nie wolno skracać dwóch liczników ze sobą — to już inna historia.

⚠️ Uwaga, pułapka

Wspólny mianownik przy mnożeniu. Inna historia. Mianowniki mnożysz.
Mieszane × mieszane „po kawałku". $2\tfrac{1}{2}\times 3\tfrac{1}{3}\neq 6\tfrac{1}{6}$.
Dzielenie = odwróć pierwszy zamiast drugi. Odwrotność bierzemy od dzielnika (tego po dwukropku / pod kreską).
„Z" pomylone z całością. $\tfrac{2}{5}$ z 30 to 12; jeśli 12 to $\tfrac{2}{5}$, całość jest 30: te same liczby, odwrotne pytanie.
Powiększenie o $\tfrac{1}{4}$ to nie „dodaj $\tfrac{1}{4}$" do 80 jak do mianownika; to dodaj ćwierć osiemdziesiątki.

🎒 Teraz Ty

1. Oblicz $\tfrac{5}{6}\cdot\tfrac{9}{10}$ (skróć po drodze) oraz $2\tfrac{2}{3}:1\tfrac{1}{3}$.

Pokaż rozwiązanie

Iloczyn: trójka i dwójka ze skrócenia $\tfrac{5\cdot 3}{2\cdot 10}=\tfrac{15}{20}=\tfrac{3}{4}$ (albo od razu 5 i 10, 3 i 6). Iloraz: $\tfrac{8}{3}:\tfrac{4}{3}=\tfrac{8}{3}\cdot\tfrac{3}{4}=2$. Kontrola: ile razy $1\tfrac{1}{3}$ mieści się w $2\tfrac{2}{3}$? Dwa razy.

2. $\tfrac{3}{5}$ długości to 12 cm. Jaka jest cała długość? O ile ją powiększyć, żeby wzrosła o $\tfrac{1}{4}$?

Pokaż rozwiązanie

Całość: $12:\tfrac{3}{5}=12\cdot\tfrac{5}{3}=20$ cm. Powiększenie o $\tfrac{1}{4}$: $20\cdot\tfrac{5}{4}=25$ cm (albo +5 cm). Dwa kroki, dwa wyniki — nie sklejaj w jedno.

3. Narysuj (choćby w brudnopisie) $\tfrac{1}{2}:\tfrac{1}{6}$ jako „ile porcji" i zapisz mnożenie przez odwrotność.

Pokaż rozwiązanie

W połowie mieszczą się trzy szóstki. $\tfrac{1}{2}\cdot 6=3$. Pasek + trzy małe. Jeśli wyszło $\tfrac{1}{12}$, odwróciłeś zły ułamek albo pomyliłeś z mnożeniem bez historii porcji.

4. Kieszonkowe. Z 90 zł zostawiłeś $\tfrac{2}{5}$. Ile wydałeś? O ile trzeba powiększyć to, co zostało, o $\tfrac{1}{4}$, żeby dostać nową kwotę?

Pokaż rozwiązanie

Zostało $\tfrac{2}{5}\cdot 90=36$ zł, wydane $54$ zł. Powiększenie 36 o $\tfrac{1}{4}$: $36\cdot\tfrac{5}{4}=45$ zł. Jeśli $90\cdot\tfrac{5}{4}$, powiększyłeś całość, nie resztę. Jeśli $90-\tfrac{2}{5}$, odjąłeś ułamek jak 0,4 zł.

✍️ Na egzaminie

Słowo „z" w treści to mnożenie. „Jaka część" przy danej części i całości to iloraz. „O ile % / o jaką część więcej" to powiększenie — baza jest stara kwota. Na otwartym: jedna linijka „$\tfrac{3}{4}$ z 20 to $\tfrac{3}{4}\cdot 20=15$" jest tokiem; sama 15 w ramce bywa 1 pkt z 2. Rysunek paska przy dzieleniu jest legalny i często krótszy niż wzór.

Powiększenie / pomniejszenie: przeczytaj, od czego liczysz część. „O $\tfrac{1}{4}$ więcej niż 80" to 100; „o $\tfrac{1}{4}$ więcej niż to, co zostało" — inna baza. Zamknięte lubi obie interpretacje jako opcje. Odwrotność mieszanej: jeśli dzielisz przez $1\tfrac{1}{2}$, najpierw $\tfrac{3}{2}$, potem $\times\tfrac{2}{3}$. Dystraktor: $\times 1\tfrac{2}{1}$.

📌 W pigułce

$\times$ ułamków: część z części; mnożysz góry i doły; bez wspólnego mianownika.
$:$ = ile porcji = $\times$ odwrotność dzielnika.
Mieszane przy $\times$ i $:$ → niewłaściwa.
Ułamek liczby / całość z części / $\times\bigl(1\pm\tfrac{p}{q}\bigr)$: trzy pytania, nie jedno.
Mnożenie nie jest „trudniejsze". Jest inną historią niż 7.1.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

[ ] Mnożę bez wspólnego mianownika i umiem powiedzieć dlaczego.
[ ] Dzielenie umiem opowiedzieć porcjami, nie tylko zaklęciem.
[ ] Rozróżniam „ułamek z liczby" i „całość, gdy znam część".
[ ] Powiększenie/pomniejszenie o część liczę od tej kwoty.

Ucz się tej jednostki z asystentem