Wyrażenia mieszane

🎯 Po co Ci to?

PP wprost podaje potwora w rodzaju $12:0{,}25+5{,}25:0{,}05-7\tfrac{1}{2}(2{,}5-3\tfrac{2}{3})+1{,}25$ nie po to, żeby Cię postraszyć. Po to, żebyś rozebrał go na meble: nawias, potem $\times$ i $:$, potem $+$ i $-$, a po drodze kwadrat albo sześcian ułamka. Ściana jest z daleka. Z bliska to cztery rzeczy, które już umiesz z 7.1–7.3 i z kolejności z działu 2.

✅ Czego się nauczysz

Po tej jednostce:

  • liczysz wyrażenie z ułamkami zwykłymi i dziesiętnymi w kolejności działań;
  • podnosisz ułamek do kwadratu i sześcianu (V.7);
  • umiesz rozebrać przykład z podstawy krok po kroku, bez paniki.

🔁 Przypomnij sobie

Kolejność (dział 2): nawiasy → potęgi → $\times$ i $:$ od lewej → $+$ i $-$ od lewej. Zapis $7\tfrac{1}{2}(2{,}5-3\tfrac{2}{3})$ to mnożenie (puste miejsce między liczbą a nawiasem). $12:0{,}25$ to 12 podzielić przez 0,25, nie „dwanaście całych i 25 setnych". Kwadrat: $a^2=a\cdot a$ (dział 8 dopowie skrót; tu wystarczy mnożenie).

📘 Wyjaśnienie

Kwadrat i sześcian ułamka

$\bigl(\tfrac{2}{5}\bigr)^2=\tfrac{2}{5}\cdot\tfrac{2}{5}=\tfrac{4}{25}$. Góry do kwadratu, doły do kwadratu — bo dwa razy część z części. $\bigl(\tfrac{2}{5}\bigr)^3=\tfrac{8}{125}$. Dziesiętnie: $(0{,}2)^2=0{,}04$ (dwa miejsca × dwa w iloczynie). Nie jest prawdą, że „kwadrat ułamka właściwego jest większy" — jest mniejszy, bo bierzesz część z części mniejszej niż 1. $\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^2=\tfrac{1}{4}<\tfrac{1}{2}$. Przy liczbie $>1$ kwadrat rośnie: $\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^2=\tfrac{9}{4}$.

Dziesiętny kwadrat, który myli miejsca: $(1{,}2)^2=1{,}44$, nie $1{,}4$ i nie $2{,}4$. Dwa czynniki, dwa+dwa miejsca, ale $12\cdot 12=144$ → dwa miejsca → $1{,}44$. $(0{,}5)^3=0{,}125$: trzy czynniki po jednym miejscu → trzy miejsca. Sześcian ułamka zwykłego: $\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)^3=\tfrac{27}{64}$, nie „3³ na górze i 4 na dole".

Rozgrzewka przed ścianą z PP

Zanim weźmiesz pięć mebli naraz, zrób krótki korytarz tej samej kolejności: $8:0{,}5+2\cdot\bigl(1-1\tfrac{1}{2}\bigr)$. Nawias: $1-\tfrac{3}{2}=-\tfrac{1}{2}$. Iloczyn: $2\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)=-1$. Dzielenie: $8:0{,}5=16$. Suma: $16+(-1)=15$. Minus w nawiasie znowu nie jest błędem. Jeśli 16−1 bez nawiasu-iloczynu jako ujemnego — ten sam automat, który na ścianie PP zje +8,75.

💭 Pomyśl: Co większe: $\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^2$ czy $\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{3}$? Nie licz „na trudność" — policz.

Sprawdź odpowiedź

$\tfrac{1}{4}$ vs $\tfrac{1}{6}$. $\tfrac{1}{4}$ większe. Kwadrat to też mnożenie, tylko przez siebie. Porównanie różnicą z 7.1: $\tfrac{3}{12}-\tfrac{2}{12}=\tfrac{1}{12}$.

Przykład z PP — rozbieramy, nie straszymy

Zapisujemy tak, jak w podstawie (przecinek polski, dwukropek jako dzielenie):

$$12:0{,}25+5{,}25:0{,}05-7\tfrac{1}{2}\bigl(2{,}5-3\tfrac{2}{3}\bigr)+1{,}25.$$

Z daleka: ściana. Z bliska pięć mebli:

  1. nawias $2{,}5-3\tfrac{2}{3}$,
  2. mnożenie $7\tfrac{1}{2}$ przez ten nawias,
  3. $12:0{,}25$,
  4. $5{,}25:0{,}05$,
  5. na końcu $+$ i $-$ od lewej, plus $1{,}25$.

Nie musisz kochać mieszanki zwykłych i dziesiętnych. Zamień na jeden świat — tu wygodnie ułamki zwykłe (albo wszystko na dziesiętne; wybierz jedno i trzymaj).

🧮 Krok po kroku (zwykłe; dziesiętne w nawiasie jako kontrola).

Meble 3 i 4: dzielenia. $12:0{,}25=12:\tfrac{1}{4}=12\cdot 4=48$. $5{,}25:0{,}05=\tfrac{21}{4}:\tfrac{1}{20}=\tfrac{21}{4}\cdot 20=105$. (Kontrola: $525:5=105$ po przesunięciu przecinków ×100.)

Mebel 1: nawias. $2{,}5=\tfrac{5}{2}=\tfrac{15}{6}$, $3\tfrac{2}{3}=\tfrac{11}{3}=\tfrac{22}{6}$, $\tfrac{15}{6}-\tfrac{22}{6}=-\tfrac{7}{6}$. Tak: ujemne. 2,5 jest mniejsze niż $3\tfrac{2}{3}$. Minus w nawiasie nie jest błędem — jest faktem. (Dziesiętnie: $2{,}5-3{,}(6)=-1{,}1(6)=-\tfrac{7}{6}$.)

Mebel 2: mnożenie przez mieszaną. $7\tfrac{1}{2}=\tfrac{15}{2}$, $\tfrac{15}{2}\cdot\bigl(-\tfrac{7}{6}\bigr)=-\tfrac{105}{12}=-\tfrac{35}{4}=-8{,}75$. W wyrażeniu stoi minus przed tym iloczynem: $-,7\tfrac{1}{2}(\ldots)=-\bigl(-8{,}75\bigr)=+8{,}75$. Minus razy minus. Tu wielu ludzi zamarza drugi raz — zostawiają $-8{,}75$ i gubią znak z „minus przed nawiasem-iloczynem".

Składanie. $48+105+8{,}75+1{,}25$. $48+105=153$, $8{,}75+1{,}25=10$, razem 163.

Jeśli wyszło 145,5 albo 153−8,75: zgubiłeś minus × minus. Jeśli 3+105: wziąłeś $12\cdot 0{,}25$ zamiast dzielenia.

📐 DEFINICJA — wyrażenie mieszane (w tym dziale): jedno działanie złożone z $+$ $-$ $\times$ $:$ nawiasów i ewentualnie kwadratów/sześcianów ułamków zwykłych i dziesiętnych; wartość liczysz kolejnością, nie „od lewej zawsze" i nie „najpierw wszystkie ułamki zwykłe, potem przecinki".

Po ludzku: rozbierasz ścianę na meble, nie połykasz jej w całości. Czym to NIE jest: nowy gatunek matematyki; pozwolenie, żeby kalkulator na E8 „wziął całość".

Możesz po drodze pisać dziesiętne ($7{,}5\cdot(-1{,}1(6))$), byle nie mieszać zasad w jednym wierszu. Otwarte lubi widzieć: nawias = taka liczba, potem iloczyn, potem suma.

Druga droga do 163, czysto dziesiętna: $12:0{,}25=48$ i $5{,}25:0{,}05=105$ z 7.3 (przesuń przecinki). Nawias zostaw zwykłym, jeśli $3\tfrac{2}{3}$ straszy okresowością — albo weź $3{,}(6)$ i odejmij od 2,5. Iloczyn $7{,}5\times(-1{,}1(6))=-8{,}75$; minus przed tym meblem daje $+8{,}75$; doklejasz $1{,}25$. $153+10=163$. Jedna zamiana świata na początku, potem już nie skaczesz. Jeśli boisz się obu naraz — licz nawias ułamkiem, dzielenia przecinkiem: to nadal dwa czyste meble, nie ściana.

rozbierz na klocki i licz po koleinawias−7 : 6mnożenie−8,75minus daje+8,75dzielenia48, 105na koniec+1,25123kolejność: nawias, mnożenie i dzielenia, dodawanie48 + 105 + 8,75 + 1,25= 163żaden klocek osobno nie jest trudny
Długie wyrażenie rozłożone na pięć klocków liczonych po kolei: najpierw dzielenia, potem nawias, potem iloczyn, na końcu dodawanie · źródło: opracowanie własne AsLekcyjny

⚠️ Uwaga, pułapka

  • Od lewej jak w czytaniu, zanim nawias.
  • $a(b-c)$ potraktowane jako $a-c$ albo $ab-c$.
  • $12:0{,}25$ jako ×0,25 (=3) — ściana robi się „mała", bo wyszło ładnie.
  • Kwadrat tylko licznika: $\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^2\to\tfrac{4}{3}$.
  • Znak: minus przed ujemnym iloczynem. Zapisz nawiasem: $-(-8{,}75)$.
  • Mieszanie przecinka i zwykłego w jednym słupku bez zamiany.

🎒 Teraz Ty

1. $\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)^2+\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^3$.

Pokaż rozwiązanie

$\tfrac{9}{16}+\tfrac{1}{8}=\tfrac{9}{16}+\tfrac{2}{16}=\tfrac{11}{16}$. Sześcian $\tfrac{1}{2}$ to $\tfrac{1}{8}$, nie $\tfrac{1}{6}$.

2. $10:0{,}5-2\cdot\bigl(1\tfrac{1}{2}-\tfrac{2}{3}\bigr)$. Tylko kolejność i wynik.

Pokaż rozwiązanie

$10:0{,}5=20$. Nawias: $\tfrac{3}{2}-\tfrac{2}{3}=\tfrac{5}{6}$. $2\cdot\tfrac{5}{6}=\tfrac{5}{3}$. $20-\tfrac{5}{3}=\tfrac{55}{3}=18\tfrac{1}{3}$.

3. W przykładzie z PP, bez patrzenia wyżej: ile jest $12:0{,}25$ i czemu to nie 3? Potem sprawdź, czy pamiętasz, skąd +8,75 zamiast −8,75.

Pokaż rozwiązanie

48, bo ćwierć wchodzi w 12 czterdzieści osiem razy (albo ×4). +8,75: nawias ujemny, razy $7\tfrac{1}{2}$ daje ujemne, a przed tym stoi jeszcze minus wyrażenia. Dwa minusy.

4. $\bigl(0{,}2\bigr)^2+\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr)^2$ oraz $6:0{,}25-\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^3$. Dwa wyniki.

Pokaż rozwiązanie

$0{,}04+\tfrac{9}{25}=\tfrac{1}{25}+\tfrac{9}{25}=\tfrac{10}{25}=\tfrac{2}{5}$. $24-\tfrac{1}{8}=\tfrac{192}{8}-\tfrac{1}{8}=\tfrac{191}{8}=23\tfrac{7}{8}$. Jeśli $0{,}4+0{,}36$, dodałeś zamiast kwadratów. Jeśli $6\cdot 0{,}25$, znowu dzielenie policzone jak mnożenie.

✍️ Na egzaminie

Rzadko dostaniesz całego potwora z PP jako jedyne zadanie — częściej kawałek: nawias + jedno dzielenie. Ale kolejność jest w zamkniętych (dystraktor = od lewej) i w otwartych 2–3 pkt. Zostaw wiersze mebli, nie jeden kłąb. Jednostka, jeśli to zł / cm. Sprawdź aktualny informator — formuła arkusza bywa aktualizowana; kolejność działań nie.

Kwadrat ułamka: dystraktor „tylko licznik". Sześcian $(0{,}1)^3=0{,}001$, nie $0{,}3$. Ściana z PP: nie musisz jej kochać na pamięć — musisz umieć rozebrać analog. Minus przed ujemnym nawiasem: zapisz $-(-8{,}75)$ dosłownie, zanim dodasz. Jeśli czas goni, najpierw dwa dzielenia (48 i 105), potem nawias — te meble są najgrubsze.

📌 W pigułce

  • Nawias → potęga (kwadrat/sześcian) → $\times$: → $+-$ od lewej.
  • $(\frac{p}{q})^2=\frac{p^2}{q^2}$; ułamek właściwy w kwadracie maleje.
  • Ścianę z PP rozbierasz na meble; 163 jest końcem drogi, nie zgadywaniem.
  • Minus × minus w środku wyrażenia zapisuj nawiasem, zanim złożysz sumę.
  • Kalkulator na sali nie rozbierze kolejności za Ciebie.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

  • [ ] Kwadrat i sześcian ułamka (zwykły i dziesiętny).
  • [ ] Czytam $a(b-c)$ jako mnożenie przez cały nawias.
  • [ ] $12:0{,}25=48$ z historią porcji, nie z 3.
  • [ ] Potrafię odtworzyć znak +8,75 w przykładzie PP własnymi słowami.

Ucz się tej jednostki z asystentem