Notacja wykładnicza
🎯 Po co Ci to?
4 500 000 na kartce gubi zera. $4{,}5\cdot 10^6$ mówi: „cztery i pół, a przecinek skoczył o sześć w prawo". Masa, odległość, liczba mieszkańców, pomyłka w zerach na fakturze — to ten sam ruch przecinka co w dziale 1, tylko z etykietą $10^k$. Na E8: zamiana w obie strony i warunek $1\le a<10$. $45\cdot 10^5$ jest złym zapisem kanonicznym (45 nie leży w $[1;10)$).
✅ Czego się nauczysz
Po tej jednostce:
- zapisujesz liczbę jako $a\cdot 10^k$ z $1\le a<10$ i $k$ całkowitym;
- przesuwasz przecinek w prawo ($k>0$) i w lewo ($k<0$ małych liczb) jako ruch pozycji, bez pełnego kursu ujemnych wykładników z liceum;
- łapiesz zapis niekanoniczny ($12{,}3\cdot 10^4$, $0{,}4\cdot 10^7$).
🔁 Przypomnij sobie
Wartość pozycji (dział 1): każde miejsce w lewo ×10. $10^n$ = 1 i $n$ zer (8.1). Mnożenie dziesiętne przez 10, 100, 1000 = przecinek w prawo (7.3). $1\le a<10$ znaczy: jedna cyfra niezerowa (albo 1) przed przecinkiem, nie 10 i nie 0,3.
📘 Wyjaśnienie
Weź $45,000$. Przecinek „niewidzialny" stoi na końcu: $45000{,}$. Chcesz jedną cyfrę przed przecinkiem: $4{,}5$. Przesunąłeś przecinek o 4 miejsca w lewo, więc żeby wartość została, mnożysz przez $10^4$:
$$45,000=4{,}5\cdot 10^4.$$
Kontrola: $4{,}5\cdot 10,000=45,000$.
$3{,}02\cdot 10^5=302,000$: przecinek o 5 w prawo, dziury zapełniasz zerami. $6{,}7\cdot 10^2=670$.
Małe liczby. $0{,}0034$: przecinek musi skoczyć o 3 w prawo, żeby stanąć po 3: $3{,}4$. Skok w prawo przy liczbie $<1$ to $10^{-3}$ w zapisie:
$$0{,}0034=3{,}4\cdot 10^{-3}.$$
Nie musisz „kochać minusów" jak w liceum. Tu $10^{-3}$ znaczy: przecinek o trzy w lewo od $3{,}4$ (albo: $\tfrac{1}{10^3}=\tfrac{1}{1000}$). PP dopuszcza $k$ całkowite — więc ujemne $k$ jest w notacji, nie jako osobny dział o $a^{-n}$.
$k=0$: $7=7\cdot 10^0$, jeśli kiedyś zobaczysz; $10^0$ czytaj „nic nie przesuwaj". Nie roztrząsaj filozofii zera.
📐 DEFINICJA — notacja wykładnicza (zapis wykładniczy): postać $a\cdot 10^k$, gdzie $1\le a<10$ oraz $k$ jest liczbą całkowitą.
Po ludzku: jedna (niezerowa) cyfra przed przecinkiem × „ile skoków ×10". Czym to NIE jest: $45\cdot 10^3$ jako postać kanoniczna (popraw wartość, zły $a$); $0{,}45\cdot 10^5$ (a za małe); zwykły zapis ze spacjami.
Jak poprawić niekanoniczny. $12{,}3\cdot 10^4$: $a=12{,}3\ge 10$, przesuń przecinek w $a$ o 1 w lewo, $k$ o 1 w górę: $1{,}23\cdot 10^5$. $0{,}4\cdot 10^7$: $a<1$, przecinek w $a$ o 1 w prawo, $k$ o 1 w dół: $4\cdot 10^6$.
💭 Pomyśl: Zapisz kanonicznie $380$ i $0{,}00038$. Jaki $k$ w obu? Czy $3{,}8\cdot 10^{2}$ i $3{,}8\cdot 10^{-4}$ mają „to samo $a$"?
Sprawdź odpowiedź
Tak, to samo $a=3{,}8$; $k=2$ vs $k=-4$. Różni się tylko skok przecinka. $380=3{,}8\cdot 10^2$; $0{,}00038=3{,}8\cdot 10^{-4}$ (cztery miejsca od 3,8 w lewo: 0,00038).
🧮 Krok po kroku: $2{,}5\cdot 10^3+3\cdot 10^2$: tu nie dodajesz wykładników. To nie 8.2 na ślepo.
- Wspólny świat: $2500+300=2800=2{,}8\cdot 10^3$.
- Albo: $2{,}5\cdot 10^3+0{,}3\cdot 10^3=2{,}8\cdot 10^3$.
Iloczyn już tak: $(2\cdot 10^3)\cdot(4\cdot 10^5)=8\cdot 10^{8}$; tu wolno dodać $k$ (własność $10^m\cdot 10^n$). Suma i iloczyn to różne meble.
Ludzie, kilometry, suma vs iloczyn
Populacja $3{,}8\cdot 10^6$ to 3,8 miliona, nie „38 z sześcioma zerami w złym miejscu". Odległość $1{,}5\cdot 10^8$ km (rząd Ziemia–Słońce, rząd wielkości — nie musisz pamiętać astronomii) to 150 milionów km: przecinek osiem skoków w prawo od $1{,}5$.
Suma przy różnym $k$: $4\cdot 10^5+3\cdot 10^3$ to $400,000+3,000=403,000=4{,}03\cdot 10^5$, nie $7\cdot 10^{8}$ (dodałeś podstawy i wykładniki jak w 8.2). Iloczyn: $(4\cdot 10^5)\cdot(3\cdot 10^3)=12\cdot 10^{8}=1{,}2\cdot 10^{9}$; tu wykładniki wolno dodać, a 12 poprawiasz do kanonicznego $a$ (przecinek w lewo, $k$ w górę).
Porównanie: $2{,}1\cdot 10^4$ vs $8\cdot 10^3$. Większy wykładnik zwykle wygrywa przy $a$ z przedziału $[1,10)$: $21,000>8,000$. Wyjątek tylko gdy $k$ równe — wtedy porównujesz $a$.
Zapis zwykły ← notacja: $7{,}2\cdot 10^{-4}=0{,}00072$ (cztery skoki przecinka od 7,2 w lewo). $9\cdot 10^{0}=9$. $1\cdot 10^{6}=1,000,000$. Kontrola liczby zer: $k$ dodatnie przy $a$ z jedną cyfrą przed przecinkiem daje $k$ zer po tej cyfrze, jeśli $a$ jest całkowite ($3\cdot 10^4=30,000$: cztery pozycje). Gdy $a=3{,}14$, zera i cyfry po przecinku się dzielą: $3{,}14\cdot 10^4=31,400$.
⚠️ Uwaga, pułapka
- $a$ poza $[1,10)$: zostawione 45 albo 0,45.
- Liczenie miejsc „na oczka" (4 500 000 → $4{,}5\cdot 10^5$ zamiast $10^6$: zgubione zero).
- Dodawanie liczb w notacji jak potęg o tej samej podstawie bez sprowadzenia $k$.
- $10^{-3}$ przeczytane jako $-1000$ albo $10-3$.
- Myślenie, że notacja jest tylko „dla astronomów" — na E8 bywa 45 000 mieszkańców i $4{,}5\cdot 10^4$.
🎒 Teraz Ty
1. Zapisz $1,250,000$ oraz $0{,}006$ w postaci $a\cdot 10^k$.
Pokaż rozwiązanie
$1{,}25\cdot 10^6$; $6\cdot 10^{-3}$. Nie $12{,}5\cdot 10^5$ (niekanoniczne, choć równe). Nie $0{,}6\cdot 10^{-2}$ jako kanon.
2. Oblicz $ (3\cdot 10^4)\cdot(2\cdot 10^{-2}) $ i podaj kanonicznie.
Pokaż rozwiązanie
$6\cdot 10^{2}=6\cdot 10^2$ (już kanoniczne). $600$. Wykładniki $4+(-2)=2$.
3. Popraw: $52\cdot 10^3$ i $0{,}7\cdot 10^{-1}$.
Pokaż rozwiązanie
$5{,}2\cdot 10^4$; $7\cdot 10^{-2}$ (bo $0{,}7\cdot 0{,}1=0{,}07=7\cdot 10^{-2}$).
4. Miasto ma $2{,}4\cdot 10^5$ mieszkańców, drugie $8\cdot 10^4$. Które liczniejsze i ile razem w notacji kanonicznej?
Pokaż rozwiązanie
Pierwsze (240 000 > 80 000). Suma $3{,}2\cdot 10^5$. Jeśli wyszło $10{,}4\cdot 10^{9}$ albo $2{,}48\cdot 10^{9}$, dodałeś jak potęgi. Jeśli $8\cdot 10^5$, złożyłeś same $a$ przy złym $k$.
✍️ Na egzaminie
Zamknięte: „który zapis to $3{,}6\cdot 10^5$" z pułapką $36\cdot 10^4$ (równa wartość, ale pytanie bywa o postać z $1\le a<10$). Czytaj polecenie: „równa się" vs „jest zapisane w notacji". Otwarte: liczba zer + kanoniczny $a$. Ujemne $k$: jeśli jest w arkuszu, to skok przecinka, nie wykład o $a^{-n}$. Informator CKE: aktualny zakres.
Poprawianie $a$: jeśli $a\ge 10$, przecinek w $a$ w lewo i $k$ w górę; jeśli $a<1$, odwrotnie. Suma dwóch zapisów o różnym $k$ nie używa 8.2 na ślepo. Iloczyn — tak. Zamknięte lubi $4{,}5\cdot 10^4$ vs $45\cdot 10^3$ jako „który jest w notacji wykładniczej", nie „który jest równy".
📌 W pigułce
- $a\cdot 10^k$, $1\le a<10$, $k$ całkowite.
- Przecinek w lewo przy dużej liczbie → $k$ dodatnie = ile skoków.
- Mała liczba → $k$ ujemne = skok w lewo od $a$ (albo w prawo od 0,00…).
- Iloczyn: wolno dodać $k$. Suma: najpierw ten sam $k$ albo zwykłe liczby.
- 45·10³ popraw liczbowo, kanon to $4{,}5\cdot 10^4$.
🔍 Sprawdź, czy umiesz
- [ ] Zamieniam 5 200 000 i 0,00052 na kanoniczny zapis.
- [ ] Łapię $a$ za duże / za małe i poprawiam $k$.
- [ ] Nie dodaję $2\cdot 10^3+3\cdot 10^5$ jako $5\cdot 10^8$.
- [ ] $10^{-3}$ umiem pokazać przecinkiem, nie „minus tysiąc".