Pierwiastek kwadratowy i sześcienny

🎯 Po co Ci to?

Płytka kwadratowa 144 cm² — jaki bok, żeby ułożyć bez docinania? $12$, bo $12^2=144$. To $\sqrt{144}$. Sześcienna paczka 125 cm³ — krawędź $5$, bo $5^3=125$. To $\sqrt[3]{125}$. Gdy pole jest 2, żaden ułamek nie trafia w bok dokładnie; nie udajemy, że „wyjdzie 1,4 i już". Na E8 dostaniesz raczej $\sqrt{\tfrac{9}{16}}$ albo $\sqrt{36}$, czasem $\sqrt{8}$ do wyłączenia (9.3). Ta jednostka stawia hak jako odwrotność potęgi.

✅ Czego się nauczysz

Po tej jednostce:

  • czytasz $\sqrt{a}$ i $\sqrt[3]{a}$ jako odwrotność kwadratu i sześcianu;
  • liczysz pierwiastki z kwadratów i sześcianów liczb wymiernych (ułamek, dziesiętna), które „wychodzą";
  • wiesz, co zrobić z $\sqrt{2}$: nie zmyślać ułamka, odesłać do szacowania.

🔁 Przypomnij sobie

$a^2$ i $a^3$ z 8.1: kratka i klocki. Kwadraty 1…15 i sześciany 1…10. Z 7.4 i 8.1: $\bigl(\tfrac{p}{q}\bigr)^2=\tfrac{p^2}{q^2}$. Liczba dodatnia w kwadracie zostaje dodatnia; ujemna w kwadracie też (dział 4: $(-3)^2=9$). Na E8 $\sqrt{,}$ z liczby ujemnej nie liczymy — hak kwadratowy w tym kursie stoi nad $\ge 0$.

📘 Wyjaśnienie

Kwadratowy. Szukasz nieujemnej liczby, której kwadrat jest $a$.

$$\sqrt{9}=3,\quad\text{bo }3^2=9\text{ i }3\ge 0.$$

$-3$ też daje 9 w kwadracie, ale $\sqrt{,}$ (symbol na E8) oznacza nieujemny pierwiastek. Dlatego $\sqrt{9}=3$, nie $\pm 3$. (Plus-minus wraca przy równaniach w liceum.)

Sześcienny. Szukasz liczby, której sześcian jest $a$. Tu znak żyje: $\sqrt[3]{8}=2$, $\sqrt[3]{-8}=-2$, bo $(-2)^3=-8$. Sześcian zachowuje znak.

📐 DEFINICJA — pierwiastek kwadratowy (w tym kursie): dla $a\ge 0$ liczba $\sqrt{a}\ge 0$ taka, że $(\sqrt{a})^2=a$. Pierwiastek sześcienny: $\sqrt[3]{a}$ to liczba, której sześcian równa się $a$ (tu $a$ może być ujemne).

Po ludzku: „jaki bok / jaka krawędź". Czym to NIE jest: dzielenie przez 2 albo 3; połowa wykładnika jako „zawsze $\frac{a}{2}$"; $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$.

Ułamek, który jest kwadratem: $\sqrt{\tfrac{9}{16}}=\tfrac{3}{4}$, bo $\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)^2=\tfrac{9}{16}$. Hak rozdziela się na górę i dół, gdy oba są kwadratami (to już 9.3 w zalążku). Dziesiętna: $\sqrt{0{,}09}=0{,}3$, bo $0{,}3^2=0{,}09$. $\sqrt{0{,}01}=0{,}1$, nie $0{,}01$.

Sześcian: $\sqrt[3]{\tfrac{8}{27}}=\tfrac{2}{3}$, $\sqrt[3]{0{,}001}=0{,}1$.

Pole 2 — nie zmyślamy ułamka

Kwadrat o polu 2. Bok to $\sqrt{2}$. $1^2=1$, $2^2=4$, więc $1<\sqrt{2}<2$. Czy $\sqrt{2}=\tfrac{7}{5}=1{,}4$? $1{,}4^2=1{,}96$, blisko 2, ale nie równe. I tak jest z każdym ułamkiem: żaden nie trafia dokładnie — dlatego szacujemy. Na E8 $\sqrt{2}$ zostawiasz pod hakiem albo szacujesz (9.2). Nie musisz nazywać tego teorią liczb niewymiernych. Musisz nie napisać $\sqrt{2}=\tfrac{3}{2}$.

jaki bok ma kwadrat o polu 2?1bok 12bok √24bok 2pole w środku, bok pod spodem012√2 gdzieś tuszacujemy między 1 a 2 — to wystarczy
Kwadrat o polu dwa ma bok równy pierwiastkowi z dwóch, który leży między jeden a dwa, bo kwadrat o polu jeden ma bok jeden, a o polu cztery ma bok dwa · źródło: opracowanie własne AsLekcyjny

💭 Pomyśl: Oblicz $\sqrt{81}$, $\sqrt{\tfrac{25}{36}}$, $\sqrt[3]{64}$ i powiedz, czemu $\sqrt{8}$ nie jest 4 (choć $8:2=4$).

Sprawdź odpowiedź

$9$; $\tfrac{5}{6}$; $4$. $\sqrt{8}$ to nie połowa — połowa to dzielenie. $2^2=4$, $3^2=9$, 8 siedzi między, bliżej 9? $2{,}8^2=7{,}84$, $2{,}9^2=8{,}41$, więc $\sqrt{8}$ trochę powyżej 2,8. Dokładniej w 9.3: $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.

🧮 Krok po kroku: $\sqrt{\tfrac{49}{100}}$ i $\sqrt[3]{\tfrac{-27}{8}}$.

  1. Góra i dół to kwadraty: $7^2$ i $10^2$ → $\tfrac{7}{10}=0{,}7$.
  2. Sześciany: $-27=(-3)^3$, $8=2^3$ → $-\tfrac{3}{2}$.

Znak przy sześcianie wychodzi z licznika. Przy $\sqrt{,}$ ujemnego nie ma w tym kursie.

Jeszcze wymierne, których E8 lubi

$\sqrt{0{,}36}=0{,}6$, bo $0{,}6^2=0{,}36$. $\sqrt{1{,}21}=1{,}1$. $\sqrt{\tfrac{9}{100}}=\tfrac{3}{10}$. Sześcian: $\sqrt[3]{0{,}008}=0{,}2$, $\sqrt[3]{\tfrac{-8}{27}}=-\tfrac{2}{3}$.

$\sqrt{1}=1$, $\sqrt{0}=0$. $\sqrt[3]{0}=0$. To nie zagadki — to brzeg definicji. $\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$, ale $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}$ to to samo (9.3); na razie licz góra i dół osobno jako kwadraty.

Kwadrat ułamka z 7.4 i 8.1 jest odwrotnością haka: $\bigl(\tfrac{5}{4}\bigr)^2=\tfrac{25}{16}$, więc $\sqrt{\tfrac{25}{16}}=\tfrac{5}{4}$. Hak nie zmienia znaku na minus przy kwadracie: $\sqrt{(-\tfrac{5}{4})^2}=\tfrac{5}{4}$.

Tablica, którą warto mieć obok kwadratów: sześciany $1^3$ do $10^3$ ($1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000$) i kilka ułamków: $\sqrt[3]{\tfrac{1}{8}}=\tfrac{1}{2}$, $\sqrt[3]{\tfrac{27}{64}}=\tfrac{3}{4}$, $\sqrt[3]{0{,}125}=0{,}5$. $\sqrt{121}=11$ wraca przy drabince 9.2; $\sqrt{169}=13$, $\sqrt{196}=14$, $\sqrt{225}=15$: te trzy oszczędzają minutę, gdy arkusz pyta o bok.

$\sqrt{a^2}=|a|$ w liceum; tu: przy $a\ge 0$ po prostu $a$. Przy $a<0$ hak kwadratowy i tak dostaje $a^2>0$ i oddaje nieujemne. Nie pisz $\sqrt{(-3)^2}=-3$.

⚠️ Uwaga, pułapka

  • $\sqrt{a}$ jako $\frac{a}{2}$. $\sqrt{16}\neq 8$.
  • $\sqrt{a^2}=a$ bez namysłu, gdy $a$ ujemne: $\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5$, nie $-5$. Hak kwadratowy zwraca nieujemne.
  • $\sqrt{4+5}=\sqrt{4}+\sqrt{5}$. Nie. $\sqrt{9}=3$, $\sqrt{4}+\sqrt{5}=2+\sqrt{5}\neq 3$.
  • $\sqrt{0{,}16}=0{,}16$ albo $0{,}4^2$ pomylone z miejscami: jest $0{,}4$.
  • Zmyślony ułamek na $\sqrt{2}$ albo $\sqrt{5}$, „żeby ładnie wyszło".

🎒 Teraz Ty

1. $\sqrt{121}$, $\sqrt{0{,}25}$, $\sqrt[3]{27}$, $\sqrt[3]{-1}$.

Pokaż rozwiązanie

$11$; $0{,}5$; $3$; $-1$.

2. $\sqrt{\tfrac{4}{9}}$ i $\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^2$: jak się mają? To odwrotne ruchy?

Pokaż rozwiązanie

Pierwsze = $\tfrac{2}{3}$. Drugie = $\tfrac{4}{9}$. Hak i kwadrat są odwrotne: $\sqrt{(\frac{2}{3})^2}=\frac{2}{3}$ (nieujemne). Nie są „tym samym działaniem".

3. Bok kwadratu o polu 2: napisz $\sqrt{2}$ i przedział między dwoma całkowitymi. Nie podawaj „ułamka dokładnego".

Pokaż rozwiązanie

$1<\sqrt{2}<2$. Ewentualnie $1{,}4^2=1{,}96$, $1{,}5^2=2{,}25$, więc bliżej 1,4; to już szacunek z 9.2, nie „wartość z klucza CKE jak $\tfrac{3}{4}$".

4. $\sqrt{0{,}36}$, $\sqrt[3]{-8}$, $\sqrt{\tfrac{81}{121}}$. Trzy wartości.

Pokaż rozwiązanie

$0{,}6$; $-2$; $\tfrac{9}{11}$. Jeśli $0{,}36$ albo $6$: miejsca / brak haka. Jeśli $2$ przy sześcianie: zgubiłeś minus (sześcian go trzyma).

✍️ Na egzaminie

Zamknięte: $\sqrt{\tfrac{36}{49}}$ z dystraktorem $\tfrac{36}{49}$ albo $\tfrac{6}{49}$. Otwarte: pole → bok to pierwiastek, jednostka cm. $\sqrt{2}$ w odpowiedzi geometrycznej (przekątna — dział 18) zostawiasz pod hakiem albo szacujesz, jeśli polecenie mówi „w przybliżeniu". Nie zastępuj ułamkiem z kapelusza.

$\sqrt{a}$ jako $\frac{a}{2}$ jest najdroższym automatem po „suma pod hakiem". Kontrola: $4^2=16$, więc $\sqrt{16}=4$, nie 8. Sześcian ujemny: znak zostaje. Dziesiętne: $\sqrt{0{,}25}=0{,}5$, bo ćwierć w kwadracie to ćwiartka boku pół. Jeśli polecenie każe „oblicz", a pod hakiem 2, zostaw $\sqrt{2}$ albo szacuj według 9.2; nie zmyślaj $\tfrac{7}{5}$.

📌 W pigułce

  • $\sqrt{a}$ (a≥0) = nieujemna liczba o kwadracie $a$; odwrotność $()^2$.
  • $\sqrt[3]{a}$ = liczba o sześcianie $a$; znak bywa minus.
  • Wymierne „ładne": $\sqrt{\frac{p^2}{q^2}}=\frac{p}{q}$ (p,q>0).
  • W $\sqrt{2}$ żaden ułamek nie trafia dokładnie — szacujemy, nie zmyślamy.
  • Hak to nie dzielenie przez 2.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

  • [ ] $\sqrt{81}$, $\sqrt[3]{125}$, ułamek-kwadrat i ułamek-sześcian.
  • [ ] Nie piszę $\sqrt{9}=\pm 3$ na E8.
  • [ ] $\sqrt{2}$ umiem opisać przedziałem, nie fałszywym ułamkiem.
  • [ ] Łączę hak z kratką / klockami z działu 8.

Ucz się tej jednostki z asystentem