Iloczyn, iloraz, wyłączanie i włączanie

🎯 Po co Ci to?

$\sqrt{8}$ na arkuszu często ma być $2\sqrt{2}$, nie „około 2,83". Wyłączasz czynnik, który jest kwadratem: $8=4\cdot 2$, $\sqrt{4}=2$. To nie nowa matematyka — to 8.2 i 9.1 w jednym haku: $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ (dla $a,b\ge 0$). Iloraz analogicznie. Mnożenie dwóch haków tego samego stopnia. Tu wielu zamarza, bo „wyłączanie" brzmi jak sztuczka. Jest rozbiorem na kratkę, którą już umiesz.

✅ Czego się nauczysz

Po tej jednostce:

  • $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$, $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$ ($b>0$);
  • to samo dla $\sqrt[3]{,}$ (czynnik-sześcian);
  • wyłączasz i włączasz czynnik; mnożysz i dzielisz pierwiastki tego samego stopnia.

🔁 Przypomnij sobie

$(xy)^2=x^2 y^2$ (8.2, wspólny wykładnik). Odwrotność: hak z iloczynu to iloczyn haków. $\sqrt{4\cdot 9}=\sqrt{36}=6$ oraz $\sqrt{4}\cdot\sqrt{9}=2\cdot 3=6$. Z 9.1: tylko nieujemne pod $\sqrt{,}$. $\sqrt{8}$ z 9.1 zostaje $2\sqrt{2}$.

📘 Wyjaśnienie

Iloczyn pod hakiem / nad hakiem.

$$\sqrt{3}\cdot\sqrt{12}=\sqrt{36}=6.$$

Albo: $\sqrt{3\cdot 12}=\sqrt{36}$. Kolejność dowolna, byle ten sam stopień (oba kwadratowe). $\sqrt{3}\cdot\sqrt[3]{3}$ nie sklejasz w jeden hak.

Iloraz. $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}=\sqrt{25}=5$. Albo skróć pod hakiem $50:2=25$.

Wyłączanie. Szukasz największego kwadratu w rozkładzie.

$$\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{3}=2\sqrt{3}.$$

$$\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2},\qquad \sqrt{18}=3\sqrt{2},\qquad \sqrt{75}=5\sqrt{3}.$$

Sześcian: $\sqrt[3]{24}=\sqrt[3]{8\cdot 3}=2\sqrt[3]{3}$. $\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=3\sqrt[3]{2}$.

Włączanie — od tyłu, gdy chcesz jeden hak (porównanie, iloczyn).

$$3\sqrt{2}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{18}.$$

$$2\sqrt{5}=\sqrt{4\cdot 5}=\sqrt{20}.$$

Po to, żeby porównać $3\sqrt{2}$ i $\sqrt{19}$: $18$ vs $19$ pod hakiem ⇒ $3\sqrt{2}<\sqrt{19}$.

wyłączanie przed znak√12√(4 · 3)2√34 jest kwadratem, więc wychodzi jako 2i z powrotem2√3√(4 · 3) = √12a tak NIE wolno:√(9 + 16) = √9 + √16√25 = 5, a nie 3 + 4 = 7
Pierwiastek z dwunastu rozkładamy na cztery razy trzy: czwórka wychodzi przed znak jako dwójka, a pod znakiem zostaje trójka; pierwiastek z sumy nie rozdziela się na sumę pierwiastków · źródło: opracowanie własne AsLekcyjny

💭 Pomyśl: Uprość $\sqrt{27}\cdot\sqrt{3}$ dwoma drogami: najpierw iloczyn pod hakiem, potem wyłącz z $\sqrt{27}$.

Sprawdź odpowiedź

$\sqrt{81}=9$. Druga: $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$, razy $\sqrt{3}=3\cdot 3=9$. To samo. Jeśli wyszło 27, dodałeś pod hakiem albo wziąłeś $\sqrt{27}+\sqrt{3}$.

🧮 Krok po kroku: $\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}$ oraz $\sqrt{8}\cdot\sqrt{18}$.

  1. Iloraz: $\sqrt{16}=4$. Albo $\sqrt{48}=4\sqrt{3}$, przez $\sqrt{3}$ → 4.
  2. Iloczyn: $\sqrt{144}=12$. Albo $2\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2}=6\cdot 2=12$ (bo $\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2$).

Gdy dwa haki z tym samym „ogonem" $\sqrt{2}$, ogony się zjadają do liczby ($\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2$), nie do $\sqrt{4}$ zostawionego w środku na wieki — choć $\sqrt{4}=2$ to to samo.

Mnożenie / dzielenie tego samego stopnia: dwa $\sqrt{,}$ albo dwa $\sqrt[3]{,}$. $\sqrt{a}\cdot\sqrt[3]{b}$ zostawiasz albo (liceum) sprowadzasz do wykładnika $\frac{1}{2}$ i $\frac{1}{3}$ (nie na E8). Tu: albo licznik/mianownik osobno, albo „tego nie sklejam".

📐 DEFINICJA — własności (a,b≥0, przy ilorazie b>0): $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$, $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$; analogicznie $\sqrt[3]{,}$. Wyłączenie: czynnik będący kwadratem (resp. sześcianem) wychodzi przed hak jako pierwiastek.

Po ludzku: hak lubi iloczyn i iloraz, nie lubi sumy. Czym to NIE jest: $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$; mieszanie √ z ∛ w jeden hak.

Wyrazy podobne: $2\sqrt{3}+5\sqrt{3}$

To nie jest $\sqrt{6}$ ani $7\sqrt{6}$. Hak z tym samym ogonem zachowuje się jak litera: $2x+5x=7x$, tu $x=\sqrt{3}$, więc $7\sqrt{3}$. Takie sumowanie to krok ponad literę PP — na E8 rzadkość; logika jest ta sama co przy wyrazach podobnych z działu 10. Możesz wyłączyć: $\sqrt{12}+\sqrt{75}=2\sqrt{3}+5\sqrt{3}=7\sqrt{3}$. $\sqrt{12}+\sqrt{8}=2\sqrt{3}+2\sqrt{2}$: różne ogony, nie sklejaj w $4\sqrt{5}$ ani $\sqrt{20}$.

Iloraz z wyłączeniem: $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}=\sqrt{25}=5$, albo $\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=5$. Ten sam ogon się znosi.

Stopnie: $\sqrt{8}\cdot\sqrt[3]{8}$ zostawiasz jako $2\sqrt{2}\cdot 2=4\sqrt{2}$ tylko jeśli najpierw policzysz każdy hak osobno — nie sklejasz haków różnego stopnia w jeden. Na E8 rzadko; jak padnie, dwa osobne ruchy.

Sześcian pod hakiem: ten sam schemat, inne klocki

$\sqrt[3]{16}\cdot\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{64}=4$. Wyłączanie: $16=8\cdot 2$, więc $\sqrt[3]{16}=2\sqrt[3]{2}$; dalej $\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{8}=2$, razem $2\cdot 2=4$. Obie drogi dają to samo; przez iloczyn pod hakiem jest krócej. $\sqrt[3]{54}=3\sqrt[3]{2}$, bo $54=27\cdot 2$. Iloraz: $\frac{\sqrt[3]{24}}{\sqrt[3]{3}}=\sqrt[3]{8}=2$.

Znak: $\sqrt[3]{-64}=-4$. Iloczyn $\sqrt[3]{-8}\cdot\sqrt[3]{27}=(-2)\cdot 3=-6$, albo $\sqrt[3]{-216}=-6$. Hak sześcienny zjada minus (jest w wyniku); kwadratowy minusa nie przyjmuje.

Nie wyłączaj z sześcianu jak z kwadratu: $\sqrt[3]{16}\neq 4\sqrt[3]{1}$ i nie $2\sqrt[3]{8}$. Szukasz sześcianu w rozkładzie (8, 27, 64…), nie kwadratu (4, 9, 16). 16 to kwadrat czwórki, ale pod $\sqrt[3]{,}$ wychodzi tylko ósemka z 16=8·2.

$\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}$. $\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}$. $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$, i stąd $\sqrt{50}$ vs $7$: $5\sqrt{2}=\sqrt{50}$ vs $\sqrt{49}$, więc tuż nad 7, spójnie z 9.2. Iloczyn $2\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}=6\cdot 3=18$ (ogony $\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3$). Nie $6\sqrt{9}$ zostawionego na wieki: $\sqrt{9}=3$, ten sam 18.

⚠️ Uwaga, pułapka

  • $\sqrt{9+16}=\sqrt{9}+\sqrt{16}=7$, zamiast $\sqrt{25}=5$. Najdroższy automat geometrii (Pitagoras to suma kwadratów, hak na końcu z sumy).
  • Wyłączenie połowy: $\sqrt{12}=4\sqrt{3}$ (wyszła 4 zamiast 2) albo $\sqrt{12}=2\sqrt{6}$ (zły rozkład).
  • $\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=\sqrt{a}$ zamiast $a$ (dla $a\ge 0$).
  • Włączanie $3\sqrt{2}=\sqrt{6}$ (włożyłeś 3, nie 9).
  • $\sqrt{-4}$ „wyłączam 4, zostaje minus" — w tym kursie nie.

🎒 Teraz Ty

1. Wyłącz: $\sqrt{32}$, $\sqrt{45}$, $\sqrt[3]{40}$.

Pokaż rozwiązanie

$4\sqrt{2}$ ($32=16\cdot 2$); $3\sqrt{5}$; $2\sqrt[3]{5}$ ($40=8\cdot 5$).

2. Oblicz $\sqrt{6}\cdot\sqrt{24}$ i $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}$.

Pokaż rozwiązanie

$\sqrt{144}=12$; $\sqrt{25}=5$. Drugie też: $\sqrt{75}=5\sqrt{3}$, przez $\sqrt{3}$ → 5.

3. Porównaj $2\sqrt{5}$ i $\sqrt{21}$, włączając pierwszy.

Pokaż rozwiązanie

$2\sqrt{5}=\sqrt{20}$. $20<21$ ⇒ $2\sqrt{5}<\sqrt{21}$.

4. $2\sqrt{3}+5\sqrt{3}$ oraz $\sqrt{18}+\sqrt{8}$. Uprość.

Pokaż rozwiązanie

$7\sqrt{3}$; $3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}$. Jeśli $\sqrt{21}$ albo $\sqrt{26}$, dodałeś pod hakiem. Jeśli $7\sqrt{6}$, pomnożyłeś ogon.

✍️ Na egzaminie

Zamknięte: $\sqrt{18}+\sqrt{8}$ z opcją $\sqrt{26}$ (zła suma pod hakiem) i $5\sqrt{2}$ (poprawne: $3\sqrt{2}+2\sqrt{2}$). Druga klasyczna para: $\sqrt{12}\cdot\sqrt{3}$ z dystraktorem $\sqrt{15}$ (dodałeś) i $6$ (klucz). Otwarte: uprość i porównaj — tok „włącz / wyłącz, porównaj liczby pod hakiem". Pitagoras (dział 18) kończy się $\sqrt{,}$ z sumy kwadratów, nie sumy pierwiastków. Jednostka przy długości.

Gdy widzisz $k\sqrt{m}$ obok $\sqrt{n}$, nie zgaduj „które większe na oko". Włącz $k$ pod hak ($k^2\cdot m$) i porównaj całkowite. To ta sama drabinka co w 9.2, tylko po sprzątnięciu. Sześcian na arkuszu bywa rzadziej — jeśli padnie $\sqrt[3]{40}$, szukaj 8 w 40, nie 4.

📌 W pigułce

  • Iloczyn i iloraz: haki tego samego stopnia sklejają się w jeden.
  • Suma: nie $\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$.
  • Wyłącz największy kwadrat (sześcian); włącz $k\sqrt{m}=\sqrt{k^2 m}$.
  • $\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a$ ($a\ge 0$).
  • √ i ∛ nie mieszaj w jeden hak na E8.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

  • [ ] $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$, $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$.
  • [ ] $\sqrt{3}\cdot\sqrt{12}=6$ bez kalkulatora.
  • [ ] Nie piszę $\sqrt{9+16}=7$.
  • [ ] Porównuję $3\sqrt{2}$ i $\sqrt{19}$ przez 18 vs 19.

Ucz się tej jednostki z asystentem