Wartość liczbowa i kasztany Bartka i Grzesia

🎯 Po co Ci to?

Maszyna z poprzedniej jednostki stoi. Teraz wrzucasz monetę. „Wartość liczbowa" to pretensjonalna nazwa na prostą rzecz: włóż liczby w puste miejsca i policz. Bez tego wyrażenie jest przepisem bez obiadu. A kasztany Bartka i Grzesia — to nie ozdoba. To dosłowny przykład z podstawy programowej: umieć zapisać całą historię literami, zanim ktokolwiek spyta „ile to jest przy $n=10$".

✅ Czego się nauczysz

Po tej jednostce:

  • obliczasz wartość liczbową wyrażenia (także z kilkoma literami);
  • zapisujesz zależności z zadania jako wyrażenia, krok po kroku;
  • przerabiasz historię kasztanów tak, jak chce PP — literami, nie zgadywaniem „na oko".

🔁 Przypomnij sobie

Kolejność działań (dział 2.3) obowiązuje także przy literach: najpierw nawiasy, potem potęgi, mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie. Ułamek kreską to nawias: $\frac{7n-10}{2}$ znaczy „całe $7n-10$, potem podziel przez $2$".

📘 Wyjaśnienie

Wartość liczbowa. Dane jest wyrażenie $3a+5$ i $a=4$. Wkładasz: $3\cdot 4+5=12+5=17$. To wszystko. Przy kilku literach każda dostaje swoją monetę: $2x+3y$ przy $x=5$, $y=-1$ to $10+(-3)=7$ (całkowite z działu 4; minus nie jest ozdobą).

💭 Pomyśl: $x^2-2x$ przy $x=3$ i przy $x=-3$. Czy wyjdzie to samo? Policz, zanim zgadniesz.

Sprawdź odpowiedź

Przy $3$: $9-6=3$. Przy $-3$: $(-3)^2-2\cdot(-3)=9+6=15$. Nie to samo. Kwadrat zjada znak, ale człon $-2x$ przy ujemnym $x$ staje się plusem. Pułapka: napisać $-3^2$ zamiast $(-3)^2$; wtedy wychodzi $-9$, a to już inny automat (minus tylko przy trójce, nie przy całym kwadracie).

Zależność z zadania. PP chce, żebyś historię tłumaczył na wyrażenia po kolei, nie skokiem do odpowiedzi. Każde zdanie = jeden ruch automatu.

Tu wchodzą kasztany. Podstawa podaje je dosłownie — przerabiamy je dosłownie.

Bartek i Grześ zbierali kasztany. Bartek zebrał $n$ kasztanów, Grześ zebrał $7$ razy więcej. Następnie Grześ w drodze do domu zgubił $10$ kasztanów, a połowę pozostałych oddał Bartkowi. Ile kasztanów ma teraz Bartek, a ile ma Grześ?

Czytamy zdanie po zdaniu. Żadnego „chyba razem".

  1. Bartek zebrał $n$. To start. Puste miejsce $n$ = kasztany Bartka na początku.
  2. Grześ zebrał $7$ razy więcej → $7n$. Nie $n+7$ („więcej o $7$") i nie $7+n$. Razy.
  3. Grześ zgubił $10$ → ma $7n-10$.
  4. Połowę pozostałych oddał Bartkowi. Pozostałych, czyli tego, co ma po zgubieniu: $\frac{7n-10}{2}$. Tyle odchodzi od Grzesia i przychodzi do Bartka.
  5. Grześ teraz: to, co mu zostało po oddaniu połowy — czyli druga połowa: $\frac{7n-10}{2}$.
  6. Bartek teraz: swoje $n$ plus to, co dostał: $n+\frac{7n-10}{2}$.

Wspólny mianownik (dział 7, gdy dziura — wróć tam, nie udawaj, że litera jest winna):

$$n+\dfrac{7n-10}{2} = \dfrac{2n}{2}+\dfrac{7n-10}{2} = \dfrac{9n-10}{2}.$$

Odpowiedź PP-owym językiem:

  • Bartek ma teraz $\frac{9n-10}{2}$ kasztanów;
  • Grześ ma teraz $\frac{7n-10}{2}$ kasztanów.
najpierw litery, liczby potemGrześ7n− 10gubi7n − 10dzieli na pół7n − 102dla Bartka7n − 102zostajeBartekn +7n − 102=9n − 102
Grześ ma siedem n kasztanów, gubi dziesięć i dzieli resztę na pół: połowa idzie do Bartka, który miał n, więc Bartek ma n dodać połowę z siedmiu n minus dziesięć · źródło: opracowanie własne AsLekcyjny

Sprawdzenie monetą. Niech $n=10$ (Bartek zebrał $10$).

  • Grześ zebrał $70$.
  • Zgubił $10$ → $60$.
  • Połowę ($30$) oddał Bartkowi.
  • Grześ ma $30$. Bartek ma $10+30=40$.

Wzory: $\frac{7\cdot 10-10}{2}=\frac{60}{2}=30$, $\frac{9\cdot 10-10}{2}=\frac{80}{2}=40$. Przepis i historia mówią to samo. Gdyby nie mówiły — błąd w przepisie, nie „kasztany są dziwne".

💭 Pomyśl: Przy jakim $n$ Grześ po zgubieniu $10$ miałby $0$ kasztanów? Czy wtedy „połowa pozostałych" jeszcze ma sens w świecie?

Sprawdź odpowiedź

$7n-10=0$ ⇒ $n=\frac{10}{7}$. W wyrażeniu wolno to napisać. W świecie kasztanów $n$ to raczej liczba naturalna i $7n\ge 10$, a $7n-10$ parzyste, jeśli dzielimy równo. Algebra zapisuje przepis; życie dodaje, które monety wolno wrzucić. Na egzaminie, gdy nie mówią „ile sztuk", zostawiasz wzór.

Kilka zmiennych. „Bilet $a$ zł, zniżka $b$ zł, kupujesz $k$ biletów" → koszt $k\cdot(a-b)$. Dwie albo trzy litery to nadal puste miejsca, tylko więcej otworów w maszynie. Wkładasz trzy monety naraz.

⚠️ Uwaga, pułapka

  • „$7$ razy więcej" = $n+7$. To jest „o $7$ więcej". Razy vs o: najczęstszy błąd tej jednostki i ulubiony dystraktor w zamkniętych.
  • Połowa z $7n$, nie z $7n-10$. Treść: połowa pozostałych (po zgubieniu). Kolejność zdań = kolejność działań.
  • Wstawiasz i liczysz od razu, zamiast zapisać wzór. Przy $n=10$ umiesz kasztany na palcach. PP i arkusz chcą wyrażenia dla dowolnego $n$. Najpierw litery, potem — jeśli pytają — moneta.

🧮 Przykład krok po kroku

Oblicz wartość $2(a-3)+5a$ dla $a=4$.

Droga A (najpierw nawias): $2(4-3)+5\cdot 4=2\cdot 1+20=22$.

Droga B (rozdzielność, zapowiedź 10.3): $2a-6+5a=7a-6$, potem $7\cdot 4-6=22$.

Ten sam obiad, dwa przepisy. Jeśli wyniki się rozjeżdżają — pomyłka w kolejności albo w znaku przy $-6$.

✍️ Na egzaminie

Otwarte „zapisz wyrażenie" ocenia przepis, nie podstawienie. Wynik $40$ przy $n=10$ bez wzoru to często pół punktu albo zero — bo zadanie chciało $\frac{9n-10}{2}$. Jeśli podają konkretne $n$, licz po wzorze i napisz jednostkę (kasztany, zł, cm). Sprawdź, czy liczba ma sens: ujemne kasztany = alarm.

🎒 Teraz Ty

1. Oblicz $\frac{3x-6}{x}$ dla $x=2$ i dla $x=3$. Co się psuje przy $x=0$?

Pokaż rozwiązanie

Przy $2$: $\frac{6-6}{2}=0$. Przy $3$: $\frac{9-6}{3}=1$. Przy $0$ mianownik jest zerem — nie wolno dzielić. Puste miejsce $x$ nie przyjmuje każdej monety. (To nie jest jeszcze „dziedzina funkcji" — liceum. Tu: zero w mianowniku = zakaz.)

2. Ola zebrała $k$ żołędzi, Tomek o $4$ mniej. Potem Ola oddała Tomkowi jedną trzecią swoich. Zapisz, ile ma teraz każdy. (Ułamek zgrzyta → dział 5 i 7.)

Pokaż rozwiązanie

Start: Ola $k$, Tomek $k-4$. Ola oddaje $\frac{1}{3}k$. Ola teraz: $k-\frac{1}{3}k=\frac{2}{3}k$. Tomek teraz: $(k-4)+\frac{1}{3}k=\frac{4}{3}k-4$. Pułapka: oddać trzecią część sumy albo trzecią część Tomka.

3. W kasztanach PP podstaw $n=4$ i $n=8$. Czy oba mają sens jako sztuki?

Pokaż rozwiązanie

$n=4$: Grześ $28$, po zgubieniu $18$, połowa $9$; Bartek $4+9=13$, Grześ $9$. Sens. $n=8$: Grześ $56-10=46$, połowa $23$; Bartek $8+23=31$. Sens. Oba naturalne, $7n-10$ parzyste. $n=3$: $21-10=11$, połowa $5{,}5$; wzór działa, świat kasztanów już nie (pół kasztana). Na egzaminie bez komentarza o sztukach zostawiasz ułamek.

📌 W pigułce

  • Wartość liczbowa = wstaw liczby, policz, kolejność działań jak zawsze.
  • Historię tłumaczysz zdanie po zdaniu na wyrażenia.
  • Kasztany: Bartek teraz $\frac{9n-10}{2}$, Grześ $\frac{7n-10}{2}$.
  • „Razy więcej" ≠ „o ile więcej". Połowa pozostałych ≠ połowa początkowych.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

  • [ ] Podstawiam i liczę, także przy liczbie ujemnej i ułamku.
  • [ ] Kasztany umiem zapisać literami bez zgadywania „ile wyszło".
  • [ ] Sprawdzam wzór jedną monetą ($n=10$), zanim oddam kartkę.
  • [ ] Wiem, kiedy zero w mianowniku zabija wyrażenie.

Ucz się tej jednostki z asystentem