Sumy algebraiczne: wyrazy podobne i mnożenie

🎯 Po co Ci to?

Przepis $4x+2x+6$ da się sprzątnąć do $6x+6$. Nikt na arkuszu nie chce sterty składników, które dają się złączyć. A przy iloczynie $(a+b)(c+d)$ wielu ludzi zamarza, bo „nawias razy nawias" wygląda na zaklęcie. Nie jest. To pole prostokąta pociętego na cztery mniejsze prostokąty. Gdy zobaczysz kratki, mnożenie dwumianu przestaje być cyrkiem.

✅ Czego się nauczysz

Po tej jednostce:

• porządkujesz jednomiany i dodajesz wyrazy podobne;
• dodajesz i odejmujesz sumy (z redukcją);
• mnożysz sumę przez jednomian;
• mnożysz dwumian przez dwumian i sprzątasz — z obrazem pola.

🔁 Przypomnij sobie

Rozdzielność z działu 2: $3\cdot(10+2)=3\cdot 10+3\cdot 2$. To samo prawo działa, gdy zamiast $10$ stoi $a$: $3(a+2)=3a+6$. Algebra nie wymyśla nowej reguły. Podkłada puste miejsca pod starą.

📘 Wyjaśnienie

Jednomian to „kawałek" w stylu $5$, $3a$, $-2xy$, $\tfrac{1}{2}n^2$. Liczba z przodu to współczynnik; litery z tyłu to część literowa.

Wyrazy podobne różnią się tylko współczynnikiem. $3a$ i $5a$ są podobne (oba „jakieś $a$"). $3a$ i $5b$ nie są. $3a$ i $3a^2$ nie są (inne potęgi — to nie to samo puste miejsce podniesione do tej samej mocy). $3ab$ i $3ba$ są podobne, bo $ab=ba$ (przemienność mnożenia).

Łączenie podobnych: $3a+5a=(3+5)a=8a$. Jak jabłka do jabłek. $3a+5b$ zostaje $3a+5b$; nie ma sztuczki, która zrobi z tego „$8$ coś".

💭 Pomyśl: Które pary są podobne: $4x$ i $-x$; $2xy$ i $2x$; $7$ i $-3$; $n^2$ i $2n$?

Sprawdź odpowiedź

$4x$ i $-x$ (czyli $-1\cdot x$): tak. $7$ i $-3$: tak (oba bez liter, „czyste liczby"). $2xy$ i $2x$: nie (raz jest $y$, raz nie). $n^2$ i $2n$: nie. Pułapka: uznać, że „jest $n$, więc podobne". Potęga należy do tożsamości wyrazu.

Dodawanie i odejmowanie sum. $(2a+5)+(3a-1)=2a+5+3a-1=5a+4$. Nawiasy przy plusie możesz zdjąć bez zmiany znaków. Przy minusie cała druga suma zmienia znaki: $(2a+5)-(3a-1)=2a+5-3a+1=-a+6$. Minus przed nawiasem to „zmień znak każdemu w środku", nie „zmień znak tylko pierwszemu".

Mnożenie sumy przez jednomian. $3(2x+5)=6x+15$. Każdy składnik w nawiasie dostaje to $3$. Potem, jeśli jest sąsiad: $3(2x+5)+4x=6x+15+4x=10x+15$.

To samo z literą z przodu: $a(b+c)=ab+ac$. I z minusem: $-2(x-4)=-2x+8$ (minus razy minus przy $4$).

Dwumian × dwumian = pole. Prostokąt o bokach $(a+b)$ i $(c+d)$ ma pole $(a+b)(c+d)$. Pocięty jedną kreską pionową i jedną poziomą daje cztery prostokąty: $ac$, $ad$, $bc$, $bd$.

$$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.$$

Nie „pierwsze razy pierwsze i już". Każdy z lewego nawiasu z każdym z prawego.

Przykład z redukcją: $(x+3)(x+5)=x\cdot x+x\cdot 5+3\cdot x+3\cdot 5=x^2+5x+3x+15=x^2+8x+15$. Wyrazy $5x$ i $3x$ są podobne — sprzątasz.

$(2a+1)(a-4)=2a\cdot a+2a\cdot(-4)+1\cdot a+1\cdot(-4)=2a^2-8a+a-4=2a^2-7a-4$.

💭 Pomyśl: Narysuj w głowie $(a+b)(a+b)$, czyli $(a+b)^2$. Ile prostokątów? Jakie pola? Czy $a^2+b^2$ wystarczy?

Sprawdź odpowiedź

Cztery pola: $a\cdot a=a^2$, $a\cdot b$, $b\cdot a$, $b\cdot b=b^2$. Środkowe dwa to $ab+ba=2ab$. Wychodzi $a^2+2ab+b^2$. Samo $a^2+b^2$ gubi dwa prostokąty $ab$. To jedna z najczęstszych dziur na egzaminie. Kratki jej nie pozwalają.

⚠️ Uwaga, pułapka

• $(a+b)^2=a^2+b^2$. Brakuje $2ab$. Kratki: dwa prostokąty pośrodku.
• Minus tylko na pierwszym składniku: $-(2x-5)=-2x-5$ (źle) zamiast $-2x+5$.
• $3a+3=6a$ albo $6$. $3$ nie ma litery $a$, więc nie jest podobne do $3a$. Zostaje $3a+3$, ewentualnie $3(a+1)$ (wyłączenie — przydatne, ale PP w klasach 7–8 kładzie nacisk na redukcję i mnożenie, nie na rozkład na czynniki jak w liceum).
• Mnożenie dwumianu „na krzyż" i zgubienie członu. Lepiej kratki albo systematycznie: lewy pierwszy × cały prawy, potem lewy drugi × cały prawy.

🧮 Przykład krok po kroku

Uprość $2(3x-1)-(x+4)+x\cdot(x+2)$.

1. $2(3x-1)=6x-2$.
2. $-(x+4)=-x-4$.
3. $x(x+2)=x^2+2x$ (jednomian × dwumian).
4. Sklej: $6x-2-x-4+x^2+2x$.
5. Podobne: $x^2+(6x-x+2x)+(-2-4)=x^2+7x-6$.

Sprawdź monetą, np. $x=1$: oryginał $2(3-1)-(1+4)+1\cdot 3=4-5+3=2$; wzór $1+7-6=2$. Zgadza się.

✍️ Na egzaminie

Zamknięte lubią $(a+b)^2$ kontra $a^2+b^2$ i minus przed nawiasem. Otwarte: uproszczenie ma być jedno wyrażenie posprzątane, nie pół strony nawiasów. Jeśli zostawiasz $x^2+5x+3x+15$, to jeszcze nie koniec — zredukuj. Tok: rozpisz iloczyn, zaznacz podobne (choćby łukiem), podaj wynik.

🎒 Teraz Ty

1. Zredukuj $5a-3b+2a+7b-a$.

Pokaż rozwiązanie

$a$: $5+2-1=6$, więc $6a$. $b$: $-3+7=4$, więc $4b$. Wynik $6a+4b$. Nie sklejaj w $10ab$.

2. $(x+2)(x-2)$ kratkami. Co z polami $2x$ i $-2x$?

Pokaż rozwiązanie

$x^2+x\cdot(-2)+2\cdot x+2\cdot(-2)=x^2-2x+2x-4=x^2-4$. Środkowe się znoszą. To nie magia „wzoru skróconego" — to redukcja podobnych. (Nazwę skróconego mnożenia wolno znać; rozumienie jest z kratek.)

3. Prostokąt boki $(a+3)$ i $(a+5)$. Zapisz pole, posprzątaj, podstaw $a=2$ i sprawdź licząc boki „na piechotę".

Pokaż rozwiązanie

Pole $(a+3)(a+5)=a^2+5a+3a+15=a^2+8a+15$. Przy $a=2$: boki $5$ i $7$, pole $35$. Wzór: $4+16+15=35$. Pułapka: dodać boki zamiast mnożyć (to obwód).

4. Odejmij: $(5x-1)-(2x+7)$. Gdzie gubi się znak?

Pokaż rozwiązanie

$5x-1-2x-7=3x-8$. Źle: $5x-1-2x+7=3x+6$ (minus zjadł tylko $2x$, oszczędził $7$). Minus przed nawiasem to zmiana każdemu.

5. $3(a+2b)+2(2a-b)$. Zredukuj i sprawdź przy $a=1$, $b=1$.

Pokaż rozwiązanie

$3a+6b+4a-2b=7a+4b$. Przy $(1,1)$: oryginał $3\cdot 3+2\cdot 1=11$; wzór $7+4=11$.

📌 W pigułce

• Wyrazy podobne = ta sama część literowa (w tym potęgi); łączysz współczynniki.
• Minus przed nawiasem zmienia znak każdemu składnikowi.
• Jednomian × suma = rozdzielność (każdy składnik).
• Dwumian × dwumian = cztery pola prostokąta, potem redukcja.
• $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, nie $a^2+b^2$.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• [ ] Łączę $3a$ z $-a$, nie łączę $3a$ z $3b$ ani z $3a^2$.
• [ ] Odejmowanie sumy nie gubi znaku wewnątrz nawiasu.
• [ ] $(a+b)(c+d)$ umiem narysować jako cztery prostokąty.
• [ ] Sprawdzam uproszczenie jedną liczbą wstawioną w oryginał i w wynik.

---