Zadania tekstowe równaniami i przekształcanie wzorów

🎯 Po co Ci to?

Arkusz nie pyta „rozwiąż $3x+1=10$". Pyta o bilety, zniżki, pole trójkąta i czas podróży. Równanie jest tłumaczeniem historii na wagę. A wzór $P=\frac{a\cdot h}{2}$ czasem stoi na opak: znasz pole i podstawę, szukasz wysokości. Przekształcić wzór to odwinąć wagę tak, żeby szukana litera została sama — to samo rzemiosło co w 11.2, tylko litery nie chcą być „tym $x$".

✅ Czego się nauczysz

Po tej jednostce:

• układasz równanie z treści (także z procentem);
• przekształcasz $P=\frac{a h}{2}$ i $s=v\cdot t$ po wskazaną wielkość;
• sprawdzasz, czy wynik ma sens w świecie (ujemny czas, $110%$ klasy…).

🔁 Przypomnij sobie

Dział 10: litera = to, czego nie znasz, jednym zdaniem na kartce („$x$ — cena biletu w zł"). Procent jako setna wraca w dziale 12; tu używasz $p%=\frac{p}{100}$. Jeśli ułamek albo procent sypie się w rękach — dziura jest w dziale 5, 7 albo 12, nie w równaniu.

📘 Wyjaśnienie

Z treści do wagi. Cztery linijki, które ratują otwarte:

1. Co jest dane, co szukane (litera + jednostka).
2. Rysunek albo tabela (PP tego chce w zadaniach tekstowych — dział 25).
3. Zdanie „lewa historia = prawa historia" → równanie.
4. Rozwiąż, sprawdź w treści, nie tylko w algebrze.

Przykład bez procentu. „Kasia ma o $7$ lat mniej niż dwukrotność wieku Marka. Razem mają $41$ lat. Ile ma Marek?"

• $m$ — wiek Marka w latach.
• Kasia: $2m-7$.
• Razem: $m+(2m-7)=41$.
• $3m-7=41$, $3m=48$, $m=16$. Kasia $25$. $16+25=41$. Sens: oboje dodatni wiek, Kasia starsza — zgadza się z „dwukrotność minus $7$".

Z procentem. „Po obniżce o $20%$ kurtka kosztuje $80$ zł. Jaka była cena przed obniżką?"

To jest „liczba, której $80%$ to $80$ zł" — pełny zestaw w 12.2. Równaniem: niech $c$ będzie ceną przed. Zostało $80%$ z $c$, czyli $0{,}8c=80$ (albo $\frac{80}{100}c=80$). $c=100$. Sprawdzenie: $20%$ ze $100$ to $20$, $100-20=80$.

Pułapka, na którą czekamy w 12.3: dodać $20%$ do $80$ i dostać $96$. Obniżka $20%$ z nowej ceny to nie to samo co $20%$ ze starej. Równanie musi mówić o tej samej całości.

💭 Pomyśl: Bilet $x$ zł. Dwa bilety z $50%$ zniżką na drugi (drugi za pół ceny). Zapłacono $90$ zł. Równanie?

Sprawdź odpowiedź

$x+\tfrac{1}{2}x=90$, $\tfrac{3}{2}x=90$, $x=60$. Drugi $30$, suma $90$. Pułapka: $2x=90$ (oba pełną ceną) albo $x\cdot 50%=90$. Jeśli $50%$ zgrzyta — dział 12.1 (połowa = $50%$) i dział 5.

Przekształcanie wzorów. Wzór już jest równaniem. Szukasz innej litery.

Pole trójkąta: $P=\frac{a\cdot h}{2}$. Chcesz $h$.

• obie strony $\times 2$: $2P=a\cdot h$;
• obie strony $:a$ (bok $a\neq 0$): $h=\frac{2P}{a}$.

Sprawdzenie: wrzuć $a=10$, $h=4$ → $P=20$; wzór na $h$: $\frac{2\cdot 20}{10}=4$.

Droga, prędkość, czas: $s=v\cdot t$.

• $v=\frac{s}{t}$ (czas $\neq 0$);
• $t=\frac{s}{v}$ (prędkość $\neq 0$).

To te same odwrotności co 11.1. Historia z życia (dział 22) może poczekać; tu ćwiczysz samotną literę po lewej.

💭 Pomyśl: $s=v t$. Jedziesz $90$ km/h przez $2$ godziny. Ile km? A ile godzin na $180$ km przy $60$ km/h? Którego wzoru używasz?

Sprawdź odpowiedź

$s=90\cdot 2=180$ km. Czas: $t=\frac{180}{60}=3$ h. Najpierw wybierasz, którą literę zostawiasz samą — potem podstawiasz liczby. Nie mieszaj jednostek (km/h z minutami) bez zamiany; na razie liczby są „czyste".

⚠️ Uwaga, pułapka

• Litera bez zdania. „Niech $x$ będzie" — czym? Egzaminator nie zgaduje.
• Procent od złej całości. $20%$ z ceny po obniżce ≠ $20%$ sprzed.
• Wzór na $h$ z pamięci na opak: $h=\frac{a}{2P}$ albo $h=\frac{P}{2a}$. Odwinąć na kartce taniej niż wierzyć pamięci.
• Wynik algebraicznie OK, życiowo chory. Ujemna długość, $2{,}5$ dziecka bez komentarza. Weryfikacja sensu (dział 25, PP XIV.6) jest częścią rozwiązania.

🧮 Przykład krok po kroku

„Pole trójkąta $30$ cm², podstawa $12$ cm. Wysokość?"

1. $P=\frac{a h}{2}$ → $h=\frac{2P}{a}$.
2. $h=\frac{2\cdot 30}{12}=5$ cm.
3. Sprawdzenie: $\frac{12\cdot 5}{2}=30$. Jednostka: cm.

✍️ Na egzaminie

Otwarte z treścią: rysunek + „$x$ — …" + równanie + tok + odpowiedź z jednostką. Procent: napisz, z czego liczysz procent (z ceny przed / z liczby uczniów / z całości). Wzór: pokaż przekształcenie, nie tylko końcową literę. Linijka jest do rysunku, nie do mierzenia wydruku.

🎒 Teraz Ty

1. Po podwyżce o $10%$ książka kosztuje $44$ zł. Cena przed? Równanie, nie zgadywanie w sklepie.

Pokaż rozwiązanie

$1{,}1c=44$ (bo $100%+10%=110%=1{,}1$). $c=40$ zł. Sprawdzenie: $10%$ z $40$ to $4$, $40+4=44$. Dział 12 rozwinie „$110%$"; tu waga wystarcza.

2. $s=v t$. Wyznacz $t$, potem czas na $240$ km przy $80$ km/h.

Pokaż rozwiązanie

$t=\frac{s}{v}=\frac{240}{80}=3$ h. Jeśli ktoś napisze $\frac{80}{240}$, odwrócił szalki.

3. W klasie $x$ osób, $25%$ nie przyniosło linijki, to $7$ osób (zaokrąglenie życia pomijamy — tu ma wyjść równo). Ile osób jest w klasie?

Pokaż rozwiązanie

$\frac{25}{100}x=7$, $\frac{1}{4}x=7$, $x=28$. Jeśli $25%$ zgrzyta — dział 12.1 (ćwiartka) i 5. Sens: $28$ dodatnie, całkowite.

4. Prostokąt ma obwód $2(a+b)=36$ i jeden bok $a=8$. Wyznacz $b$ z wzoru (przekształć, potem podstaw).

Pokaż rozwiązanie

$a+b=18$, $b=18-a=10$. Albo $b=\frac{36}{2}-a$. Sprawdzenie: $2(8+10)=36$. To ten sam ruch co $s=vt$, tylko obwód.

📌 W pigułce

• Treść → litera z jednostką → równanie (dwie historie o tym samym) → rozwiązanie → sens.
• Procent w równaniu: $p%$ z $c$ to $\frac{p}{100}c$; dziura → 5, 7, 12.
• $h=\frac{2P}{a}$, $t=\frac{s}{v}$, $v=\frac{s}{t}$: odwijanie wagi, nie nowa magia.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• [ ] Z wieku / biletów / zniżki buduję równanie, nie od razu liczbę „na czuja".
• [ ] Przekształcam $P=\frac{ah}{2}$ i $s=vt$ na kartce.
• [ ] Sprawdzam wynik w historii.
• [ ] Wiem, gdzie iść, gdy procent jest dziurą (12, pod spodem 5 i 7).

---