Podwyżki i obniżki, także dwa razy
🎯 Po co Ci to?
Sklep: $-20%$, potem jeszcze $-20%$ na wyprzedaży. Głowa dodaje: $40%$ taniej. Kasa nie dodaje. Druga zniżka liczy się od nowej ceny. To jest ten moment, w którym wielu ludzi zamarza — i to jest OK, bo automat „procenty się dodaje" jest silny. Tu go rozbrajamy: dwa etapy, dwa mnożniki, kratka albo pasek po drodze. PP VII–VIII V.5 chce tego wprost: dwukrotne podwyżki lub obniżki.
✅ Czego się nauczysz
Po tej jednostce:
- liczysz cenę po jednej podwyżce / obniżce (mnożnik $1\pm\frac{p}{100}$);
- liczysz dwa etapy po kolei, bez dodawania procentów;
- umiesz powiedzieć, czemu $-20%$ i znów $-20%$ to nie $-40%$.
🔁 Przypomnij sobie
12.2 obliczenie 1: $p%$ z aktualnej całości. Po obniżce całość się zmienia. Następny procent bierze nową całość. Dział 7: pomniejszenie o część (IV–VI IV.14) — to jeden etap; tu dwa.
📘 Wyjaśnienie
Jeden etap. Cena $c$, obniżka $p%$: zostaje $\left(1-\frac{p}{100}\right)c$. Podwyżka $p%$: $\left(1+\frac{p}{100}\right)c$.
Kurtka $200$ zł, $-20%$: mnożnik $0{,}8$, nowa cena $160$ zł. Albo $20%$ z $200$ to $40$, $200-40=160$.
Dwa etapy. Druga zmiana wchodzi na $160$, nie na $200$.
Druga obniżka $20%$: $0{,}8\cdot 160=128$. Łącznie z $200$ do $128$: spadek o $72$ zł, czyli $\frac{72}{200}=36%$, nie $40%$.
Mnożniki się mnożą: $0{,}8\cdot 0{,}8=0{,}64$, zostaje $64%$ ceny początkowej, ubyło $36%$.
Podwyżka dwa razy o $20%$: $1{,}2\cdot 1{,}2=1{,}44$, czyli $+44%$, nie $+40%$. Sklep lubi mówić „dwa razy po dwadzieścia" — matematyka mówi $44$.
Kolejność dwóch różnych zmian: $-10%$ potem $+10%$ nie wraca do startu. $200\cdot 0{,}9=180$, potem $180\cdot 1{,}1=198$. Brakuje $2$. Symetrycznie $+10%$ potem $-10%$: $220$, potem $198$. Ten sam koniec, nie start. Pułapka „znosi się" jest fałszywa, bo drugi procent jest z innej całości.
💭 Pomyśl: Pensja $3000$ zł, $+10%$, potem $-10%$. Ile na końcu? Czy „wróciło"?
Sprawdź odpowiedź
$3000\cdot 1{,}1=3300$, potem $3300\cdot 0{,}9=2970$. Nie wróciło. Zabrakło $30$ zł. $10%$ z $3300$ to więcej niż $10%$ z $3000$.
💭 Pomyśl: Czy $20%+20%$ kiedykolwiek jest $40%$? Kiedy dodawanie procentów jest legalne?
Sprawdź odpowiedź
Gdy oba procenty są z tej samej całości w tym samym momencie: „$20%$ klasy to chłopcy z chóru i $20%$ to dziewczyny z chóru, razem $40%$ klasy w chórze" — o ile te zbiory się nie pokrywają. Dwie kolejne zmiany ceny to nie ten przypadek. Na arkuszu „potem jeszcze" = mnożniki, nie suma.
⚠️ Uwaga, pułapka
- Dodać procenty etapów. Gwiazda tego działu. Pasek dwuetapowy.
- Drugi procent od starej ceny. Druga etykieta sklepu wisi na nowej cenie. Liczenie obu $20%$ od startu to inna historia — fałszywa.
- $-20%-20%=0%$. Znaki procentu nie działają jak klocki na osi.
- Podwyżka $50%$ = pomnożyć przez $50$. Mnożnik $1{,}5$, nie $50$.
🧮 Przykład krok po kroku
Cena $250$ zł. Podwyżka $20%$, potem obniżka $20%$. Końcowa cena i łączny procent względem startu.
- $250\cdot 1{,}2=300$.
- $300\cdot 0{,}8=240$.
- Względem $250$: ubyło $10$, to $\frac{10}{250}=4%$ mniej, nie $0%$.
Mnożniki: $1{,}2\times 0{,}8=0{,}96$, $96%$ startu.
✍️ Na egzaminie
Słowa „następnie", „potem", „kolejna obniżka" = dwa rachunki albo iloczyn mnożników. Tok: cena po 1. etapie, cena po 2. Otwarte lubi pytanie „o ile procent łącznie" — licz $\frac{\text{zmiana}}{\text{start}}\cdot 100$, nie sumę etykiet. Zamknięte: dystraktor $40%$ i dystraktor $120$ zł przy starcie $200$ i dwóch $20%$.
🎒 Teraz Ty
1. $80$ zł, dwa razy $+20%$. Suma procentów kłamie o ile punktów procentowych? (Punkt procentowy to zwykła różnica dwóch procentów — odejmujesz wartości w $%$, nie liczysz procentu z procentu.)
Pokaż rozwiązanie
$80\cdot 1{,}2=96$, $96\cdot 1{,}2=115{,}2$. Łącznie $\frac{115{,}2}{80}=1{,}44$, czyli $+44%$. Suma etykiet $+40%$. Kłamstwo o $4$ punkty procentowe. ($0{,}2\cdot 0{,}2=0{,}04$ to „prostokąt" dwóch podwyżek, jak $2ab$ przy $(a+b)^2$ z 10.3.)
2. Telefon $1000$ zł, $-10%$, potem $-10%$. Ile na kasie? Jaki rabat łączny od $1000$?
Pokaż rozwiązanie
$900$, potem $810$. Rabat $190$ zł = $19%$, nie $20%$. $0{,}9\cdot 0{,}9=0{,}81$.
3. Czy kolejność $-30%$ i $+10%$ daje ten sam koniec co $+10%$ i $-30%$? Policz na $100$ zł.
Pokaż rozwiązanie
Najpierw $-30%$: $70$, potem $+10%$: $77$. Najpierw $+10%$: $110$, potem $-30%$: $77$. Ten sam koniec (mnożenie jest przemienne: $0{,}7\cdot 1{,}1=1{,}1\cdot 0{,}7$). Nie ten sam co start. Przemienność etapów ≠ „wraca do $100$".
4. Cena $500$ zł, $-20%$, potem jeszcze $-10%$. Mnożniki, kasa, łączny procent od startu. Czemu nie $-30%$?
Pokaż rozwiązanie
$0{,}8\cdot 0{,}9=0{,}72$. Kasa $360$ zł. Ubyło $140$ zł $=28%$ startu, nie $30%$. Drugie $10%$ było z $400$, czyli $40$ zł, nie z $500$.
📌 W pigułce
- Jeden etap: mnożnik $1\pm\frac{p}{100}$.
- Dwa etapy: mnożniki po kolei (iloczyn), nie suma procentów.
- $-20%$ i $-20%$ → $\times 0{,}8\times 0{,}8=0{,}64$ (ubyło $36%$).
- $+p%$ i $-p%$ nie znoszą się.
🔍 Sprawdź, czy umiesz
- [ ] Przy „potem" rysuję dwa paski, nie jeden.
- [ ] Nie dodaję $20+20$ przy dwukrotnej zniżce.
- [ ] Liczę łączny procent od startu, nie od etykiet.
- [ ] Potrafię sprawdzić mnożnikami i „na piechotę" kwotami.