Co znaczy „wprost proporcjonalne"
🎯 Po co Ci to?
„Im więcej kilometrów, tym więcej benzyny" — brzmi mądrze i bywa fałszywe (korek, góry, klimatyzacja). Matematyka pyta ostrzej: czy podwojenie jednej wielkości zawsze podwaja drugą, i czy przy zerze jest zero? Jeśli tak, masz wprost proporcjonalność i możesz liczyć jedną kratkę tabeli z drugiej. PP każe podać przykłady, rozpoznać zależność i wyznaczyć wartość w konkretnym przypadku — np. wartość towaru od liczby sztuk.
✅ Czego się nauczysz
Po tej jednostce:
- odróżniasz „rośnie razem" od wprost proporcjonalnego;
- liczysz brakującą kratkę w tabeli (sztuki ↔ cena, czas ↔ droga przy stałej prędkości…);
- czytasz wykres jako prostą przez $(0,0)$ bez słowa „funkcja".
🔁 Przypomnij sobie
Iloczyn: $3$ zeszyty po $4$ zł to $12$ zł (dział 2). Droga $s=v\cdot t$ przy stałym $v$ (zapowiedź działu 22; wzór już z 11.3): dwa razy dłuższy czas, dwa razy dłuższa droga. Zero godzin — zero drogi.
📘 Wyjaśnienie
Dwie wielkości są wprost proporcjonalne, gdy istnieje stała $k$ taka, że druga = $k$ razy pierwsza. $k$ to „cena jednej sztuki", „kilometry na godzinę", „gramy na cukierka" — jedna porcja.
📐 DEFINICJA — wielkości wprost proporcjonalne: wielkości $A$ i $B$ są wprost proporcjonalne, gdy iloraz $\frac{B}{A}$ jest stały (dla $A\neq 0$) i gdy $A=0$ pociąga $B=0$. Stałą $k=\frac{B}{A}$ nazywamy współczynnikiem proporcjonalności: $B=k\cdot A$.
Po ludzku: ile razy weźmiesz $A$, tyle razy weźmiesz $B$; nic i nic. Czym to NIE jest: „obie rosną" (wiek i wzrost dziecka rosną, ale nie w stałym stosunku — i noworodek nie ma wzrostu $0$). Ani „funkcja liniowa" — tego terminu tu nie używamy.
Przykłady, które przechodzą test:
- liczba jednakowych zeszytów i należność (stała cena);
- czas jazdy i droga przy stałej prędkości;
- liczba porcji przepisu i ilość mąki;
- długość na mapie i w terenie przy stałej skali (dział 22.3).
Przykłady, które nie przechodzą, choć „jakoś rosną":
- temperatura w ciągu dnia i godzina (nie zero o zerowej godzinie w tym sensie; nie stałe $k$);
- pole kwadratu i długość boku (cztery razy większy bok → szesnaście razy pole — to $k$ nie jest stałe);
- „im więcej osób, tym weselej" — nie liczba.
Test na palcach. Weź dwa wiersze tabeli (niezerowe). Podziel cenę przez sztuki. To samo $k$? Przy $1$ sztuce $k=4$, przy $5$ sztukach $\frac{20}{5}=4$. Tak. Prosta przez start.
Wyznaczyć wartość w konkretnej zależności. PP: np. wartość towaru od liczby sztuk.
Znasz: $3$ sztuki za $12$ zł. Szukasz: $7$ sztuk. Najpierw $k=\frac{12}{3}=4$ zł za sztukę. Potem $7\cdot 4=28$ zł.
Albo „krzyż" / stosunek: $\frac{7}{3}\cdot 12=28$. To to samo: $7$ to $\tfrac{7}{3}$ razy $3$ sztuki, więc należność też razy $\tfrac{7}{3}$.
Znamy $7$ sztuk za $28$ zł, szukamy ile sztuk za $20$ zł: $\frac{20}{k}=\frac{20}{4}=5$ sztuk. Albo $20$ nie dzieli się przy innej cenie — wtedy wynik może być ułamkiem („$2{,}5$ sztuki" bywa OK przy serze na wagę, nie przy biletach).
💭 Pomyśl: $2$ kg jabłek za $9$ zł. Ile za $5$ kg? Ile kg za $27$ zł?
Sprawdź odpowiedź
$k=\frac{9}{2}=4{,}5$ zł/kg. $5$ kg: $22{,}5$ zł. Za $27$ zł: $\frac{27}{4{,}5}=6$ kg. Sprawdzenie: $6$ kg to trzy razy $2$ kg, $3\cdot 9=27$. Jeśli dzielenie $9:2$ zgrzyta — dział 7.
💭 Pomyśl: Taxi: $8$ zł „za samo ruszenie" + $3$ zł za km. Czy należność jest wprost proporcjonalna do kilometrów?
Sprawdź odpowiedź
Nie. Przy $0$ km i tak $8$ zł (jeśli opłata startowa jest pobierana) — nie przechodzi testu zera. Podwojenie kilometrów z $1$ na $2$: $11$ zł vs $14$ zł, nie podwojenie. Prosta nie idzie przez $(0,0)$ albo w ogóle nie jest „stałe $k$ razy km". (W liceum powiecie: stała + część proporcjonalna. Tu: to nie jest wprost proporcjonalne.)
Stała prędkość $60$ km/h: w $2$ h droga $120$ km, w $5$ h droga $300$ km. $k=60$ (km na godzinę). To $s=v t$ z 11.3, przeczytane jako proporcja. Gdy prędkość się zmienia, test pada.
⚠️ Uwaga, pułapka
- „Rośnie razem" = wprost proporcjonalne. Test: zero-zero + stały iloraz.
- Proporcja odwrotna. „Im więcej osób, tym mniej minut na zmywanie przy tej samej górze talerzy" — to inny gatunek (w SP nie musisz nazwy „odwrotnie proporcjonalne" z liceum; musisz nie wciskać tu $B=kA$).
- Linia, która nie przez $(0,0)$. Taxi. Opłata abonament + minuty.
- Nazwać wykres funkcją. PP świadomie zostawia funkcję na później. Mów: tabela, zależność, prosta przez początek.
🧮 Przykład krok po kroku
$6$ notesów kosztuje $27$ zł. Ile kosztuje $10$ notesów? Ile notesów kupisz za $18$ zł?
- $k=\frac{27}{6}=4{,}5$ zł za notes.
- $10\cdot 4{,}5=45$ zł.
- $\frac{18}{4{,}5}=4$ notesy.
- Sens: $10$ notesów to więcej niż $6$, $45>27$. $18$ zł to mniej niż $27$, mniej notesów.
✍️ Na egzaminie
Często tabela z luką albo „stała cena". Pokaż $k$ albo stosunek dwóch wierszy. Jednostka: zł, km, kg. Na wykresie (jeśli jest) sprawdź, czy prosta przechodzi przez $(0,0)$; jeśli nie, to nie ta zależność. Nie pisz $f(x)$. Rysunek pomocniczy: oś sztuk i oś złotych, trzy punkty.
🎒 Teraz Ty
1. Podaj dwa przykłady wprost proporcjonalne z Twojego dnia i jeden, który tylko „obie rosną".
Pokaż rozwiązanie
Np. liczba biletów MPK i koszt (przy jednej taryfie); minuty prysznica i litry przy stałym strumieniu. Nie: ocena z klasówki i czas nauki (nie zero-zero w prostym sensie, nie stałe $k$). Inne poprawne pary są OK — ważny jest test, nie lista z podręcznika.
2. $4$ puszki za $14$ zł. Cena $9$ puszek i liczba puszek za $35$ zł.
Pokaż rozwiązanie
$k=3{,}5$ zł. $9$ puszek: $31{,}5$ zł. Za $35$ zł: $10$ puszek. $\frac{35}{3{,}5}=10$.
3. W tabeli: $x=2$, $y=10$; $x=5$, $y=25$; $x=0$, $y=0$. Czy wprost proporcjonalne? A gdyby $x=0$, $y=3$?
Pokaż rozwiązanie
Tak: $k=5$. Gdy $y=3$ przy $x=0$: nie, test zera pada (i prosta nie przez początek).
4. Przy stałej prędkości $80$ km/h droga w $3$ h i czas na $200$ km. Które $k$? (Most do $s=vt$ z 11.3.)
Pokaż rozwiązanie
$k=80$ (km na godzinę). $s=240$ km. $t=\frac{200}{80}=2{,}5$ h. Jeśli prędkość nie jest stała, test podwojenia pada — to już nie ta jednostka.
5. Tabela: $2$ sztuki kosztują $9$ zł; ile kosztuje $8$ sztuk? Czy wolno powiedzieć „linia przez $(0,0)$" bez rysowania ujemnych sztuk?
Pokaż rozwiązanie
$k=4{,}5$, $8$ sztuk $36$ zł. Tak — pierwsza ćwiartka i punkt $(0,0)$ wystarczą. Ujemne sztuki to nie sklep; PP nie każe ich rysować.
📌 W pigułce
- Wprost proporcjonalne: $B=kA$, zero idzie z zerem, iloraz stały.
- „Rośnie razem" to za mało.
- Z tabeli: znajdź $k$, pomnóż / podziel.
- Wykres: prosta przez $(0,0)$; nie mów „funkcja".
🔍 Sprawdź, czy umiesz
- [ ] Stosuję test zera i test podwojenia.
- [ ] Z dwóch wierszy liczę $k$ i trzeci wiersz.
- [ ] Odrzucam taxi z opłatą startową.
- [ ] Nie wciągam słowa „funkcja".