Podział proporcjonalny

🎯 Po co Ci to?

$120$ zł nagrody. Podział „sprawiedliwie" bywa $60$–$60$. Podział proporcjonalny do $2:3$ (dwa tygodnie pracy przy trzech) to inne sprawiedliwie: pięć równych porcji, dwie idą w jedną stronę, trzy w drugą. $48$ zł i $72$ zł. PP każe to stosować. Pasek podzielony na $a+b$ kawałków jest tu tym, czym siatka $10\times 10$ była przy procentach: obraz, bez którego liczby wiszą w powietrzu.

✅ Czego się nauczysz

Po tej jednostce:

• dzielisz wielkość w stosunku $a:b$ (także $a:b:c$);
• sprawdzasz, że części sumują się do całości i zachowują stosunek;
• nie mylisz stosunku z „odjąć $a$ i $b$".

🔁 Przypomnij sobie

Stosunek $2:3$ znaczy: na $2$ części pierwszego przypadają $3$ części drugiego — te same małe kawałki. Suma „części" to $2+3=5$. Ułamek pierwszego z całości: $\tfrac{2}{5}$ (dział 5). Procent: $40%$ i $60%$ (dział 12) — ten sam pasek, inny kostium.

📘 Wyjaśnienie

Przepis. Całość $C$ podzielić w stosunku $a:b$ ($a$, $b$ dodatnie).

1. Liczba części: $a+b$.
2. Jedna część: $\frac{C}{a+b}$.
3. Pierwszy dostaje $a$ takich części: $\frac{a}{a+b}\cdot C$.
4. Drugi: $\frac{b}{a+b}\cdot C$.

$C=120$, $2:3$: jedna część $24$, pierwszy $48$, drugi $72$. $48+72=120$. $48:72=2:3$ (dziel obie przez $24$).

Dlaczego akurat $a+b$ w mianowniku? Bo stosunek mówi, ile równych klocków kładziesz na każdą kupkę, nie ile złotych odjąć. $2:3$ to pięć klocków tej samej wagi. Całość $C$ to te pięć klocków razem. Pierwszy bierze dwa z pięciu, czyli $\tfrac{2}{5}$: most do działu 5 i do $40%$ z działu 12.

Odwrotna droga (arkusz lubi). Dostajesz części $48$ i $72$ i masz podać stosunek. Skracasz jak ułamek: $48:72=2:3$. Albo: NWD $24$, dziel obie. Jeśli dają trzy liczby $40$, $60$, $80$: $40:60:80=2:3:4$. Nie „stosunek do całości" w pierwszym odruchu: najpierw do siebie nawzajem.

Gdy całość nie dzieli się równo przez $a+b$ (np. $100$ zł w stosunku $2:3$), porcja to ułamek: $\frac{100}{5}=20$, więc $40$ i $60$; tu akurat wyszło równo. Przy $101$ zł porcja to $101:5=20{,}2$ zł, a części: $2\cdot 20{,}2=40{,}4$ zł i $3\cdot 20{,}2=60{,}6$ zł (suma $101$, stosunek $2:3$). Wzór nie protestuje — a gdy wynik nie trafia w grosze albo sztuki, życie zaokrągla świadomie; na egzaminie bez komentarza o sztukach zostawiasz dokładny ułamek.

Trzy osoby $1:2:3$, całość $120$: części $1+2+3=6$, porcja $20$; $20$, $40$, $60$. Suma $120$. Stosunki: $20:40=1:2$, $20:60=1:3$.

💭 Pomyśl: Czemu $120$ w stosunku $2:3$ to nie $120-2$ i $120-3$ ani nie $\frac{2}{3}$ z $120$ dla jednego i reszta?

Sprawdź odpowiedź

$118$ i $117$ nie sumują się do $120$ i nie mają stosunku $2:3$. $\tfrac{2}{3}$ z $120$ to $80$, reszta $40$, stosunek $80:40=2:1$ (odwrócony i zły mianownik). Mianownik jest $2+3=5$, nie $3$. Pierwszy bierze $\tfrac{2}{5}$, nie $\tfrac{2}{3}$.

Związek z 13.1. Części są wprost proporcjonalne do liczb stosunku: pierwsza wielkość $k\cdot 2$, druga $k\cdot 3$, i $2k+3k=C$. To ta sama stała $k$ (porcja). Podział proporcjonalny jest rozdaniem wprost proporcjonalnym do wag $a$ i $b$.

W życiu: spadek według udziałów; składka na prezent proporcjonalnie do dni wspólnego wyjazdu; mapa — ale skala to raczej 13.1. Na arkuszu: „podziel w stosunku", „rozdziel proporcjonalnie do".

💭 Pomyśl: $90$ cukierków, stosunek $4:5$. Czy da się równo bez łamania cukierka? Policz.

Sprawdź odpowiedź

$4+5=9$ części, $\frac{90}{9}=10$. $40$ i $50$. Tak, całkowite. Gdyby $91$ cukierków: porcja $\frac{91}{9}$; wzór działa, świat cukierków wymaga decyzji (zostaje $1$ albo łamanie). Na egzaminie bez komentarza o sztukach zostawiasz ułamek.

⚠️ Uwaga, pułapka

• Pierwszy bierze $\frac{a}{b}$ całości. Mianownik $a+b$, nie $b$.
• Dodać $a$ i $b$ do całości albo odjąć.
• Nierówne klocki na pasku. Stosunek $2:3$ to dwa i trzy równe segmenty, nie odcinek „dwa razy dłuższy na oko" bez miary.
• $2:3$ jako $2,3$ albo godzina $2{:}03$. Dwukropek w stosunku to nie dziesiętne i nie zegar.

🧮 Przykład krok po kroku

Podziel $210$ w stosunku $3:4$.

1. $3+4=7$ części.
2. $210:7=30$ jedna część.
3. $90$ i $120$.
4. Suma $210$. $90:120=3:4$ (dziel przez $30$).

✍️ Na egzaminie

Tok: suma części → jedna część → iloczyny. Sprawdzenie dwiema linijkami (suma + skrócenie stosunku). Jeśli trzy liczby w stosunku, trzy składniki. Jednostka przy zł / kg / km. Rysunek paska na otwartym jest legalny i często ratuje mianownik $a+b$.

🎒 Teraz Ty

1. $80$ zł w stosunku $1:3$.

Pokaż rozwiązanie

$4$ części po $20$: $20$ zł i $60$ zł. Nie $\frac{1}{3}$ z $80$ dla pierwszego ($26{,}6\ldots$) — to byłoby $1:2$ po reszcie.

2. $180$ km w stosunku $2:3:4$ (trzy etapy trasy).

Pokaż rozwiązanie

$9$ części po $20$ km: $40$, $60$, $80$. Suma $180$. $40:60:80=2:3:4$.

3. Ola i Bartek składają się na prezent $75$ zł proporcjonalnie do $2:1$ (Ola dwa razy tyle co Bartek). Ile kto?

Pokaż rozwiązanie

$2+1=3$, porcja $25$. Ola $50$, Bartek $25$. Sens: Ola dwa razy Bartek, suma $75$.

4. Części $36$ zł i $84$ zł. W jakim stosunku podzielono? Sprawdź sumą.

Pokaż rozwiązanie

$36:84=3:7$ (dziel przez $12$). Suma $120$. $3+7=10$ części po $12$: $36$ i $84$. Tak.

5. $200$ stron książki w stosunku $1:3:4$ (trzy tygodnie czytania). Ile stron na tydzień? Jaki to procent pierwszego tygodnia z całości? (Most do 12.)

Pokaż rozwiązanie

$1+3+4=8$ części po $25$ stron: $25$, $75$, $100$. Pierwszy tydzień to $\tfrac{1}{8}=12{,}5%$. Suma $200$.

📌 W pigułce

• Stosunek $a:b$ → $a+b$ równych części; pierwszy $\frac{a}{a+b}$ całości.
• Sprawdzasz sumę i skrócony stosunek.
• To rozdanie wprost proporcjonalne do wag $a$, $b$.
• Nie $\frac{a}{b}$ całości dla pierwszego.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• [ ] Zawsze dzielę przez $a+b$, nie przez $b$.
• [ ] Pasek ma równe segmenty.
• [ ] Po podziale suma = całość.
• [ ] Trzy składniki stosunku nie robią mi nowej paniki — tylko $a+b+c$.

---