Rodzaje, konstrukcja, nierówność
🎯 Po co Ci to?
Weź trzy patyki: 3 cm, 4 cm, 10 cm. Spróbuj złożyć trójkąt. Nie wyjdzie — i to nie Twoja wina. Krótka para nie dosięgnie końców długiego. Ta jednostka uczy, kiedy trzy odcinki zamykają figurę, jak narysować ją z trzech boków i jak nazywać to, co powstało: ostrokątny, prostokątny, równoramienny.
✅ Czego się nauczysz
Po tej jednostce:
- klasyfikujesz trójkąt ze względu na kąty i ze względu na boki;
- wiesz, że wysokość to nie bok (chyba że trójkąt jest prostokątny — i to tylko te dwie przyprostokątne);
- konstruujesz trójkąt o trzech danych bokach (cyrkiel w klasie);
- stosujesz $AB+BC \ge AC$ i wiesz, kiedy jest równość (punkty w linii — to już nie trójkąt).
🔁 Przypomnij sobie
Z działu 14: odcinek ma długość; kąt to rozwarcie; prosty = róg z kwadracikiem; ostry ciaśniejszy, rozwarty szerszy. Trójkąt to trzy odcinki i trzy kąty w jednym zamknięciu.
📘 Co to jest trójkąt
Trzy punkty nieleżące na jednej prostej, połączone odcinkami. Wierzchołki $A$, $B$, $C$, boki $AB$, $BC$, $CA$, kąty przy wierzchołkach. Jeśli punkty są na jednej prostej, zostaje odcinek albo łamana — figura „spłaszczona", nie trójkąt.
📐 DEFINICJA — trójkąt $ABC$: figura złożona z trzech odcinków $AB$, $BC$, $CA$, gdy punkty $A$, $B$, $C$ nie leżą na jednej prostej.
Po ludzku: trzy kije, które da się złożyć w zamkniętą pętlę z „wnętrzem". Czym to NIE jest: trzy kreski, które nie domykają się; ani „trójkąt" z wierzchołkami w linii (równość w nierówności niżej).
📘 Rodzaje: kąty i boki — dwie osie, nie jedna
Ze względu na kąty (patrzysz na największy kąt):
- ostrokątny — wszystkie trzy kąty ostre;
- prostokątny — jeden kąt prosty (kwadracik); pozostałe dwa ostre;
- rozwartokątny — jeden kąt rozwarty; pozostałe dwa ostre.
Nie ma trójkąta z dwoma prostymi albo dwoma rozwartymi: suma kątów to $180°$ (jednostka 15.2), więc drugi prosty już zjada cały budżet.
Ze względu na boki:
- różnoboczny — trzy różne długości;
- równoramienny — (co najmniej) dwa boki równe; kąty przy podstawie też równe (15.2);
- równoboczny — trzy boki równe; wszystkie kąty po $60°$ (to specjalny równoramienny).
Równoboczny jest ostrokątny. Równoramienny bywa prostokątny (np. $90°$, $45°$, $45°$) albo rozwartokątny. Nie mieszaj osi: „równoramienny" nie znaczy „ostrokątny".
📘 Wysokość to nie bok
Z wierzchołka opuszczasz prostopadłą na prostą zawierającą przeciwległy bok. Odcinek od wierzchołka do stopy to wysokość opuszczona na ten bok. Bok, na który spada, to podstawa (w tej roli — każdy bok może być podstawą, gdy liczysz pole).
Wysokość nie musi leżeć wewnątrz trójkąta: w rozwartokątnym stopa bywa na przedłużeniu boku, na zewnątrz.
Kiedy wysokość jest bokiem? Tylko w prostokątnym: ramiona kąta prostego (przyprostokątne) są nawzajem wysokościami opuszczonymi na siebie. W każdym innym trójkącie wysokość to osobna kreska z kwadracikiem — nie „ten bok, który stoi".
💭 Pomyśl: Kolega mówi: „wysokość to zawsze ten bok, który idzie do góry na rysunku". Gdzie się wywraca to zdanie?
Sprawdź odpowiedź
Rysunek można obrócić — „góra" nie jest definicją. Wysokość jest prostopadła do podstawy, nie równoległa do krawędzi kartki. W rozwartokątnym „do góry" często jest bok, a wysokość wychodzi w bok, na zewnątrz. Na egzaminie podstawa bywa narysowana skosem.
📘 Nierówność: kiedy trzy długości zamykają figurę
Żeby z trzech odcinków złożyć trójkąt, każdy musi być krótszy od sumy dwóch pozostałych. Inaczej: najdłuższy musi być krótszy niż suma dwóch krótszych. Patyk 10 nie złoży się z 3 i 4, bo $3+4=7<10$.
PP zapisuje to jako $AB + BC \ge AC$ (i cyklicznie dla pozostałych par). Ostrość nierówności rozstrzyga, czy to jeszcze trójkąt:
- $AB+BC > AC$ (dla każdego boku w roli $AC$): trójkąt istnieje, ma wnętrze;
- $AB+BC = AC$: punkt $B$ leży na odcinku $AC$. Trzy punkty współliniowe. To „płaski trójkąt": pole zero, kąt przy $B$ równy $180°$. Nie jest trójkątem w sensie definicji wyżej;
- $AB+BC < AC$: nawet płasko nie dosięgną; nie ma figury.
Na egzaminie pytanie „czy istnieje trójkąt o bokach…" sprawdza ostrą nierówność. Równość bywa osobnym haczykiem: „kiedy w $AB+BC \ge AC$ zachodzi równość?" — odpowiedź: gdy $A$, $B$, $C$ są współliniowe i $B$ między $A$ i $C$.
📐 DEFINICJA — nierówność trójkąta: dla dowolnych punktów $A$, $B$, $C$ zachodzi $AB+BC \ge AC$. Równość wtedy i tylko wtedy, gdy $B$ leży na odcinku $AC$. Trójkąt (z wnętrzem) istnieje, gdy nierówność jest ostra dla każdego z trzech boków.
Po ludzku: najdłuższy bok krótszy niż suma dwóch pozostałych. Czym to NIE jest: „duże boki robią duży trójkąt" bez sprawdzenia sumy; ani $a+b \ge c$ z równością wciskaną jako „prawie trójkąt, zaliczam".
💭 Pomyśl: Boki $6$, $6$, $12$. Istnieje trójkąt? A $6$, $6$, $11$?
Sprawdź odpowiedź
$6+6=12$: równość, punkty w linii, nie ma trójkąta. $6+6>11$ i $6+11>6$ (oczywiste) — tak, równoramienny, bardzo „płaski", ale z wnętrzem. Na zamkniętym opcja „nie, bo 6+6 nie jest większe od 12" jest poprawna dla pierwszej trójki; nie myl z drugą.
📘 Konstrukcja z trzech boków
W klasie: cyrkiel. Odcinek $AB$ dany. Z $A$ łuk o promieniu równym trzeciemu bokowi, z $B$ łuk o promieniu równym drugiemu. Przecięcie łuków to $C$ (dwa przecięcia — lustrzane, przystające; wybierasz jedno). Działa tylko gdy nierówność ostra. Gdy równość, łuki stykają się na $AB$. Gdy za mało, łuki się nie spotykają.
Na egzaminie ósmoklasisty cyrkla nie wnosisz. Konstrukcja jest po to, żebyś uwierzył, że trzy boki (spełniające nierówność) wyznaczają trójkąt jednoznacznie — to będzie cecha bbb w 15.3. Na sali liczysz nierówność, nie rysujesz łuków na brudnopisie jako dowodu istnienia.
⚠️ Uwaga, pułapka
- Dwa proste kąty. Niemożliwe w trójkącie — ale dystraktor to lubi.
- Wysokość = bok stojący. Bez kwadracika to tylko bok.
- Nierówność tylko dla najdłuższego. Sprawdź najdłuższy — to wystarczy (inne sumy wyjdą same, bo są jeszcze większe). Zapomnieć, który jest najdłuższy, i sprawdzić złe dwa — klasyczny błąd.
- Równość jako „istnieje". PP pisze $\ge$; pytanie „czy to trójkąt" chce ostrości.
🧮 Przykład
Czy istnieje trójkąt o bokach $2{,}5$ cm, $3$ cm, $6$ cm? $2{,}5+3=5{,}5<6$, więc nie. A $2{,}5$, $3{,}5$, $6$? Suma $6$: równość, współliniowe, nie trójkąt. A $2{,}5$, $3{,}6$, $6$? $2{,}5+3{,}6=6{,}1>6$, więc tak.
🎒 Teraz Ty
1. Nazwij dwoma słowami (kąty + boki) trójkąt z kwadracikiem i dwoma ramionami zaznaczonymi tą samą kreską.
Pokaż rozwiązanie
Prostokątny równoramienny. Kąt prosty nie może leżeć przy podstawie: kąty przy podstawie są równe, więc byłyby dwa proste i suma kątów przekroczyłaby $180°$: sprzeczność. Kwadracik siedzi zatem między równymi bokami, a równe ramiona to zawsze przyprostokątne. Kąty przy podstawie mają po $45°$ (to już 15.2, ale nazwa gatunku jest teraz).
2. Boki $9$, $10$, $20$. Istnieje? Uzasadnij jedną nierównością.
Pokaż rozwiązanie
Najdłuższy $20$, $9+10=19<20$, więc nie istnieje. Nie trzeba sprawdzać pozostałych.
✍️ Na egzaminie
Zamknięte: „który trójkąt jest rozwartokątny" — szukasz kąta szerszego niż róg, nie „najbardziej spłaszczonego na oko". Otwarte: „czy z odcinków… da się zbudować" — nierówność + wniosek. Cyrkiel na sali odpada; tok to liczby, nie łuki.
📌 W pigułce
- Dwie osie nazw: kąty (ostro / prosto / rozwarto) i boki (różno / równo ramienny / równo boczny).
- Wysokość = prostopadła do prostej boku, nie „bok do góry".
- Trójkąt istnieje $\Leftrightarrow$ każdy bok krótszy od sumy dwóch pozostałych.
- Równość $AB+BC=AC$ = punkty w linii, $B$ na $AC$, więc nie trójkąt.
- Trzy boki (ostra nierówność) wyznaczają trójkąt: konstrukcja bbb.
🔍 Sprawdź, czy umiesz
- [ ] Klasyfikuję osobno po kątach i po bokach, bez mieszania słów.
- [ ] Wskazuję wysokość z kwadracikiem, także na zewnątrz przy rozwartym.
- [ ] Dla trzech liczb rozstrzygam: trójkąt / linia / niemożliwe.
- [ ] Wiem, że na E8 istnienie liczę, a nie konstruuję cyrklem.