Przystawanie: po co, nie lista

🎯 Po co Ci to?

Stolarz ma gotowy trójkątny wspornik pod półką. Chce zrobić drugi taki sam w drugim końcu pokoju — ten sam kształt, te same miary — bez zdejmowania pierwszego ze ściany. Co musi zmierzyć, żeby drugi wyszedł identyczny, nie „podobny na oko"?

To jest pytanie o przystawanie. Cechy bbb, bkb, kbk nie są zaklęciami do wkuwania. To odpowiedzi: ile i których miar wystarczy przenieść, żeby odtworzyć ten sam trójkąt.

✅ Czego się nauczysz

Po tej jednostce:

• mówisz własnymi słowami, co znaczy, że dwa trójkąty są przystające;
• rozumiesz bbb, bkb, kbk jako wystarczające zestawy danych do kopii;
• nie mylisz „dwa boki i kąt" z bkb, gdy kąt nie leży między tymi bokami;
• na egzaminie uzasadniasz równość kąta / boku przez przystawanie, nie przez „widać".

🔁 Przypomnij sobie

15.1: trzy boki (ostra nierówność) wyznaczają trójkąt — konstrukcja cyrklem. To już jest bbb: skopiowałeś trzy długości, dostałeś ten sam kształt. 15.2: suma $180°$: dwa kąty dają trzeci, więc „dwa kąty i bok" to mocny zestaw (kbk).

📘 Ten sam = da się nałożyć

Dwa trójkąty są przystające, gdy jeden da się nałożyć na drugi tak, by się pokryły: boki na boki, kąty na kąty. Wtedy wszystkie odpowiadające miary są równe. To mocniejsze niż „oba ostrokątne" albo „oba mają obwód 20".

Kolejność wierzchołków w zapisie $ABC \equiv DEF$ (albo $ABC \cong DEF$) mówi, który wierzchołek idzie na który: $A$ na $D$, $B$ na $E$, $C$ na $F$. Zła kolejność = złe pary boków.

Po co to w zadaniu? Żeby przenieść miarę, której nie zmierzysz w drugim miejscu. Np. kąt przy ścianie jest niedostępny, ale w małym trójkącie-kopii na kartce — tak. Albo: dwa trójkąty w jednej figurze dzielą bok; jeśli wykażesz przystawanie, kąty przy tym boku są równe i idziesz dalej (często do 14.3 albo do 15.2).

📐 DEFINICJA — trójkąty przystające: dwa trójkąty, które pokrywają się po nałożeniu (ew. po obróceniu / odbiciu). Odpowiadające boki i kąty są równe.

Po ludzku: kopia 1:1, wolno przesunąć i obrócić. Czym to NIE jest: „wyglądają podobnie"; ani podobieństwo (ten sam kształt, inna skala — w SP na E8 nie jest osobnym działem do wzorów, nie mieszaj).

📘 Trzy wystarczające zestawy — i dlaczego akurat te

Nie każda trójka danych zamyka kopię. Trzy kąty: wszystkie trójkąty równoboczne mają $60°$, $60°$, $60°$ i nie są przystające, gdy jeden ma bok $2$ a drugi $20$. Same kąty dają kształt, nie rozmiar.

bbb (bok–bok–bok). Trzy boki. Konstrukcja z 15.1: łuki spotykają się w określonym miejscu. Innego trójkąta o tych bokach nie ma (lustrzane odbicie to ten sam zestaw miar). Po co: mierzysz trzy krawędzie wspornika.

bkb (bok–kąt–bok). Dwa boki i kąt między nimi. Kąt ustawia rozwarcie ramion, boki — długości ramion; trzeci bok się domyka. Jeśli kąt nie jest między tymi bokami, zestaw nie jest bkb — i może nie wystarczyć (albo dać dwa różne trójkąty; na E8 raczej: „za mało / zły kąt").

kbk (kąt–bok–kąt). Bok i kąty przy jego końcach. Suma $180°$ i tak da trzeci kąt; dwa kąty + bok między nimi sztywno ustawiają „daszek" na odcinku. Po co: znasz podstawę i oba kąty przy niej (np. z równoramiennego albo z pomiaru kątomierzem w klasie).

Nie wkuwasz kolejności liter. Pytasz: czy tymi danymi da się jednoznacznie odtworzyć trójkąt konstrukcją? Jeśli tak — cecha jest spełniona i wolno przenieść pozostałe miary.

💭 Pomyśl: Masz dwa boki trójkąta: $5$ cm i $7$ cm, i kąt $40°$ naprzeciw boku $5$. Czy to bkb? Czy wolno wołać przystawanie z kolegą, który ma $5$, $7$ i $40°$ „gdzieś"?

Sprawdź odpowiedź

To nie jest bkb: kąt nie leży między danymi bokami. „Gdzieś $40°$" u kolegi może być innym kątem. Bez pewności, że to ten sam zestaw w tej samej roli, przystawania nie ma. Na egzaminie zaznacz na schemacie, między którymi bokami siedzi kąt, zanim napiszesz „z cechy bkb".

📘 Jak to wygląda w zadaniu (szkic toku)

W figurze dwa trójkąty dzielą bok albo mają zaznaczone równe odcinki (kreski) i równe kąty (łuki / kwadracik). Piszesz:

1. które boki / kąty są równe (z treści, z kreski, z 14.2, z 15.2 — nie z oka);
2. która cecha: bbb / bkb / kbk i dlaczego ten zestaw (kąt między bokami…);
3. wniosek: trójkąty przystające, więc także ten kąt / ten bok, o który pytają, jest równy.

Krok 3 jest po to. Przystawanie bez wniosku to ozdoba.

⚠️ Uwaga, pułapka

1. Lista bez sensu. „Jest bkb, bo znam dwa boki i kąt" — kąt musi być między.
2. Trzy kąty. Kształt tak, kopia 1:1 nie.
3. Kolejność wierzchołków. $ABC \cong BAD$ znaczy coś innego niż $ABC \cong ABD$. Pisz pary świadomie.
4. „Widać, że takie same." To nie tok. Cecha + dane.
5. Pitagoras. Nie tu. Równość boków w prostokątnym z $a^2+b^2=c^2$ to dział 18.
6. „Cecha" kbb / dwa boki i kąt naprzeciw jednego z nich. To nie jest na liście. Ten zestaw bywa dwuznaczny (dwa różne trójkąty) albo niemożliwy. Na E8: jeśli kąt nie leży między danymi bokami, nie wołaj bkb. Narysuj, gdzie siedzi łuk.

📘 Czego cechy NIE obejmują

Trzy kąty bez boku: ten sam kształt, inny rozmiar — podobieństwo, nie przystawanie (skala pojawi się później; tu wystarczy: „nie kopia 1:1"). Jeden bok i jeden kąt: za mało. Dwa kąty i bok nie między nimi: da się dociągnąć trzeci kąt z $180°$ i przesunąć do kbk — ale najpierw musisz wiedzieć, przy którym boku te kąty siedzą. Znowu: schemat z łukami, nie lista liter.

🧮 Przykład krok po kroku

$ABC$ równoramienny, $AC=BC$. $D$ środek podstawy $AB$ (dane: $AD=DB$). Trójkąty $ACD$ i $BCD$: boki $AC=BC$ (ramiona), $AD=DB$ (środek), $CD$ wspólny. To bbb. Wniosek: $\angle CAD = \angle CBD$, i tak wracasz do 15.2, ale już z cechą, nie z „widać oś". (Wysokość / środek: na E8 bywa dane w treści; nie zakładaj środka bez słowa albo bez własności.)

🎒 Teraz Ty

1. Wypisz jednym zdaniem po co jest cecha przystawania — bez nazw bbb/bkb/kbk.

Pokaż rozwiązanie

Żeby wiedzieć, który zestaw miar wystarczy skopiować, by dostać ten sam trójkąt gdzie indziej, i żeby przenieść pozostałe kąty i boki bez mierzenia ich w drugim miejscu.

2. Dane: $AB=DE$, $BC=EF$, $\angle B = \angle E$. Czy to bkb? Co jeszcze musisz wiedzieć o $\angle B$?

Pokaż rozwiązanie

Tak, jeśli $\angle B$ leży między $AB$ i $BC$, a $\angle E$ między $DE$ i $EF$, czyli przy wierzchołkach $B$ i $E$ w tej roli. Jeśli $\angle B$ to kąt przy $A$ pomylony etykietą — nie. Schemat z łukiem między kreskami.

3. Dwa równoboczne, boki $4$ cm i $4$ cm. Przystające? A $4$ cm i $5$ cm?

Pokaż rozwiązanie

Oba po $4$: tak (bbb, trzy boki równe parami). Boki $4$ i $5$: ten sam kształt ($60°$), nie przystające (różna skala).

✍️ Na egzaminie

Otwarte „wykaż, że kąty równe": droga przez przystawanie jest legalna i często krótsza niż liczenie. Napisz cechę. Zamknięte bywa: „które trójkąty są przystające" przy kreskach i łukach — licz zestaw, nie ładny wygląd. Dowód z PP (dział 18) użyje jednej pary przystających — ten mięsień ćwiczysz tu.

📌 W pigułce

• Przystające = kopia 1:1 (wolno obrócić). Po co: przenieść miarę.
• bbb: trzy boki (konstrukcja z 15.1).
• bkb: dwa boki i kąt między nimi.
• kbk: bok i kąty przy jego końcach.
• Same kąty nie dają rozmiaru. Zły kąt „gdzieś z boku" to nie bkb.
• Wniosek z przystawania: konkretna kolejna równość, o którą pyta zadanie.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• [ ] Potrafię powiedzieć po co przystawanie, zanim wymienię cechy.
• [ ] Na schemacie wskażę, czy kąt leży między dwoma bokami.
• [ ] Nie ogłaszam przystawania z trzech kątów albo z oka.
• [ ] Po „przystające" dopisuję, co z tego wynika dla szukanej miary.

---