Wielokąt foremny

🎯 Po co Ci to?

Znak stopu (ośmiokąt), plaster miodu (sześciokąt), nakrętka (często sześciokąt), kafelek w łazience. Foremny znaczy: nie tylko „ładny" — wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe. Romb ma równe boki, ale kąty zwykle nie — więc romb (nie-kwadrat) nie jest wielokątem foremnym.

✅ Czego się nauczysz

Po tej jednostce:

rozpoznajesz wielokąt foremny i podajesz przykłady (trójkąt równoboczny, kwadrat, foremny pięcio- i sześciokąt);
liczysz sumę kątów wewnętrznych $(n-2)\cdot 180°$ i kąt jednego foremnego;
dzielisz foremny sześciokąt na 6 trójkątów równobocznych — bez Pitagorasa;
nie mylisz „równe boki" z „foremny".

🔁 Przypomnij sobie

15.2: równoboczny = trzy równe boki i trzy kąty $60°$, czyli foremny trójkąt. 16.1: kwadrat = foremny czworokąt. Suma kątów trójkąta $180°$; czworokąta $360°$; wzór niżej to ta sama historia dla $n$ boków.

📘 Co znaczy foremny

Wielokąt o $n$ bokach ($n \ge 3$): foremny, gdy wszystkie boki są równe oraz wszystkie kąty wewnętrzne są równe. Jedno bez drugiego nie wystarczy:

romb nie-kwadrat: boki równe, kąty nie;
prostokąt nie-kwadrat: kąty równe ($90°$), boki nie wszystkie równe.

Foremny da się „wpisać w okrąg" tak, że wszystkie wierzchołki leżą na okręgu — to obraz, nie obowiązek konstrukcji na E8. W klasie: cyrkiel i podział okręgu na $n$ równych łuków. Na sali: własności, nie cyrkiel.

Wielokąt foremny ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe; romb ma równe boki ale różne kąty, prostokąt równe kąty ale różne boki · źródło: opracowanie własne AsLekcyjny

📐 DEFINICJA — wielokąt foremny: wielokąt, którego wszystkie boki są równe i wszystkie kąty wewnętrzne są równe.

Po ludzku: każdy bok jak każdy inny, każdy zakręt jak każdy inny. Czym to NIE jest: „ma równe boki" (romb); „ma równe kąty" (prostokąt); „wygląda regularnie na znaczku".

📘 Suma kątów i jeden kąt foremnego

Z jednego wierzchołka (przy nieskrzyżowanym wielokącie) prowadzisz przekątne do wszystkich poza sąsiadami: powstaje $n-2$ trójkątów. Suma kątów: $(n-2)\cdot 180°$.

W foremnym wszystkie $n$ kątów równe, więc jeden kąt wewnętrzny: $$\frac{(n-2)\cdot 180°}{n}.$$

Sprawdzenia, które już znasz: $n=3$ → $\frac{180°}{3}=60°$; $n=4$ → $\frac{360°}{4}=90°$. $n=6$ → $\frac{4\cdot 180°}{6}=120°$.

Pięciokąt rozcięty przekątnymi z jednego wierzchołka daje trzy trójkąty, więc suma jego kątów to trzy razy sto osiemdziesiąt, czyli pięćset czterdzieści stopni · źródło: opracowanie własne AsLekcyjny

💭 Pomyśl: Ile wynosi kąt wewnętrzny foremnego ośmiokąta (znak stopu)? Najpierw suma, potem jeden kąt.

Sprawdź odpowiedź

$n=8$, $n-2=6$, suma $6\cdot 180°=1080°$, jeden kąt $\frac{1080°}{8}=135°$. Jeśli wyszło $180°$, liczyłeś jak trójkąt. Jeśli $\frac{360°}{8}=45°$, to byłby kąt środkowy przy pełnym obrocie podzielonym na 8, nie kąt przy boku.

📘 Sześciokąt foremny: plaster miodu

Bok równy promieniowi okręgu opisanego (gdy narysujesz okrąg przez wierzchołki). Z środka do wierzchołków: 6 trójkątów równobocznych. Dlatego pszczoły i kafelki: składają się bez dziur, kąt $120°$, trzy w wierzchołku dają $360°$.

To nadal nie jest Pitagoras: wysokość trójkąta równobocznego policzysz w dziale 18, jeśli kiedyś będzie trzeba. Tu: obwód $6a$, kąt $120°$, podział na równoboczne.

Pięciokąt foremny (domowa „tarcza"): suma $540°$, kąt $108°$, obwód $5a$. Kąt środkowy $\frac{360°}{5}=72°$: inna liczba, inna rola (przy środku, między promieniami do sąsiednich wierzchołków). Na E8 pole pięciokąta nie jest wzorem do wkuwania. Jeśli spadnie „obwód / kąt / czy foremny" — liczysz; jeśli pole — dzielisz na trójkąty ze środka i zwykle utkniesz bez wysokości. Zostaw, gdy nie dane.

Czemu plaster i kafelki składają się. Przy wierzchołku musisz złożyć kąty do $360°$ bez dziury i bez nachodzenia. Trzy sześciokąty: $3\cdot 120°=360°$. Cztery kwadraty: $4\cdot 90°=360°$. Sześć równobocznych: $6\cdot 60°=360°$. Trzy pięciokąty: $3\cdot 108°=324°$, zostaje szczelina; dlatego foremny pięciokąt nie wyparkietuje płaszczyzny sam. To nie ciekawostka do egzaminu na siłę — to test, czy kąt $108°$ vs $120°$ jest dla Ciebie liczbą, czy ozdobą.

Tabela na brudno (warto umieć odtworzyć, nie wkuć):

$n$	suma	kąt foremnego	kąt środkowy
$3$	$180°$	$60°$	$120°$
$4$	$360°$	$90°$	$90°$
$5$	$540°$	$108°$	$72°$
$6$	$720°$	$120°$	$60°$
$8$	$1080°$	$135°$	$45°$

Kąt środkowy zawsze $\frac{360°}{n}$. Wewnętrzny — ze wzoru z $n-2$. Równe są tylko przypadkiem ($n=4$).

Sześciokąt foremny rozpada się na sześć trójkątów równobocznych o wspólnym środku; kąt przy wierzchołku sześciokąta ma sto dwadzieścia stopni · źródło: opracowanie własne AsLekcyjny

⚠️ Uwaga, pułapka

Foremny = równe boki. Dopowiedz kąty. Romb kłamie.
Kąt środkowy zamiast wewnętrznego. $\frac{360°}{n}$ to kąt przy środku między sąsiednimi wierzchołkami, nie kąt przy boku.
$n=4$ i wzór $(n-2)\cdot 180°$ zapomniany — wracasz do $360°$ z 16.1, OK, ale dla pięciokąta już nie zgadniesz.
Rysunek stopu na wydruku. Nie mierz $135°$ kątomierzem z arkusza.

🧮 Przykład krok po kroku

Foremny pięciokąt, bok $4$ cm. Obwód: $5\cdot 4=20$ cm. Kąt wewnętrzny: suma $3\cdot 180°=540°$, jeden $108°$. Pole — nie tu (i na E8 pole pięciokąta foremnego nie jest wzorem do wkuwania; gdyby spadło, dzielisz na trójkąty z środka — i i tak możesz utknąć bez wysokości; zostaw, jeśli nie dane).

🎒 Teraz Ty

1. Czy równoboczny trójkąt jest wielokątem foremnym? Czy kwadrat? Czy romb o kącie $60°$ i $120°$?

Pokaż rozwiązanie

Tak; tak; nie. Romb o kątach $60°$ i $120°$ ma wszystkie boki równe, ale kąty różne (naprzemiennie $60°$ i $120°$), więc foremny nie jest — foremny czworokąt musi mieć także cztery równe kąty, czyli być kwadratem. Romb o kątach prostych to właśnie kwadrat i ten jest foremny.

2. Suma kątów dwunastokąta. Kąt foremnego dwunastokąta.

Pokaż rozwiązanie

$n=12$, $n-2=10$, suma $1800°$, jeden $150°$.

3. Trzy kafelki foremne stykają się w punkcie. Czy to mogą być sześciokąty? Pięciokąty? Kwadraty?

Pokaż rozwiązanie

Sześciokąty: $3\cdot 120°=360°$, czyli tak, bez szczeliny. Pięciokąty: $3\cdot 108°=324°$, zostaje $36°$ dziury, więc nie. Kwadraty: trzy dają $270°$, cztery dają $360°$; trzy kwadraty w punkcie zostawiają kąt prosty wolny.

4. Obwód foremnego ośmiokąta to $24$ cm. Bok? Kąt wewnętrzny?

Pokaż rozwiązanie

Bok $3$ cm. Kąt $135°$ (z wzoru, nie z $24$). Obwód nie mówi nic o kącie.

✍️ Na egzaminie

Rozpoznać foremny; obwód $n\cdot a$; czasem kąt z wzoru. Nie oczekuj pola siedmiokąta. Uzasadnienie „kąt $120°$, bo foremny sześciokąt" jest tokiem. Znak stopu: ośmiokąt foremny, $135°$: ciekawostka, która bywa zamkniętym.

Jak narysować foremny na brudno (schemat, nie sztuka). Zaczynasz od okręgu-pomocy (cienka linia) i odznaczasz $n$ wierzchołków „na oko równo" — na E8 i tak liczby biorą się z treści, nie z cyrkla. Potem łączysz sąsiadów. Podpisujesz jednakowe kreski na bokach i jednakowe łuki kątów. Jeśli narysujesz sam „ładny pentagon" bez kresek, egzaminator nie wie, czy uważasz go za foremny.

Przekątne. Z jednego wierzchołka $n$-kąta wychodzi $n-3$ przekątnych (nie liczysz dwóch boków). W foremnym pięciokącie gwiazda w środku jest ładna i nieobowiązkowa — PP nie każe jej konstruować. W kwadracie przekątne są równe i prostopadłe (16.1); w foremnym sześciokącie najdłuższe przekątne to średnice okręgu opisanego ($2a$, bo $a=r$). Bez Pitagorasa: średnica składa się z dwóch promieni = dwóch boków.

Co wolno na E8, a czego nie. Wolno: obwód $n\cdot a$, suma kątów, kąt foremnego, „czy romb jest foremny", podział sześciokąta na równoboczne. Nie wolno oczekiwać od siebie wzoru na pole pięcio- czy siedmiokąta. Jeśli zadanie da wysokość albo podzieli figurę na trójkąty z danymi — wracasz do 15.2 / 17.2, nie do „wzorów foremnych z internetu".

Nazwy, których E8 nie wymaga listą. Dwunastokąt foremny (zegar, kąt $150°$) bywa w zamkniętych jako ciekawostka. Siedmiokąt — prawie nigdy. Nie ucz się na pamięć kątów dla każdego $n$; ucz się odtworzyć wzór w 20 sekund. Jeśli na arkuszu jest $n=9$: $n-2=7$, suma $1260°$, jeden $140°$. Kąt środkowy $40°$: inna szuflada.

Foremny i wypukły: w szkole podstawowej foremny znaczy wypukły (bez wcięć, bez gwiazdy). Gwiazda pięcioramienna to inna historia — nie na ten egzamin.

Gdy zadanie pokazuje „nakrętkę" albo „znak stopu", najpierw liczysz $n$ z obrazka (ile boków), potem wzór. Nie zgadujesz $135°$ z pamięci znaczka, jeśli da się policzyć. Oko na wydruku znowu kłamie: ośmiokąt na znaczku bywa pociągnięty grubą kreską — kąta stamtąd nie odczytasz.

📌 W pigułce

Foremny = równe boki i równe kąty. Romb / prostokąt (nie-kwadrat) odpadają.
Suma kątów $(n-2)\cdot 180°$; w foremnym dzielisz przez $n$.
Trójkąt równoboczny i kwadrat to pierwsze dwa foremne.
Sześciokąt foremny = 6 równobocznych ze środka; kąt $120°$.
$\frac{360°}{n}$ to kąt środkowy, nie wewnętrzny.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

[ ] Odrzucam romb i prostokąt jako „foremne", gdy nie są kwadratem.
[ ] Liczę sumę kątów i kąt foremnego dla $n=5,6,8$.
[ ] W sześciokącie widzę 6 równobocznych, bez Pitagorasa.
[ ] Nie mylę kąta środkowego z kątem przy boku.

Ucz się tej jednostki z asystentem