Okrąg i koło
🎯 Po co Ci to?
Kompas na mapie: wszystkie punkty w stałej odległości od domu. Pizza: koło to ciasto, okrąg to brzeg. Jeśli pomylisz te dwa słowa, pole i obwód się zamienią miejscami na egzaminie — a to dwa różne wzory.
✅ Czego się nauczysz
Po tej jednostce:
- odróżniasz okrąg (brzeg) od koła (brzeg + wnętrze);
- wskazujesz promień, średnicę i cięciwę;
- wiesz, że średnica to najdłuższa cięciwa i $d=2r$;
- rysujesz okrąg, gdy dany jest środek (cyrkiel w klasie; na E8 — schemat z podpisem $O$ i $r$).
🔁 Przypomnij sobie
14.1: odległość to długość odcinka. 15.1: konstrukcja łukiem o stałym promieniu. Wszystkie punkty okręgu są w tej samej odległości od środka — to definicja, nie ozdoba.
📘 Brzeg i ciasto
Okrąg o środku $O$ i promieniu $r$: zbiór punktów płaszczyzny, których odległość od $O$ wynosi dokładnie $r$. Linia. Zero grubości. Obwód liczysz z linii (17.3).
Koło: wszystkie punkty, których odległość od $O$ jest mniejsza lub równa $r$: wnętrze plus brzeg. Pole liczysz z koła.
W mowie „narysuj koło" bywa o brzegu. Na egzaminie czytaj, czy pytają o długość okręgu, czy o pole koła.
📐 DEFINICJA — okrąg: zbiór punktów płaszczyzny odległych od ustalonego punktu (środka) o stałą odległość (promień). Koło: zbiór punktów odległych od środka o nie więcej niż promień.
Po ludzku: okrąg = obwódka pizzy; koło = cała pizza. Czym to NIE jest: te dwa słowa jako synonimy w zadaniu o polu / obwodzie.
📘 Promień, średnica, cięciwa
Promień $r$: odcinek od środka do punktu na okręgu (i jego długość). Wszystkie promienie tego okręgu są równe — z definicji.
Cięciwa: odcinek łączący dwa punkty okręgu. Nie musi przechodzić przez środek.
Średnica $d$: cięciwa przez środek. Najdłuższa z cięciw. $d=2r$. Każda średnica dzieli koło na dwie połowy.
Rysowanie: dany środek $O$ i $r$ (albo $d$). W klasie — cyrkiel, nóżka w $O$, rozwarcie $r$. Na E8 cyrkla nie ma: rysujesz schemat, podpisujesz $O$, $r$ albo $d$. Nie „odtwarzasz" okręgu z wydruku linijką.
📐 DEFINICJA — promień, cięciwa, średnica: promień — odcinek środek–punkt okręgu; cięciwa — odcinek między dwoma punktami okręgu; średnica — cięciwa przechodząca przez środek, długość $d=2r$, najdłuższa cięciwa.
Po ludzku: promień = szprycha do obręczy; średnica = szprycha przez piastę na wylot; cięciwa = skrót po obręczy niekoniecznie przez środek. Czym to NIE jest: cięciwa „prawie średnicą, więc $d$". Albo promień narysowany jako kreska, która nie kończy się na okręgu.
💭 Pomyśl: Cięciwa ma $10$ cm, promień $6$ cm. Czy ta cięciwa może być średnicą? Czy w ogóle może istnieć?
Sprawdź odpowiedź
Średnica byłaby $12$ cm, a $10<12$, więc to legalna cięciwa, nie średnica. Cięciwa $13$ cm przy $r=6$ byłaby niemożliwa (dłuższa niż średnica). Nie potrzebujesz Pitagorasa, żeby odrzucić $13$: najdłuższa cięciwa to $2r$.
📘 W środku, na brzegu, na zewnątrz
Punkt $P$ i okrąg o środku $O$ i promieniu $r$:
- $OP < r$: punkt $P$ wewnątrz koła (nie na okręgu);
- $OP = r$: punkt $P$ na okręgu;
- $OP > r$: punkt $P$ na zewnątrz.
To ta sama definicja co 17.1, tylko od strony punktu. Na schemacie podpisujesz $O$, $r$ i kreskę $OP$; nie zgadujesz z „dziurki w środku pizzy".
Okręgi współśrodkowe (ten sam $O$, różne $r$): jak tarcza. Nie przecinają się. Pierścień między nimi to „koło minus mniejsze koło" — pole liczysz w 17.3, gdy dojdzie $\pi$. Tu: dwa brzegi, dwa promienie, jeden środek.
Dany odcinek jako średnica. Środek $O$ to środek odcinka (14.1: połowa). Promień to połowa tego odcinka. Rysujesz okrąg o tym $O$ i tym $r$. Na E8: podpis $O$ na środku danej kreski, $r$ przy szprysze — bez cyrkla. Nie wolno wziąć końca odcinka za środek (to by był okrąg o średnicy dwa razy za dużej, ze środkiem w złym miejscu).
Wszystkie cięciwy równej długości leżą w tej samej „odległości" od środka (intuicja: im bliżej brzegu, tym krótsza cięciwa; najdłuższa przechodzi przez $O$). Bez Pitagorasa nie liczysz tej odległości z liczb — ale odrzucasz cięciwę dłuższą niż $d$ i nie nazywasz średnicą kreski, która $O$ omija.
💭 Pomyśl: Odcinek $AB=10$ cm ma być średnicą. Gdzie stawiasz środek $O$ i ile wynosi $r$? Punkt $P$ spełnia $OP=5$ cm. Czy $P$ leży na tym okręgu?
Sprawdź odpowiedź
$O$ to środek odcinka $AB$, $r=5$ cm. Tak: $OP=r$, więc $P$ jest na okręgu (wszystkie takie $P$ rysują właśnie ten okrąg). Gdyby $OP=6$ cm: na zewnątrz; $OP=4$ cm: wewnątrz koła, nie na brzegu. Nie stawiaj $O$ w $A$ ani w $B$: to końce średnicy, nie środek.
Nie mieszaj odległości od końca średnicy z odległością od środka. $AP=6$ cm nic nie mówi o tym, czy $P$ leży na okręgu — mówi tylko o $A$.
⚠️ Uwaga, pułapka
- Okrąg / koło w poleceniu. Pole → koło; długość brzegu → okrąg.
- Cięciwa = średnica na oko. Tylko gdy treść / środek na kresce.
- $r=d$ — pomyłka o dwójkę, potem całe 17.3 pada.
- Mierzenie pizzy na wydruku. $r$ z treści.
🎒 Teraz Ty
1. $d=8$ cm. Ile wynosi $r$? Czy cięciwa $8$ cm jest możliwa? A $9$ cm?
Pokaż rozwiązanie
$r=4$ cm. Cięciwa $8$ cm = średnica, tak. $9>8$, więc nie.
2. Jednym zdaniem: po co na schemacie okręgu podpisywać $O$, skoro „widać środek"?
Pokaż rozwiązanie
Bo egzaminator czyta etykiety, nie Twoje oko; i bo bez $O$ nie wiadomo, czy kreska przez figurę to średnica, czy zwykła cięciwa.
3. Dwa okręgi, ten sam środek, $r=3$ cm i $r=5$ cm. Czy mają punkt wspólny? Gdzie leży punkt $P$ z $OP=4$ cm?
Pokaż rozwiązanie
Współśrodkowe o różnych promieniach nie przecinają się. $P$ jest na zewnątrz mniejszego koła i wewnątrz większego (w pierścieniu) — na żadnym z dwóch brzegów.
4. Cięciwa $AB$ nie przechodzi przez $O$. Kolega podpisuje ją $d$. Jedno zdanie, czemu nie.
Pokaż rozwiązanie
Średnica musi iść przez środek; ta cięciwa $O$ omija, więc jest krótsza niż $d=2r$ i nie jest średnicą.
✍️ Na egzaminie
Zamknięte: „który odcinek jest średnicą" — ten przez podpisany środek. Otwarte bywa jeszcze bez $\pi$ (samo $d=2r$). Cyrkiel: nie. Schemat: tak.
Koło vs tarcza vs pierścień. Tarcza strzelnicza to kilka współśrodkowych okręgów. Punkt na drugiej obręczy nie leży na pierwszej. Pierścień (obszar między dwoma okręgami) nie jest kołem — ma dziurę. Pole pierścienia pojawi się w 17.3 jako różnica dwóch kół; tu wystarczy nie nazwać pierścienia kołem i nie wziąć zewnętrznego $r$ za jedyny wymiar.
Cięciwa a łuk. Cięciwa to odcinek (prosta kreska). Łuk to kawałek okręgu (krzywa). Na schemacie podpisujesz cięciwę kreską $AB$, łuk — łukiem przy brzegu. Nie liczysz długości łuku w tej jednostce (do tego $\pi$ i 17.3).
Rysunek pomocniczy okręgu, gdy „nie umiem rysować": stawiasz $O$, odznaczasz kilka punktów w podobnej odległości (choćby „na czuja"), łączysz gładką krzywą albo zostawiasz niedomknięty owal z podpisem „okrąg o środku $O$ i promieniu $r=\ldots$". Egzamin czyta etykiety. Krzywa-arcydzieło bez $O$ jest gorsza niż brzydki owal z $O$ i $r$.
Dwa okręgi mogą: nie mieć punktów wspólnych (za daleko albo jeden w drugim bez styku), stykać się (jeden punkt — od wewnątrz albo z zewnątrz), przecinać się w dwóch punktach. Na E8 liczby $O_1O_2$, $r_1$, $r_2$ rozstrzygają bez rysowania w skali. Tu na poziomie 17.1: nie zgadujesz z „ładnego" nachodzenia na wydruku; czytasz treść. Współśrodkowe o $r_1 \ne r_2$ nigdy się nie stykają.
Promień rysujesz od $O$ do brzegu, nie „gdzieś w kole". Jeśli kreska zaczyna się w $O$ i kończy wewnątrz, to nie jest $r$, tylko krótszy odcinek. Jeśli wychodzi za okrąg, też nie jest promieniem tego okręgu. Średnica ma oba końce na okręgu i przechodzi przez $O$; jeden warunek bez drugiego nie wystarcza.
📌 W pigułce
- Okrąg = brzeg; koło = brzeg + wnętrze.
- $d=2r$; średnica = najdłuższa cięciwa.
- Cięciwa nie musi iść przez środek.
- Rysujesz od danego środka; na E8 podpisujesz, nie mierzysz druku.
🔍 Sprawdź, czy umiesz
- [ ] Nie mylę koła z okręgiem w poleceniu o polu / obwodzie.
- [ ] Z $r$ mam $d$ i odwrotnie.
- [ ] Odrzucam cięciwę dłuższą niż $2r$.
- [ ] Na schemacie jest $O$ i $r$ albo $d$.