Zbiory na osi — od kreski w prawo, od kreski w lewo

🎯 Po co Ci to?

„Wszystkie temperatury od $1{,}5$ w górę" to nie dwie, trzy kropki. To promień na osi: od $1{,}5$ i dalej w prawo, bez końca. Na egzaminie masz ten zbiór zaznaczyć, nie wypisać. Różnica między $x\ge 1{,}5$ a $x>1{,}5$ to jedna kropka — pełna albo pusta — i za nią pada punkt.

✅ Czego się nauczysz

Po tej jednostce:

  • zaznaczasz na osi zbiory typu $x\ge a$ i $x<b$ (także gdy $a$, $b$ są ułamkami);
  • rozróżniasz kropkę pełną (liczba wchodzi do zbioru) i pustą (liczba jest granicą, ale nie należy);
  • umiesz zamienić $-\frac{4}{7}$ na miejsce na osi (między $-1$ a $0$), nie na „mniej więcej minus pół".

🔁 Przypomnij sobie

Oś z działu 1: zero, prawo dodatnie, lewo ujemne, gęstość — między $1$ a $2$ jest $1{,}5$. Dział 4: ujemne. Dział 5: ułamek to liczba, nie ozdoba; $-\tfrac{4}{7}$ jest na lewo od zera, bliżej zera niż $-1$, bo $\tfrac{4}{7}<1$. Znak $\ge$ znaczy „większe albo równe"; $>$ znaczy „ściśle większe".

📘 Wyjaśnienie

Nierówność $x\ge 1{,}5$ czyta się: $x$ jest liczbą nie mniejszą niż $1{,}5$. Na osi to wszystko od $1{,}5$ w prawo, łącznie z samym $1{,}5$. Nierówność $x<-\tfrac{4}{7}$ czyta się: $x$ jest ściśle mniejsze niż $-\tfrac{4}{7}$, więc na lewo od tej kreski, bez samej kreski.

Dwa znaki graficzne, których arkusz nie tłumaczy drugi raz:

  • kropka pełna (wypełnione kółko) — granica należy do zbioru ($\ge$, $\le$);
  • kropka pusta (kółko bez środka) — granica nie należy ($>$, $<$).

Od kropki idzie kreskowanie (albo pogrubienie) wzdłuż osi i strzałka, bo zbiór nie kończy się na krawędzi kartki.

−2−10123−2−10123kropka mówi, czy granica NALEŻYx ≥ 1,5 — kropka pełnax < −47 — kropka pustapełna: granica w zbiorze · pusta: poza nim
Dwie osie w tej samej skali: na górnej pełna kropka w jednej i pół z zakreskowaniem w prawo, na dolnej pusta kropka w minus czterech siódmych z zakreskowaniem w lewo · źródło: opracowanie własne AsLekcyjny

Gdzie jest $-\tfrac{4}{7}$? $\tfrac{4}{7}\approx 0{,}57$, więc $-\tfrac{4}{7}$ siedzi między $-1$ a $0$, trochę na lewo od $-0{,}5$ (bo $0{,}57>0{,}5$). Nie musisz mieć linijki milimetrowej — musisz nie postawić tej kropki w $-1$ ani w $0$.

📐 DEFINICJA — zbiór liczb spełniających nierówność: wszystkie liczby, dla których zdanie (np. $x\ge 1{,}5$) jest prawdziwe; na osi — promień albo odcinek z umową o końcach (pełna / pusta kropka).

Po ludzku: nie lista „$1{,}5$, $2$, $3$", tylko wszystko, co pasuje, także $1{,}5001$ i $1000$. Czym to NIE jest: kilkoma przykładami; zbiór nie kończy się na ostatniej liczbie, którą zdążyłeś wypisać.

💭 Pomyśl: Czy liczba $1{,}5$ należy do zbioru $x\ge 1{,}5$? A do $x>1{,}5$? A liczba $-\tfrac{4}{7}$ do $x<-\tfrac{4}{7}$?

Sprawdź odpowiedź

$1{,}5$ należy do $x\ge 1{,}5$ (równość jest dozwolona) i nie należy do $x>1{,}5$. $-\tfrac{4}{7}$ nie należy do $x<-\tfrac{4}{7}$: ostro mniejsze, nie równe. Dlatego na dolnej osi kropka jest pusta.

⚠️ Uwaga, pułapka

  • Pełna kropka przy $<$. Najczęstszy minus w zamkniętym. Znak bez „równa się" = puste kółko.
  • $-\frac{4}{7}$ jak $-4$. Ułamek właściwy jest mniejszy od $1$ co do wartości bezwzględnej. Kropka blisko zera, nie przy $-4$.
  • Kreskowanie w złą stronę. $x\ge a$ idzie w prawo (większe). $x<b$ przy ujemnym $b$ idzie w lewo. Strzałka w złą stronę = inny zbiór.
  • Wypisanie trzech liczb zamiast rysunku. Polecenie „zaznacz na osi" nie jest „podaj przykład".

✍️ Na egzaminie

Bywa zamknięte: cztery osie, jedna poprawna. Dystraktory: pusta/pełna kropka zamienione, strzałka w drugą stronę, kreska w $-4$ zamiast w $-\tfrac{4}{7}$. Otwórz oczy na znak ($\ge$ czy $>$) zanim zaczniesz kreskować. Linijka jest do równych odstępów na osi, nie do mierzenia „na oko, czy to na pewno $1{,}5$ z wydruku" — skalę bierzesz z podziałki narysowanej w zadaniu.

x ≥ 1,5: która oś jest poprawna?02poprawnie02bez równości02zła strona02zła granicasprawdzasz trzy rzeczy: kropkę, stronę i miejsce
Cztery propozycje rozwiązania nierówności x większe lub równe jeden i pół: poprawna ma pełną kropkę i strzałkę w prawo, pozostałe mylą się co do równości, strony i granicy · źródło: opracowanie własne AsLekcyjny

🎒 Teraz Ty

1. Narysuj (choćby w zeszycie) zbiór $x\ge 1{,}5$. Jednym zdaniem: co jest w $1{,}5$ (pełne czy puste) i w którą stronę kreskowanie.

Pokaż rozwiązanie

Pełna kropka w $1{,}5$, kreskowanie i strzałka w prawo. $1{,}5$ należy; większe też.

2. Zaznacz $x<-\tfrac{4}{7}$. Gdzie stoi granica względem $-1$ i $-0{,}5$?

Pokaż rozwiązanie

Pusta kropka między $-1$ a $0$, nieco na lewo od $-0{,}5$. Kreskowanie w lewo. Sama $-\tfrac{4}{7}$ poza zbiorem.

3. Które zdanie jest prawdziwe: (A) $0$ należy do $x<-\tfrac{4}{7}$; (B) $-1$ należy; (C) $-0{,}1$ należy?

Pokaż rozwiązanie

(A) nie: $0>-\tfrac{4}{7}$. (B) tak: $-1<-\tfrac{4}{7}$. (C) nie: $-0{,}1$ jest na prawo od $-\tfrac{4}{7}$ (bliżej zera). Tylko liczby na lewo od kreski.

📌 W pigułce

  • $\ge$, $\le$: pełna kropka; $>$, $<$: pusta. Potem kreskowanie i strzałka.
  • $x\ge 1{,}5$: od $1{,}5$ w prawo, łącznie z $1{,}5$.
  • $x<-\tfrac{4}{7}$: na lewo od kreski koło $-0{,}57$, bez samej kreski.
  • Zbiór to nie lista przykładów.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

  • [ ] Zamieniam znak nierówności na pełną albo pustą kropkę bez wahania.
  • [ ] Trafiam z $-\tfrac{4}{7}$ między $-1$ a $0$, nie na $-4$.
  • [ ] Kreskuję w stronę, w którą idą liczby spełniające nierówność.
  • [ ] Nie zastępuję rysunku trzema wypisanymi liczbami.

Ucz się tej jednostki z asystentem