Punkty kratowe, środek, długość, prosta AB

🎯 Po co Ci to?

Mapa miasta z ulicami w kratkę: skrzyżowanie ma adres „trzy w prawo, dwa w górę". Układ współrzędnych to ta mapa z początkiem w $(0,0)$. Na egzaminie dostajesz dwa skrzyżowania i masz znaleźć środek odcinka, drugi koniec, długość albo kolejne skrzyżowanie na tej samej prostej. Pitagoras z 18.1 jest tu linijką — na kratce kąt między osiami jest prosty, więc wolno.

✅ Czego się nauczysz

Po tej jednostce:

  • odczytujesz i zaznaczasz punkty kratowe $(x,y)$ o współrzędnych całkowitych;
  • liczysz środek odcinka i drugi koniec, gdy znasz jeden koniec i środek;
  • liczysz długość odcinka o końcach kratowych;
  • znajdujesz inne punkty kratowe leżące na prostej $AB$.

🔁 Przypomnij sobie

Dwie osie prostopadłe: $x$ w prawo, $y$ w górę (ta sama umowa co na mapie „wschód i północ", zero w przecięciu). Dział 18.1: w prostokątnym $a^2+b^2=c^2$. Na kratce przesunięcie o $3$ w prawo i $4$ w górę jest trójkątem $3$–$4$–$5$. Średnia arytmetyczna dwóch liczb: „w pół drogi" na osi (dział 2 / później 23 — tu wystarczy połowa sumy).

📘 Wyjaśnienie

Punkt kratowy to punkt o obu współrzędnych całkowitych: $(2,3)$, $(-1,0)$, $(0,-4)$. Punkt $(1{,}5, 2)$ leży na kratce „między liniami" — nie jest kratowy.

Odcinek $AB$ z $A=(x_1,y_1)$, $B=(x_2,y_2)$.

Środek $M$ to punkt „w pół drogi" na każdej osi osobno:

$$M=\left(\frac{x_1+x_2}{2},;\frac{y_1+y_2}{2}\right).$$

Żeby $M$ też był kratowy, suma $x$-ów i suma $y$-ów muszą być parzyste (inaczej wypadnie połówka).

Drugi koniec. Jeśli $M$ jest środkiem $AB$ i znasz $A$ oraz $M$, to $B$ jest „o tyle samo za $M$", o ile $A$ jest przed $M$:

$$x_B=2x_M-x_A,\qquad y_B=2y_M-y_A.$$

To nie nowy wzór — to „środek to średnia" rozwiązane na drugą zmienną.

−1123456−2−112340AMBten sam krok dwa razy+2 w prawo+2 w góręB jest o tyle ZA M, o ile A jest PRZED MM to środek odcinka AB
Punkty A równe jeden i minus jeden, M równe trzy i jeden oraz B równe pięć i trzy leżą na jednej prostej; ten sam krok o dwa w prawo i dwa w górę prowadzi od A do M i od M do B · źródło: opracowanie własne AsLekcyjny

Długość. Z $A$ do $B$ idziesz $|x_2-x_1|$ w poziomie i $|y_2-y_1|$ w pionie. Te dwa odcinki i skos tworzą trójkąt prostokątny (osie są prostopadłe). Z 18.1:

$$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.$$

Kwadrat różnicy zjada znak: $(-3)^2=9$, nie musisz pamiętać, który koniec jest „bardziej na lewo".

Inne kratowe na prostej $AB$. Patrzą na krok: o ile zmienia się $x$, o ile $y$, gdy idziesz z $A$ do $B$. Ten wektor skracasz przez NWD (dział 3), dostajesz najmniejszy krok kratowy w tym kierunku, i dokładasz go wielokrotnie — w obie strony, dopóki chcesz, oraz między $A$ i $B$, jeśli krok mieści się w odcinku.

Przykład: $A=(1,1)$, $B=(5,3)$. Zmiana: $4$ w prawo, $2$ w górę. NWD$(4,2)=2$, więc najmniejszy krok to $(2,1)$. Na odcinku $AB$ siedzi jeszcze $(3,2)$. Na prostej — także $(7,4)$, $(-1,0)$, …

−11234567−112340ABpunkty kratowe na prostejkrok:2 w prawo,1 w górękratowy = obie współrzędne całkowitemiędzy A i B leży dokładnie jeden taki punkt
Prosta przez punkty zero zero oraz cztery dwa: kolejne punkty o całkowitych współrzędnych leżą co dwa w prawo i jeden w górę · źródło: opracowanie własne AsLekcyjny
−1123456−11230P = (3, 2)3 w prawo2 w góręnajpierw w PRAWO, potem w GÓRĘkolejność jest umową, ale obowiązuje zawsze(3, 2) to nie to samo co (2, 3)
W układzie współrzędnych punkt P ma współrzędne trzy i dwa: najpierw idziemy trzy w prawo, potem dwa w górę · źródło: opracowanie własne AsLekcyjny

📐 DEFINICJA — punkt kratowy: punkt płaszczyzny, którego obie współrzędne są liczbami całkowitymi.

Po ludzku: skrzyżowanie na mapie w kratkę. Czym to NIE jest: dowolny punkt na linii kratki (np. $(1{,}5, 0)$ ma jedną współrzędną niecałkowitą).

💭 Pomyśl: $A=(0,0)$, $B=(6,4)$. Ile punktów kratowych leży na odcinku $AB$, łącznie z $A$ i $B$?

Sprawdź odpowiedź

Krok $(6,4)$, NWD$(6,4)=2$, najmniejszy krok $(3,2)$. Od $A$ do $B$ mieszczą się $2$ takie kroki, więc wewnątrz jest jeden punkt: $(3,2)$. Razem z końcami: $3$ punkty. Wzór, który warto mieć w kieszeni: na odcinku o kroku $(p,q)$ w najniższych terminach jest $\mathrm{NWD}(|x_B-x_A|,|y_B-y_A|)+1$ punktów kratowych, łącznie z $A$, $B$. Tu $2+1=3$.

🧮 Liczymy na liczbach

$A=(2,-1)$, $B=(8,7)$.

  • Środek: $M=\bigl(\tfrac{2+8}{2},;\tfrac{-1+7}{2}\bigr)=(5,3)$.
  • Długość: $\Delta x=6$, $\Delta y=8$, $AB=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$ (znowu $3$–$4$–$5$ razy $2$).
  • Drugi koniec, gdyby znać $A$ i $M=(5,3)$: $x=10-2=8$, $y=6-(-1)=7$, czyli wraca $B$.
  • Kratowe na $AB$: krok $(6,8)$, NWD $2$, najmniejszy $(3,4)$. Między: $(5,3)$, czyli środek — kratowy.

Końce nie muszą być kratowe. Dla $A=\bigl(\tfrac{1}{2},,3\bigr)$ i $B=(4,-2)$: $x_M=\frac{\tfrac{1}{2}+4}{2}=\frac{4{,}5}{2}=2{,}25$ oraz $y_M=\frac{3+(-2)}{2}=\frac{1}{2}=0{,}5$, więc $M=(2{,}25;;0{,}5)$. Środek to nadal ta sama średnia — wynik po prostu nie jest kratowy i to nie jest błąd.

⚠️ Uwaga, pułapka

  • Środek jak „różnica przez dwa". To średnia, czyli suma przez dwa. Różnica przez dwa to połowa kroku, nie środek (chyba że startujesz z $(0,0)$).
  • Długość $=|x_2-x_1|+|y_2-y_1|$. To droga „po krawężniku", nie skos. Skos liczy Pitagoras.
  • Punkt na osi $x$ bez $y$. $(4,0)$ jest kratowy; „$4$ na osi" w układzie to para.
  • Prosta vs odcinek. Na prostej $AB$ kratowych jest nieskończenie wiele (krok w obie strony). Na odcinku — skończenie wiele, między $A$ i $B$. Czytaj polecenie do ostatniego słowa.

✍️ Na egzaminie

Zamknięte: „który punkt jest środkiem", „który leży na prostej $AB$". Dystraktor często ma zamienione $x$ i $y$ albo środek liczony różnicą. Otwarte: tok $M=(\ldots)$, $AB=\sqrt{\ldots}$, jednostka tylko gdy zadanie jest „w cm na planie". Wolno narysować kratkę — PP chce rysunku pomocniczego. Pitagoras tu jest legalny, bo dział 18.1 już był; nie udawaj, że długość to „policzyłem kratki skosem na oko".

🎒 Teraz Ty

1. $A=(-2,3)$, $B=(4,3)$. Środek, długość, i czy to w ogóle „skos"?

Pokaż rozwiązanie

$M=(1,3)$. $\Delta x=6$, $\Delta y=0$, długość $6$: odcinek poziomy, Pitagoras daje $\sqrt{36+0}=6$, zgodnie z intuicją. Kratowe między: $(-1,3)$, $(0,3)$, $(1,3)$, $(2,3)$, $(3,3)$.

2. $M=(3,1)$ jest środkiem $AB$, $A=(1,-1)$. Znajdź $B$.

Pokaż rozwiązanie

$x_B=6-1=5$, $y_B=2-(-1)=3$, więc $B=(5,3)$. Sprawdzenie: średnia $x$: $\frac{1+5}{2}=3$, $y$: $\frac{-1+3}{2}=1$.

3. $A=(0,0)$, $B=(4,2)$. Wypisz punkty kratowe na odcinku $AB$ i jeden kratowy na prostej $AB$ poza odcinkiem.

Pokaż rozwiązanie

Krok $(4,2)$, NWD $2$, najmniejszy $(2,1)$. Na odcinku: $(0,0)$, $(2,1)$, $(4,2)$. Poza: np. $(6,3)$ albo $(-2,-1)$.

📌 W pigułce

  • Kratowy = obie współrzędne całkowite. Adres: najpierw $x$, potem $y$.
  • Środek = średnia współrzędnych. Drugi koniec: $2M-A$.
  • Długość = Pitagoras na $\Delta x$ i $\Delta y$ (kąt prosty z osi).
  • Inne kratowe: skróć krok przez NWD i dokładaj; odcinek $\neq$ prosta.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

  • [ ] Zaznaczam $(x,y)$ na kratce bez mylenia osi.
  • [ ] Liczę środek i drugi koniec bez zgadywania.
  • [ ] Długość biorę z $a^2+b^2=c^2$, nie z sumy kroków.
  • [ ] Rozróżniam kratowe na odcinku od kratowych na całej prostej.

Ucz się tej jednostki z asystentem