Siatki — pudełko na blacie i krawędzie
🎯 Po co Ci to?
Rozłóż pudełko po butach wzdłuż taśmy: dostaniesz krzyż prostokątów na stole. To siatka — ten sam karton, który w trzech wymiarach był pudełkiem. Na egzaminie masz rozpoznać, która siatka da się złożyć w daną bryłę, narysować siatkę prostopadłościanu i wyliczyć krawędź z zależności (suma, połowa, „o 2 cm dłuższa"). Kto nigdy nie rozłożył pudełka, zgaduje z cienia rysunku. Kto rozłożył — widzi, które prostokąty muszą być parami jednakowe.
✅ Czego się nauczysz
Po tej jednostce:
- rozpoznajesz siatki graniastosłupów prostych i ostrosłupów;
- rysujesz siatkę prostopadłościanu (nie jedną „jedyną poprawną", ale taką, która naprawdę się składa);
- wyznaczasz krawędzie z podanych zależności.
🔁 Przypomnij sobie
Prostopadłościan ma trzy wymiary $a$, $b$, $c$ i trzy pary jednakowych ścian: $a\times b$, $a\times c$, $b\times c$. Sześcian: jeden wymiar, sześć kwadratów. Ostrosłup: wielokąt + trójkąty. Dział 11: równanie typu „suma krawędzi podstawy jest…" — tu wraca jako zależność, nie jako nowa algebra.
📘 Rozłożone pudełko
Siatka to wielokąty ułożone na płaszczyźnie tak, że po złożeniu (bez dziur i bez podwójnego nakładania ścian) powstaje bryła. Krawędź na siatce, która przy składaniu się sklei, musi mieć tę samą długość po obu stronach taśmy.
Dla prostopadłościanu $a\times b\times c$ na siatce musisz mieć:
- dwa prostokąty $a\times b$ (góra i dno),
- dwa $a\times c$,
- dwa $b\times c$.
Układ bywa „krzyż", „rząd czterech ścian bocznych plus dno i góra z boku" — byle przy składaniu ściany nie kolidowały. Nie każdy układ sześciu prostokątów działa: gdy cztery ściany wystają z jednej jak śmigło, przy składaniu dwie wejdą w siebie.
Siatka ostrosłupa: wielokąt podstawy, a do każdego boku podstawy przyklejony trójkąt ściany bocznej. Przy ostrosłupie prawidłowym trójkąty są jednakowe; przy nieprawidłowym — różne, byle boki przy podstawie zgadzały się z krawędziami podstawy.
Siatka graniastosłupa prostego o podstawie np. trójkąta: dwa trójkąty (podstawy) i trzy prostokąty w rzędzie (płaszcz). Suma długości trzech prostokątów w rzędzie to obwód podstawy.
💭 Pomyśl: Sześć jednakowych kwadratów w rzędzie (1×6). Czy to siatka sześcianu?
Sprawdź odpowiedź
Nie. Przy składaniu rząd 1×6 nie domknie się w kostkę: brak „odnóg", które mają zostać górą i dołem, a sam pasek owija się jak pasek, nie jak pudełko. Siatki sześcianu to konkretne układy (krzyż 3+1+1+1, zygzak, …) — nie każde heksomino (figura z sześciu kwadratów). Jeśli nie jesteś pewien: wytnij z papieru. PP tego chce w klasie; na sali zostaje wyobraźnia i odrzucenie układów, które ewidentnie nakładają dwie ściany w jednym miejscu.
🧮 Krawędzie z zależności
Prostopadłościan: krawędzie $a$, $b$, $c$. Treść: „suma krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka wynosi $20$ cm, $a=5$, $b=7$." Z jednego wierzchołka wychodzą trzy krawędzie, po jednej z każdej pary: $a+b+c=20$, więc $c=8$.
Inny typ: „krawędź długości jest o $3$ cm dłuższa od szerokości, wysokość równa szerokości, obwód podstawy $18$ cm." Podstawa $a\times b$, obwód $2(a+b)=18$, $a=b+3$, $b$ to też wysokość… — rysujesz, podpisujesz, nie zgadujesz trzech liczb naraz.
Zależność nie musi dotyczyć prostopadłościanu. Graniastosłup prosty trójkątny: podstawa o bokach $3$, $4$, $5$ cm, wysokość $H=7$ cm. Krawędzi jest dziewięć: dwa trójkąty podstaw i trzy krawędzie boczne. Suma długości: $2\cdot(3+4+5)+3\cdot 7=24+21=45$ cm.
To ten sam most co w równaniach (dział 11): najpierw co jest dane, potem jedna niewiadoma.
📐 DEFINICJA — siatka bryły: układ ścian na płaszczyźnie, z którego przez składanie wzdłuż krawędzi powstaje bryła (ściany nie nakładają się, nie zostaje dziura).
Po ludzku: pudełko rozłożone na stole. Czym to NIE jest: dowolny kolaż ścian (za dużo / za mało / złe wymiary par); także nie widok „z trzech stron naraz" (to rzut, inna historia).
⚠️ Uwaga, pułapka
- Jedyna prawdziwa siatka. Prostopadłościan ma wiele legalnych siatek. Arkusz pyta „która się składa", nie „która wygląda jak w podręczniku na stronie 12".
- Pary ścian. Dwa największe prostokąty muszą być jednakowe (góra i dno). Jeśli na siatce są trzy różne rozmiary, ale jeden rozmiar występuje trzy razy — to nie jest prostopadłościan.
- Ostrosłup z prostokątami z boku. Ściany boczne ostrosłupa są trójkątami. Prostokąt przy podstawie to sygnał graniastosłupa, nie ostrosłupa.
- Krawędź z obwodu bryły. „Suma wszystkich krawędzi" to $4(a+b+c)$ w prostopadłościanie (12 krawędzi: po 4 z każdego wymiaru), nie $a+b+c$. Z jednego wierzchołka: tylko trzy.
✍️ Na egzaminie
Rozpoznawanie siatki bywa zamknięte: cztery krzyże, jeden nie składa się. Rysowanie siatki — otwarte: podpisz $a$, $b$, $c$ na krawędziach, żeby sędzia widział pary. Zależność: wypisz równanie, nie sam wynik. Linijka do rysunku pomocniczego; wymiary biorą się z treści, nie z milimetrów na wydruku.
🎒 Teraz Ty
1. Narysuj siatkę prostopadłościanu $3$ na $2$ na $1$ (kratki). Zaznacz kolorem parę ścian $3\times 2$.
Pokaż rozwiązanie
Krzyż: dno $3\times 2$; po bokach dwóch dłuższych krawędzi ściany $3\times 1$; po bokach krótszych $2\times 1$; klapa góry $3\times 2$ przy jednej ze ścian $3\times 1$. Para $3\times 2$: dno i góra. Inny legalny układ też jest OK, byle dwie sztuki każdego rozmiaru i składanie bez kolizji.
2. Z wierzchołka prostopadłościanu wychodzą krawędzie $a$, $b$, $c$ i $a+b+c=19$, $a=4$, $c=2b$. Znajdź krawędzie.
Pokaż rozwiązanie
$4+b+2b=19$, $3b=15$, $b=5$, $c=10$. Krawędzie $4$, $5$, $10$. Sprawdzenie: $4+5+10=19$.
3. Siatka: trójkąt i trzy trójkąty doklejone do jego boków. Jaka to bryła? A gdyby do trójkąta dokleić trzy prostokąty i drugi trójkąt?
Pokaż rozwiązanie
Pierwsza: ostrosłup o podstawie trójkątnej (czworościan, jeśli wszystkie ściany trójkąty). Druga: graniastosłup prosty o podstawie trójkątnej — dwa trójkąty i płaszcz z trzech prostokątów.
📌 W pigułce
- Siatka = rozłożone pudełko: te same ściany, płasko, tak by dało się złożyć.
- Prostopadłościan: trzy pary prostokątów. Wymiary podpisuj, pary pilnuj.
- Ostrosłup: podstawa + trójkąty. Graniastosłup: dwie podstawy + prostokąty.
- Krawędzie z zależności: najpierw ile krawędzi w tej sumie (3 z wierzchołka vs 12 wszystkich), potem równanie.
🔍 Sprawdź, czy umiesz
- [ ] Odróżniam siatkę, która się składa, od kolażu ścian.
- [ ] Rysuję siatkę prostopadłościanu z podpisanymi parami.
- [ ] Z zależności wyliczam krawędź i wiem, czy suma jest z 3 czy z 12 krawędzi.
- [ ] Siatką odróżniam ostrosłup od graniastosłupa.