Graniastosłupy proste — też nieprawidłowe
🎯 Po co Ci to?
Nie każde pudełko ma prostokątne dno. Pręt o przekroju trójkąta, klin, belka o przekroju trapezu — to nadal graniastosłupy proste. Wzór nie zmienia się: objętość to pole podstawy razy wysokość. PP celowo daje podstawę, która nie jest kwadratem, i liczbę z pierwiastkiem. $6\sqrt{2}$ z działu 9 nie gryzie, jeśli rozpiszesz kwadrat zamiast zamrażać się na samym znaku $\sqrt{,}$.
✅ Czego się nauczysz
Po tej jednostce:
- liczysz $V$ i $P_c$ graniastosłupa prostego (prawidłowego i nie);
- znajdujesz pole podstawy, która jest trójkątem — także $45^\circ$–$45^\circ$ z przeciwprostokątną $6\sqrt{2}$;
- nie mylisz wysokości bryły z wysokością trójkąta w podstawie.
🔁 Przypomnij sobie
Dział 15: trójkąt równoramienny, suma $180^\circ$. Dwa kąty $45^\circ$ ⇒ trzeci $90^\circ$: podstawa jest prostokątna równoramienna. Dział 18.1: przyprostokątne równe, przeciwprostokątna $=a\sqrt{2}$. Dział 9.3: $(6\sqrt{2})^2=36\cdot 2=72$; $\sqrt{2}$ nie jest ozdobą, jest czynnikiem. Dział 17: pole trójkąta $\tfrac{1}{2}ah$. Dział 21.1: $V$ warstwami — warstwa ma kształt podstawy.
📘 Ten sam most, inna podstawa
Graniastosłup prosty: wysokość $H$ jest krawędzią boczną (prostopadła do podstawy).
$$V=P_p\cdot H,\qquad P_c=2P_p+P_b,\qquad P_b=L\cdot H,$$
gdzie $L$ to obwód podstawy. $P_p$ liczysz tak, jak w dziale 17 — z tej figury, która leży na stole. Prawidłowy znaczy: graniastosłup prosty i podstawa foremna (oba warunki naraz). Nieprawidłowy: podstawa byle wielokąt (byle graniastosłup nadal prosty). Wzór na $V$ jest ten sam. Inne jest tylko pole $P_p$.
📐 DEFINICJA — objętość graniastosłupa prostego: $V=P_p\cdot H$, gdzie $P_p$ jest polem podstawy, a $H$ krawędzią boczną (odległością podstaw).
Po ludzku: ile warstw o kształcie dna i jak grube. Czym to NIE jest: $a\cdot b\cdot c$ wpisane na siłę, gdy dno nie jest prostokątem.
🧮 Przykład na poziomie PP
Podstawa: trójkąt równoramienny o kątach $45^\circ$ i $45^\circ$. Najdłuższy bok podstawy: $6\sqrt{2},\mathrm{dm}$. Największa ściana boczna ma bok $4,\mathrm{dm}$. Policz $V$ i $P_c$.
Krok 1 — co to za trójkąt. Dwa kąty $45^\circ$ ⇒ trzeci $90^\circ$. Równoramienny prostokątny: równe są przyprostokątne, najdłuższy bok to przeciwprostokątna $6\sqrt{2},\mathrm{dm}$.
Krok 2 — przyprostokątne. W takim trójkącie $c=a\sqrt{2}$, więc $a\sqrt{2}=6\sqrt{2}$, stąd $a=6,\mathrm{dm}$. (Możesz też Pitagorasem: $a^2+a^2=(6\sqrt{2})^2$. Prawo: $72$. Lewo: $2a^2$. Więc $a^2=36$, $a=6$. Rozpisz $(6\sqrt{2})^2=6^2\cdot(\sqrt{2})^2=36\cdot 2=72$. To jedyny moment, w którym ludzie zamarzają, i to jest OK: to algebra z 9, nie nowa geometria.)
Krok 3 — wysokość bryły. Ściany boczne są prostokątami o bokach: krawędź podstawy $\times$ $H$. Najdłuższa krawędź podstawy to $6\sqrt{2}$, więc największa ściana to prostokąt $6\sqrt{2}$ na $H$. Jej bok $4,\mathrm{dm}$ nie jest $6\sqrt{2}$ (to $\approx 8{,}5$), więc $H=4,\mathrm{dm}$.
Krok 4 — pole podstawy. Przyprostokątne $6$ i $6$, kąt prosty: $P_p=\tfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 6=18,\mathrm{dm}^2$.
Krok 5 — $V$ i $P_c$.
$$V=18\cdot 4=72,\mathrm{dm}^3.$$
Obwód podstawy $L=6+6+6\sqrt{2}=12+6\sqrt{2}$, $P_b=(12+6\sqrt{2})\cdot 4=48+24\sqrt{2}$, $P_c=2\cdot 18+48+24\sqrt{2}=84+24\sqrt{2},\mathrm{dm}^2$.
Nie musisz „usuwać" $\sqrt{2}$ z $P_c$. Wynik $84+24\sqrt{2}$ jest skończony. Na sali nie ma kalkulatora — i dobrze: nikt nie każe z tego robić $117{,}9$.
💭 Pomyśl: Gdyby ktoś wziął $6\sqrt{2}$ za przyprostokątną, jakie $V$ by dostał — i skąd wiedzieć, że to zła droga, zanim policzy?
Sprawdź odpowiedź
Najdłuższy bok w trójkącie prostokątnym jest naprzeciw $90^\circ$. $6\sqrt{2}$ jest najdłuższy z założenia, więc musi być przeciwprostokątną. Gdyby był nogą, druga noga też $6\sqrt{2}$, skos $12$, i „najdłuższy" w treści przestałby być najdłuższy. Rachunek błędnej drogi: $P_p=\tfrac{1}{2}\cdot 6\sqrt{2}\cdot 6\sqrt{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 72=36$, $V=36\cdot 4=144$ zamiast $72$ (dwa razy za dużo). Treść sama się broni, byle przeczytać „najdłuższy".
⚠️ Uwaga, pułapka
- $H$ trójkąta vs $H$ bryły. Wysokość trójkąta w podstawie (tu: $6$, bo noga) to nie krawędź boczna $4$. Mylenie ich daje $V=18\cdot 6$ albo $P_p$ ze złego $a$.
- $(6\sqrt{2})^2=6\sqrt{4}$ albo $36$. Kwadrat iloczynu: kwadratuj oba czynniki. $36\cdot 2=72$.
- $P_c=P_p\cdot H$. To jest $V$, nie pole. Pole dokłada płaszcz i drugą podstawę.
- Prawidłowy = „inny wzór na $V$". Wzór jest ten sam. „Prawidłowy" mówi tylko, że dno jest foremne — tu dno jest równoramienne prostokątne, więc nie foremne (foremny trójkąt ma kąty $60^\circ$). I tak liczysz.
✍️ Na egzaminie
Otwarte z pierwiastkiem: zostaw $\sqrt{2}$ w odpowiedzi, nie zaokrąglaj. Tok: kąty w podstawie → który bok jest skosem → $a=6$ → $H$ ze ściany bocznej → $P_p$ → $V$ i $P_c$. Jednostki: $\mathrm{dm}^3$ i $\mathrm{dm}^2$ osobno. Jeśli treść podała „najdłuższy bok podstawy", nie zgaduj, że to noga.
🎒 Teraz Ty
1. Graniastosłup prawidłowy o podstawie kwadratu $5$ cm i $H=10$ cm. $V$ i $P_c$.
Pokaż rozwiązanie
$P_p=25$, $V=250,\mathrm{cm}^3$. $L=20$, $P_b=200$, $P_c=50+200=250,\mathrm{cm}^2$. (Liczby $V$ i $P_c$ wyszły równe — przypadek, nie reguła; jednostki i tak inne.)
2. W przykładzie PP oblicz samo $P_b$ i powiedz, która ściana jest największa (wymiary prostokąta).
Pokaż rozwiązanie
Trzy prostokąty: $6\times 4$, $6\times 4$, $6\sqrt{2}\times 4$. Największy: $6\sqrt{2}$ na $4$. $P_b=24+24+24\sqrt{2}=48+24\sqrt{2},\mathrm{dm}^2$.
3. Rozpisz $(6\sqrt{2})^2$ w trzech linijkach, bez skrótu „bo 72".
Pokaż rozwiązanie
$(6\sqrt{2})^2=6^2\cdot(\sqrt{2})^2=36\cdot 2=72$. Pierwsza linijka: kwadrat iloczynu. Druga: $6^2=36$, $(\sqrt{2})^2=2$. Trzecia: $72$.
📌 W pigułce
- $V=P_p\cdot H$ niezależnie od tego, czy dno jest kwadratem.
- $45^\circ$–$45^\circ$ ⇒ prostokątny równoramienny; najdłuższy bok $=a\sqrt{2}$.
- $6\sqrt{2}$: kwadratuj $6$ i $\sqrt{2}$ osobno. Nie zamarzaj — rozpisz.
- $P_c=2P_p+L\cdot H$. $H$ bryły ≠ wysokość trójkąta w dnie.
🔍 Sprawdź, czy umiesz
- [ ] Liczę $P_p$ z figury dna, nie wpisuję $abc$ na ślepo.
- [ ] W $45^\circ$–$45^\circ$ wiem, który bok jest skosem.
- [ ] Rozpisuję $(k\sqrt{n})^2$ bez zgadywania.
- [ ] Oddzielam $V$ od $P_c$ jednostką i wzorem.