Skala

🎯 Po co Ci to?

Plan mieszkania w skali 1:100: kanapa „na papierze" ma 2 cm. W pokoju ma 2 m — albo 2 mm, jeśli odwrócisz skalę. Mapa 1:50 000: palec na papierze to kilometry w terenie. Skala to umowa „ile razy świat jest większy niż rysunek" (albo odwrotnie, przy modelu samolotu). Na egzaminie zadanie bywa krótkie i złośliwe: pomylić kierunek zamiany.

✅ Czego się nauczysz

Po tej jednostce:

• czytasz zapis $1:n$ (jeden na $n$);
• liczysz długość rzeczywistą z odcinka na planie i odwrotnie;
• nie mylisz skali z polem (skala 1:100 nie znaczy, że pole jest 100 razy mniejsze — o polu jest dział 17; tu tylko długości).

🔁 Przypomnij sobie

Dzielenie i mnożenie dziesiętnych (dział 7). Jednostki długości z 22.2: zanim mnożysz przez 100, cm i m muszą się dogadać. Proporcja (dział 13) to ten sam mechanizm pod inną etykietą — tu ćwiczysz go na planie.

📘 Co znaczy 1:100

Zapis skala $1:100$ znaczy: 1 cm na planie odpowiada 100 cm w świecie, czyli 1 m. Ogólnie $1:n$: odcinek na rysunku jest $n$ razy krótszy niż rzeczywisty (dla $n>1$, typowa mapa i plan).

$$d_{\text{rzecz}} = d_{\text{na planie}}\cdot n, \quad d_{\text{na planie}} = \frac{d_{\text{rzecz}}}{n}$$

Jednostki: najpierw te same. 4,5 m przy skali 1:100 → 450 cm w świecie → na planie $450:100 = 4{,}5$ cm.

Skala 1:1 to rysunek w naturalnej wielkości (rzadko na arkuszu). Skala 2:1 to powiększenie (model owada, detal): 2 cm na rysunku = 1 cm w świecie. Czytaj, która liczba jest pierwsza.

💭 Pomyśl: Na mapie 1:25 000 odcinek drogi ma 4 cm. Ile to kilometrów w terenie? (Najpierw cm → cm, potem na km.)

Sprawdź odpowiedź

$4\cdot 25,000 = 100,000$ cm $= 1000$ m $= 1$ km. Kto zrobi $4\cdot 25,000$ metrów, dostanie 100 km, a palec na mapie powiatu nie jest autostradą przez pół Polski. Rząd wielkości: 1:25 000 to mapa turystyczna, 4 cm ≈ 1 km, zgadza się.

🧮 Krok po kroku: pokój 5,2 m na 3,8 m, plan 1:50

1. Metry na cm: $520$ cm i $380$ cm.
2. Dziel przez 50: $520:50 = 10{,}4$ cm, $380:50 = 7{,}6$ cm.
3. Na kartce rysujesz prostokąt 10,4 cm na 7,6 cm (linijka — dział 0).

Odwrotnie: na planie 1:50 odcinek 8 cm → $8\cdot 50 = 400$ cm $= 4$ m.

⚠️ Uwaga, pułapka

1. Kierunek. „Na planie 5 cm, skala 1:100" → świat większy: 500 cm. Nie dziel 5 przez 100 „bo skala".
2. Mieszanie cm i m w jednym iloczynie. 3 cm $\times$ 100 = 300 cm, potem dopiero metry. Nie $3\times 100$ metrów.
3. Pole. Skala 1:100 skraca długości 100 razy. Pole prostokąta maleje $100\cdot 100 = 10,000$ razy. PP w tym punkcie pyta o odcinki. Jeśli ktoś wciągnie pole — to już inna lekcja (17.2).
4. Skala 1:200 000 jak 1:200. Zera na mapie Polski są częścią liczby $n$.

📘 Pasek pod mapą i model

Czasem arkusz nie podaje $1:n$, tylko pasek: odcinek na rysunku opisany „2 km". Wtedy 1 cm na Twojej linijce przy tym pasku (na przerysie, nie na milimetrach wydruku jako świętości) odpowiada tyle, ile pasek mówi. Jeśli pasek ma 4 cm i podpis 2 km, to 1 cm na planie → 0,5 km w terenie. To nadal skala, tylko podana odcinkiem.

Model samolotu 1:72: 1 cm na modelu = 72 cm w hangarze. Skrzydło 12 cm na biurku → $12\cdot 72 = 864$ cm $= 8{,}64$ m w rzeczywistości. Tu $n=72$ jest mniejsze niż na mapie, bo model jest bliżej „prawie jak życie". Powiększenie 5:1 (owad): pierwsza liczba jest większa, więc 5 cm na rysunku to 1 cm owada; idziesz odwrotnie niż przy planie mieszkania.

💭 Pomyśl: Skala 1:50. Drzwi na planie mają 4 cm. Czy to drzwi dwumetrowe, czy szafka 8 cm? Policz w metrach.

Sprawdź odpowiedź

$4\cdot 50 = 200$ cm $= 2$ m. To wysokość drzwi, nie szerokość ołówka. Kto podzieli 4 przez 50, dostanie 0,08 m = 8 cm (klamka, nie furtka). Kierunek: plan mniejszy, świat większy, więc mnożysz.

Z działu 13: to ta sama proporcja. $\frac{1}{n}=\frac{d_{\text{plan}}}{d_{\text{świat}}}$. Tu ćwiczysz ją na centymetrach, nie na „x worków mąki".

📘 $1:n$ i $n:1$ — która liczba jest światem

Zapis 1:200 i 200:1 to nie literówka. Pierwsza liczba należy do rysunku, druga do rzeczywistości — w tej kolejności, w tych samych jednostkach. 1:200 = plan mniejszy (mieszkanie, mapa). 200:1 = rysunek większy niż obiekt (owad, detal śruby). Na arkuszu SP dominuje $1:n$ z $n>1$. Gdy pojawi się 5:1, nie wstawiaj automatycznie $\times 5$ w stronę świata: 5 cm na rysunku to 1 cm owada, więc świat jest mniejszy.

Skala nie mówi, w którą stronę idziesz po mapie. Mówi tylko, ile razy długość. Kierunek trasy to geografia i dział 19. Tu: odcinek.

Zera w $n$ są częścią liczby, nie ozdobą. 1:2 000 000 (mapa Polski w atlasie): 1 cm to 20 km. Palec 4 cm to 80 km, nie 8. Kto zgubi dwa zera, dostaje trasę „przez powiat" zamiast „przez województwo". Rząd wielkości z życia jest sitkiem (dział 25): Warszawa–Kraków to setki km, nie 8 km palcem.

Pole jeszcze raz, bo kusi: prostokąt 3 cm na 4 cm na planie 1:100 to w świecie 3 m na 4 m, pole $12$ m², a na planie pole $12$ cm². Stosunek pól to $100^2=10,000$, nie 100. Pytanie o długość ściany nie chce tego rachunku. Jeśli ktoś wciągnie 10 000, sprawdził złą wielkość.

💭 Pomyśl: Skala 1:25. Model auta ma długość 16 cm. Długość auta w metrach? Czy 4 m to osobówka, czy autobus?

Sprawdź odpowiedź

$16\cdot 25 = 400$ cm $= 4$ m. Osobówka bywa koło 4 m; autobus 12 m wyszedłby przy $n$ albo cm pomylonych $\times 3$. Kto podzieli 16 przez 25, dostanie 0,64 cm (brelok, nie garaż).

📘 Dwie długości na jednym planie

Pokój 5,2 m na 3,8 m w skali 1:50 już policzyłeś. Teraz drzwi w tej samej skali: 90 cm szerokości. 90 cm = 90 cm, $90:50 = 1{,}8$ cm na planie. Kto weźmie 90 m (bo „pokój był w metrach"), narysuje drzwi na pół kartki. Jednostka każdego odcinka osobno, potem wspólne $n$.

Mapa 1:100 000: 1 cm → 1 km. Odcinek „do jeziora" 7,5 cm → 7,5 km. Sitko: jezioro za miasteczkiem, nie za oceanem. Odwrotnie: droga 12 km na tej mapie → 12 cm. Linijka na sali (dział 0) służy Twojemu rysunkowi pomocniczemu, nie milimetrom wydruku jako świętym danym, gdy liczby są w treści.

💭 Pomyśl: Plan 1:200. Korytarz na planie 6,5 cm. Ile metrów? Czy 13 m to ganek domu, czy hala dworca?

Sprawdź odpowiedź

$6{,}5\cdot 200 = 1300$ cm $= 13$ m. Ganek albo korytarz bloku, nie dworzec (tam setki metrów). Kto zrobi $6{,}5\cdot 200$ metrów, dostanie 1,3 km (wieś, nie mieszkanie).

✍️ Na egzaminie

Często zamknięte: odczyt z paska skali narysowanego pod mapką (odcinek opisany „2 km"). Wtedy nie musisz pamiętać 1:50 000; mierzysz ten pasek linijką na swoim przerysie albo liczysz z podpisu, nie z milimetrów wydruku jako „prawdy świata". Otwarte: tok „na planie … cm, skala 1:n, rzeczywista …".

🎒 Teraz Ty

1. Skala 1:100. Odcinek rzeczywisty 7,5 m. Jaki na planie?

Pokaż rozwiązanie

$7{,}5$ m $= 750$ cm, $750:100 = 7{,}5$ cm. Przy 1:100 liczba metrów w świecie równa się liczbie centymetrów na planie — to wygodna kotwica, nie magia.

2. Na planie 1:200 korytarz ma 6,5 cm. Długość rzeczywista w metrach.

Pokaż rozwiązanie

$6{,}5\cdot 200 = 1300$ cm $= 13$ m. Kto podzieli, dostanie 3,25 cm „w szkole" i bezsens w budynku.

3. Mapa 1:50 000, droga 3,5 km. Jaki odcinek na mapie (w cm)?

Pokaż rozwiązanie

$3{,}5$ km $= 350,000$ cm (bo 1 km = 100 000 cm). $350,000 : 50,000 = 7$ cm. Albo: 1 cm na mapie = 50 000 cm = 500 m = 0,5 km, więc 3,5 km → 7 cm.

4. Model 1:72, kadłub na biurku 10 cm. Długość rzeczywista w metrach. Rząd: samolot pasażerski bywa kilkanaście–kilkadziesiąt metrów.

Pokaż rozwiązanie

$10\cdot 72 = 720$ cm $= 7{,}2$ m. Mały samolot / model myśliwca; kto zrobi $10:72$, dostanie 1,4 mm (owad, nie hangar).

📌 W pigułce

• $1:n$: 1 jednostka na rysunku to $n$ takich samych w świecie (gdy $n>1$).
• Rzeczywista = na planie $\times n$; na planie = rzeczywista $:n$.
• Najpierw jedna jednostka długości.
• Skala dotyczy długości, nie automatycznie pola.
• Kotwica 1:100: metry w mieszkaniu ↔ centymetry na planie.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• [ ] Z 2 cm na planie 1:100 robię 2 m, nie 2 mm.
• [ ] Mapę 1:25 000 liczę w cm, potem schodzę na km.
• [ ] Nie liczę pola, gdy pytanie jest o odcinek.
• [ ] Sprawdzam, czy wynik „mieści się w mieście / w pokoju".

---