Tworzenie diagramów i średnia arytmetyczna

🎯 Po co Ci to?

Odczyt to połowa. Druga: zrobić rysunek, który ktoś inny odczyta bez zgadywania, i streścić listę liczb jedną liczbą — średnią. Średnia jest uczciwa jako „po równo na głowę" i kłamliwa jako „typowa pensja / typowa ocena", gdy jedna wartość odstaje. PP każe średnią arytmetyczną. Mediany i dominanty nie ma w tym przewodniku — nie dlatego, że są „wyższe", tylko dlatego, że nie są w podstawie SP. Nie wciągaj ich na siłę.

✅ Czego się nauczysz

Po tej jednostce:

• rysujesz diagram słupkowy, kołowy (całość = 100%) i liniowy z danych;
• liczysz średnią arytmetyczną i wiesz, kiedy jest myląca;
• nie nazywasz średniej „najczęstszą" ani „środkową po uporządkowaniu".

🔁 Przypomnij sobie

Procenty (dział 12): koło to 100%, wycinek $p%$ to kąt $3{,}6\cdot p$ stopni (pełny kąt 360°). Ułamki (dział 5–7): średnia to suma dzielona przez liczbę danych. Kątomierza na egzaminie nie ma — w arkuszu koło bywa już narysowane albo pytanie jest o procent, nie o rysunek cyrklem.

🧮 Krok po kroku: surowe dane → tabela zliczeń

Zanim narysujesz cokolwiek, dane trzeba zliczyć. Ankieta „ostatnia ocena z kartkówki" (przykład): 4, 3, 5, 4, 4, 3, 5, 4. Idziesz po liście i stawiasz kreski: trójka ||, czwórka ||||, piątka ||. Tabela zliczeń:

Ocena	3	4	5
Ile razy	2	4	2

Sprawdzenie: $2+4+2=8$, czyli tyle, ile odpowiedzi na liście. Dopiero z takiej tabeli powstaje diagram (i średnia).

📘 Trzy gatunki rysunku

Słupkowy — kategorie obok siebie (dni, smaki, przedmioty). Oś od zera, słupki tej samej szerokości, odstępy równe, tytuł.

Liniowy — gdy dane idą w czasie albo w kolejności (dzień 1, 2, 3…). Punkty + odcinki. Nie łączy się słupków smaków pizzy linią: smaki nie są ciągiem.

Kołowy — części jednej całości. Suma wycinków to 100%, kąty sumują się do 360°. Jeśli liczby nie tworzą całości (temperatury z siedmiu dni), koło jest złym narzędziem: 12°C to nie „kawałek tygodnia".

💭 Pomyśl: Dlaczego tygodniowych temperatur z 23.1 nie wrzucisz na koło, a głosy na obiad — tak?

Sprawdź odpowiedź

Głosy to części jednej puli (30 osób = całość). Temperatury to pomiary w kolejnych dniach; 18°C nie jest „kawałkiem" 12°C. Koło wymaga udziału w sumie. Do temperatur: linia albo słupki dni.

🧮 Krok po kroku: koło z 30 głosów

Przykład poglądowy: pizza 12, kebab 8, zupa 5, inne 5.

1. Sprawdź sumę: $12+8+5+5=30$.
2. Udziały: $\tfrac{12}{30}=40%$, $\tfrac{8}{30}=\tfrac{4}{15}\approx 26{,}7%$, $\tfrac{5}{30}=\tfrac{1}{6}\approx 16{,}7%$ (dwa razy).
3. Kąty: $0{,}4\cdot 360° = 144°$; $\frac{8}{30}\cdot 360° = 96°$; $\frac{5}{30}\cdot 360° = 60°$; $60°$. Suma $144+96+60+60=360°$.
4. Na egzaminie bez kątomierza: często wystarczy procent albo porównanie „pizza to największy wycinek, większy niż kebab i zupa razem" ($12$ vs $8+5=13$: pizza nie jest większa niż te dwa; $12<13$).

Średnia arytmetyczna

$$ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} $$

Suma wszystkich danych dzielona przez ile ich jest. Średnia temperatur z przykładu 12, 14, 13, 16, 18, 17, 15:

$$ \frac{12+14+13+16+18+17+15}{7} = \frac{105}{7} = 15 $$

Czyli $15$°C. Żaden dzień nie musi mieć dokładnie 15; średnia nie jest „dniem, który się wydarzył".

📐 DEFINICJA — średnia arytmetyczna: iloraz sumy $n$ liczb przez $n$.

Po ludzku: gdyby rozdzielić „po równo", każdy dostałby tyle. Czym to NIE jest: wartość najczęstsza (to byłaby dominanta — poza PP SP); wartość środkowa po ustawieniu w kolejce (mediana — poza PP SP); „typowa ocena", gdy jedna szóstka albo jedynka ciągnie całość.

Średnia vs „typowa"

Przykład poglądowy: kieszonkowe pięciu osób (zł/tydzień): $20$, $20$, $20$, $20$, $120$. Średnia: $\tfrac{200}{5}=40$ zł. Typowe jest 20 zł. Czterdzieści istnieje tylko jako rachunek — nikt z czwórki „zwykłej" tylu nie dostaje. Jedna osoba ciągnie średnią w górę. Dlatego zdanie „średnia klasa ma 40 zł kieszonkowego" kłamie społecznie, choć rachunek jest poprawny.

Oceny: 2, 2, 2, 5, 5. Średnia $3{,}2$. „Klasa stoi na trójce" — niekoniecznie: albo dwójki, albo piątki. Średnia zgładziła pęknięcie.

PP nie każe mediany, więc na arkuszu masz bronić się słowem: „średnia 40 zł, ale cztery osoby mają 20 zł". Nie wstawiaj słowa „mediana", żeby zabrzmieć mądrzej — egzamin tego nie wymaga, a pomyłka definicji jest droga.

💭 Pomyśl: Suma pięciu liczb to 80, średnia 16. Dochodzi szósta liczba 28. Co ze średnią — rośnie, maleje, stała? Nie licz wszystkich od zera, jeśli umiesz dodać do sumy.

Sprawdź odpowiedź

Nowa suma $80+28=108$, $n=6$, średnia $18$. Urosła, bo 28 jest powyżej starej średniej 16. Reguła: nowa wartość $>$ stara średnia → średnia rośnie. Nie potrzebujesz mediany.

⚠️ Uwaga, pułapka

1. Średnia = najczęstsza. Nie w SP i nie w tym wzorze.
2. Dzielenie przez „nie tę $n$". Pięć liczb, dzielisz przez 4, bo „odstępów jest cztery" — to błąd z wykresu liniowego (odcinki) przeniesiony na średnią.
3. Koło z liczb, które nie są częścią całości.
4. Słupki bez zera + średnia narysowana „w połowie ramki" zamiast na wartości.
5. Funkcja, ekstremum, „wypukłość". Nie. Rośnie/maleje z 23.1 wystarczy.

📘 Średnia z częstości — gdy wartości się powtarzają

Oceny (przykład): trzy dwójki, jedna czwórka, dwie piątki. Nie musisz pisać 2, 2, 2, 4, 5, 5, jeśli liczysz $n=6$ i sumę $2\cdot 3 + 4 + 5\cdot 2 = 6+4+10=20$, średnia $\tfrac{20}{6}=\tfrac{10}{3}\approx 3{,}33$. To nadal średnia arytmetyczna, nie „nowy wzór". $n$ to liczba ocen, nie liczba różnych cyfr (tu 3 rodzaje, ale 6 ocen — dzielisz przez 6).

Koło vs słupki: gdy chcesz pokazać udział, koło. Gdy chcesz porównać wysokości obok siebie (frekwencja dni), słupki. Oba z tych samych liczb są legalne, jeśli liczby są częścią całości. Temperatury — tylko słupki albo linia.

💭 Pomyśl: Średnia czterech liczb jest 10. Trzy z nich to 10, 10, 10. Czwarta? Czy „typowa" i średnia tu się zgadzają?

Sprawdź odpowiedź

Suma 40, czwarta 10. Tak — wszystkie 10, średnia 10, typowa 10. Kontrast do 20, 20, 20, 20, 120. Średnia kłamie, gdy ogon odstaje, nie zawsze.

📘 Linia czasu i „średnia z braków"

Liniowy diagram: punkty w kolejności (dzień, pomiar, kolejka). Nie łączysz smaków pizzy odcinkiem „bo ładniejszy wykres" — między kebabem a zupą nie ma „wartości pośredniej". Jeśli w środku tygodnia brakuje środy, nie przeciągaj linii z wtorku na czwartek jakby środa była średnią sąsiadów: tego pomiaru nie ma. PP nie każe interpolacji.

Średnia z liczb, w których jedna jest pusta: nie dzielisz przez $n$ z nagłówka tabeli, jeśli komórka jest pusta. Pięć dni, czwartek bez danych → suma czterech, $n=4$, i dopisek „bez czwartku". Wymyślenie czwartku „na oko" to nie średnia.

Gdy wszystkie wartości równe $a$, średnia wynosi $a$ i jest typowa. Gdy jedna odstaje, rachunek zostaje legalny, a zdanie „wszyscy mają około średniej" — nie. Na otwartym wolno (i trzeba) to powiedzieć, bez słów spoza PP.

💭 Pomyśl: Średnia siedmiu temperatur z 23.1 wyszła 15°C. Czy piątek 18°C „psuje" średnią? Czy wolno wyrzucić piątek, żeby średnia była „ładniejsza"?

Sprawdź odpowiedź

Piątek jest w zestawie — należy do $n=7$. Wyrzucenie to już inny zestaw (inna średnia). „Ładniejsza" nie jest kryterium. 18 jest powyżej 15, więc ciągnie średnią w górę; to opis, nie powód do kasowania dnia.

✍️ Na egzaminie

Mogą dać tabelę i kazać wybrać właściwy diagram (23.1 + 23.2). Mogą kazać policzyć średnią z 6–8 liczb — bez kalkulatora, więc liczby są przyjazne albo ułamek wyjdzie ładny. Otwarte: wzór albo „suma …, liczb …, średnia …". Jednostka średniej = jednostka danych (°C, pkt, zł).

🎒 Teraz Ty

1. Oceny (przykład): 3, 4, 5, 3, 5. Średnia. Czy ktoś dostał dokładnie średnią?

Pokaż rozwiązanie

Suma 20, $n=5$, średnia 4. Tak — jest czwórka. To przypadek, nie reguła.

2. 10, 10, 10, 70. Średnia. Jednym zdaniem: czemu „typowa 25" byłaby nieuczciwa?

Pokaż rozwiązanie

Średnia $\tfrac{100}{4}=25$. Trzy wyniki to 10; 25 nie opisuje „jak jest zwykle", tylko przeciągnięcie przez 70.

3. 18 osób: 9 głosuje A, 6 B, 3 C. Podaj procenty do koła i sprawdź sumę 100%. Kąt dla A.

Pokaż rozwiązanie

$\frac{9}{18}=50%$, $\frac{6}{18}=\tfrac{1}{3}\approx 33{,}3%$, $\frac{3}{18}=16{,}7%$ (albo dokładnie $\tfrac{1}{6}$). $50+33\tfrac{1}{3}+16\tfrac{2}{3}=100$. Kąt A: $180°$.

4. Średnia trzech liczb 8, $x$, 10 jest 9. Znajdź $x$. Sitko: czy $x$ musi być „typowa"?

Pokaż rozwiązanie

Suma $27$, $x=9$. Tu $x$ wyszło 9: przypadek środka. Gdyby średnia była 20 przy 8 i 10, $x=42$ i typowa znów by kłamała.

📌 W pigułce

• Słupki: kategorie. Linia: ciąg (czas). Koło: części 100%.
• Średnia = suma $:n$. Jednostka jak w danych.
• Średnia ≠ typowa, gdy jedna wartość odstaje — powiedz to słowami, bez mediany i dominanty.
• Nie wciągaj funkcji ani ekstremów z liceum.
• Tytuł, oś od zera, legenda — inaczej rysunek kłamie.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• [ ] Wybieram typ diagramu do danych, nie „który ładniejszy".
• [ ] Liczę średnią i wiem, przez ile dzielę.
• [ ] Umiem powiedzieć, kiedy średnia nie jest „jak u większości".
• [ ] Koło zamykam do 360° / 100%.

---