Moneta, kostka, kule

🎯 Po co Ci to?

„Prawie na pewno wypadnie reszka, bo trzy razy był orzeł." To nie matematyka tej jednostki — to wiara, że kostka pamięta. Tu szansa to ułamek z tej listy wyników, którą umiesz wypisać (24.1). Rzut nie zależy od poprzedniego. Duża liczba rzutów nie zamienia szansy w pewność.

✅ Czego się nauczysz

Po tej jednostce:

• liczysz $P = \frac{\text{liczba wyników korzystnych}}{\text{liczba wyników możliwych}}$ w doświadczeniach: moneta, kostka, kule;
• wiążesz mianownik z listą z 24.1;
• nie mówisz „przy wielu próbach na pewno wyjdzie po połowie".

🔁 Przypomnij sobie

Ułamek jako część całości (dział 5). Skracanie. Porównywanie ułamków. Wypisanie z 24.1: bez listy nie wiesz, ile jest „możliwych".

📘 Doświadczenie i uczciwy mianownik

Doświadczenie losowe (w tym kursie): rzut monetą, rzut kostką, losowanie kuli z worka (bez zaglądania). Zakładamy, że wyniki z listy są jednakowo możliwe — uczciwa moneta, uczciwa kostka, kule nierozróżnialne w dotyku.

$$ P = \frac{\text{ile korzystnych}}{\text{ile możliwych}} $$

Korzystne = te wiersze z listy, które uznajesz za sukces (np. „parzyste", „czerwona kula"). Możliwe = wszystkie wiersze doświadczenia.

Moneta: możliwe {O, R}, $P(\text{orzeł})=\tfrac{1}{2}$.

Kostka sześcienna: możliwe {1,2,3,4,5,6}. $P(\text{szóstka})=\tfrac{1}{6}$, $P(\text{parzyste})=\tfrac{3}{6}=\tfrac{1}{2}$, $P(\text{więcej niż 4})=\tfrac{2}{6}=\tfrac{1}{3}$.

Kule: w worku 3 czerwone, 2 niebieskie, losujesz jedną. Możliwe: 5 kul (każda jednakowo). Korzystne „czerwona": 3. $P=\tfrac{3}{5}$. Nie $\tfrac{3}{2}$ (to nie jest stosunek kolorów jako szansa). Nie $\tfrac{1}{2}$ „bo dwa kolory" — kolorów jest dwa, kul pięć, szansa idzie za kulami.

📐 DEFINICJA — prawdopodobieństwo klasyczne (w tych doświadczeniach): $P(A)=\frac{k}{n}$, gdzie $n$ to liczba jednakowo możliwych wyników, $k$ — liczba tych, które należą do zdarzenia $A$.

Po ludzku: korzystne przez wszystkie, na tej liście. Czym to NIE jest: „na ile procent czuję"; obietnica, że w 100 rzutach będzie 50 orłów; pewność przy dużej liczbie prób.

💭 Pomyśl: Wypadło pięć orłów z rzędu. Jakie jest $P(\text{orzeł})$ w szóstym rzucie uczciwej monety? Czy „teraz już musi być reszka"?

Sprawdź odpowiedź

Nadal $\tfrac{1}{2}$. Moneta nie ma pamięci. „Musi być reszka" to pułapka hazardzisty, nie PP. Historia pięciu orłów nie zmienia listy {O, R} w szóstym rzucie.

📘 Kostka wielościenna: więcej ścian, ta sama metoda

PP wymienia wprost rzut kostką wielościenną, nie tylko sześcienną. Kostka ośmiościenna ma pola z liczbami od 1 do 8; jeśli jest uczciwa, lista możliwych to {1, 2, …, 8} i $n=8$.

🧮 Krok po kroku: ośmiościan

1. $P(\text{parzysta})$: korzystne {2, 4, 6, 8}, więc $P=\tfrac{4}{8}=\tfrac{1}{2}$.
2. $P(\text{większa od }6)$: korzystne {7, 8}, więc $P=\tfrac{2}{8}=\tfrac{1}{4}$.
3. Zmienia się tylko liczba wyników na liście; metoda „korzystne przez możliwe" zostaje ta sama.

Dwa rzuty — znowu lista

Dwie monety (24.1): cztery możliwe OO, OR, RO, RR. $P(\text{dokładnie jeden orzeł})=\tfrac{2}{4}=\tfrac{1}{2}$ (OR i RO). $P(\text{dwa orły})=\tfrac{1}{4}$, nie $\tfrac{1}{3}$: kto skleja OR i RO w „orzeł i reszka" jako jeden wynik, psuje mianownik.

Kostka i „suma 7" przy dwóch kostkach: wypisujesz pary (1,6), (2,5), … albo tabelkę 6 na 6 jako zorganizowaną listę, nie jako wzór 6×6. Korzystne policzone w kratkach. (Jeśli liczby duże — arkusz SP zwykle zostaje przy jednej kostce albo dwóch monetach.)

🧮 Krok po kroku: kule, potem druga

Worek: 4 zielone, 1 żółta. Losujesz jedną.

1. $n=5$, $P(\text{żółta})=\tfrac{1}{5}$, $P(\text{zielona})=\tfrac{4}{5}$.
2. $P(\text{nie żółta})=\tfrac{4}{5}$ (to samo co zielona, tu zbieg okoliczności kolorów).
3. Sprawdzenie: $P(\text{żółta})+P(\text{zielona})=1$, czyli pełna lista.

Nie mów: „jak pomęczę worek sto razy, żółta na pewno wyjdzie 20 razy". Może wyjść 12, może 31. Ułamek $\tfrac{1}{5}$ opisuje model, nie wyrok dla serii.

⚠️ Uwaga, pułapka

1. Pewność przy dużej liczbie. Nie. Model nie gwarantuje serii.
2. Dwa kolory ⇒ $P=\tfrac{1}{2}$. Nie, gdy kul jest 9 i 1.
3. Ułamek zostawiony bez skrócenia. $\tfrac{4}{8}$ zamiast $\tfrac{1}{2}$ to rachunek niedokończony — skróć, zanim porównasz albo oddasz wynik.
4. Prawdopodobieństwo większe od 1. Niemożliwe: korzystnych jest co najwyżej tyle, ile możliwych ($k\le n$, więc $0\le P\le 1$). Jeśli wychodzi więcej, źle policzyłeś wyniki — wróć do listy.
5. Mianownik liczony „od–do" zamiast ze spisu. Na kostce wyniki idą od $1$ do $6$, a ktoś dzieli przez $5$, bo odjął końce ($6-1$). Mianownik to LICZBA pozycji na liście możliwych wyników, nie różnica skrajnych oczek.
6. Zależność od przeszłości. „Trzy szóstki, więc teraz mała." Nie.

📘 $P=0$ i $P=1$ — nie „rzadko" i nie „dużo razy"

Na kostce $P(\text{siedem})=0$: siódemki nie ma na liście. $P(\text{wynik od 1 do 6})=1$: lista jest wyczerpana. Zero nie znaczy „prawie nigdy w stu rzutach". Jeden nie znaczy „jak pomęczę, to na pewno". W tym modelu zdarzenie jest niemożliwe albo pewne.

Dwie kule z worka bez zwracania (jeśli arkusz tak każe): po wyjęciu czerwonej worek się zmienia — druga lista jest inna. W SP zwykle jedna kula albo rzuty niezależne (moneta). Czytaj, czy kula wraca.

💭 Pomyśl: Kostka. Zdarzenie „wynik podzielny przez 7". $P=?$ A „wynik mniejszy niż 10"?

Sprawdź odpowiedź

÷7: puste na {1,…,6}, $P=0$. $<10$: wszystkie, $P=1$. Nie $\tfrac{1}{7}$ „bo siedem".

📘 Dwa kolory kul i „uczciwa" kostka

Worek 9 białych, 1 czarna. $P(\text{czarna})=\tfrac{1}{10}$, nie $\tfrac{1}{2}$. Intuicja „są dwa kolory" jest pułapką kategorii: kategorie nie są wynikami, kule są. Lista ma 10 wierszy (każda kula), nie 2.

Kostka z odłamaną ścianą „6" nie jest modelem z $n=6$. Jeśli treść milczy, zakładasz uczciwą 1–6. Jeśli mówi „ściany 1–5", $n=5$ i $P(\text{szóstka})=0$.

$P$ można podać ułamkiem, czasem procentem (dział 12): $\tfrac{1}{2}=50%$. Nie mieszaj: $P=\tfrac{1}{6}$ to nie 6%. Skracaj, gdy polecenie nie każe zostawić „w szóstych".

Porównanie szans: $P(\text{parzyste})=\tfrac{1}{2} > P(\text{szóstka})=\tfrac{1}{6}$ na kostce. To porównanie ułamków (dział 5), nie wróżba „więc parzyste wyjdzie szybciej w serii" jako pewność.

💭 Pomyśl: Dwie kostki, lista par jako tabelka 6×6 (wypisanie zorganizowane). Ile komórek? $P(\text{suma }2)$? Czy (1,2) i (2,1) to dwa wiersze?

Sprawdź odpowiedź

36 komórek. Sumę 2 daje tylko (1,1): $P=\tfrac{1}{36}$. (1,2) i (2,1) to dwa różne wyniki, suma 3. Kto sklei je w „jedynka i dwójka", zaniży mianownik albo licznik przy innych sumach.

✍️ Na egzaminie

Często zamknięte z jedną kostką albo kulami. Podaj ułamek skrócony albo procent, jak każe polecenie. Otwarte: „możliwe: … (lista lub $n=6$); korzystne: …; $P=\ldots$". Nie pisz „z prawa wielkich liczb". Nie wciągaj schematu Bernoulliego.

🎒 Teraz Ty

1. Kostka. $P(\text{wynik } \ge 5)$, $P(\text{wynik nieparzysty})$.

Pokaż rozwiązanie

$\ge 5$: {5,6}, $\tfrac{2}{6}=\tfrac{1}{3}$. Nieparzyste {1,3,5}, $\tfrac{3}{6}=\tfrac{1}{2}$.

2. Moneta dwa razy. $P(\text{oba wyniki takie same})$.

Pokaż rozwiązanie

OO i RR z {OO, OR, RO, RR}, $\tfrac{2}{4}=\tfrac{1}{2}$.

3. 10 kul: 7 białych, 3 czarne. Jedna kula. $P(\text{czarna})$, $P(\text{biała})$. Czy suma jest 1?

Pokaż rozwiązanie

$\tfrac{3}{10}$, $\tfrac{7}{10}$, suma 1. Tak — te dwa zdarzenia dzielą całą listę kul.

4. Kostka. $P(\text{wynik podzielny przez 3})$. Wypisz korzystne. Czy to $\tfrac{1}{3}$ „bo trzy reszty 0,1,2"?

Pokaż rozwiązanie

{3,6}, czyli dwie ściany: $\tfrac{2}{6}=\tfrac{1}{3}$. Reszta 0 przy ÷3 na 1–6 naprawdę daje dwie ściany (nie trzy). Szansa wyszła $\tfrac{1}{3}$, ale z listy, nie z „trzech reszt po równo" bez sprawdzenia, ile ścian wpada do każdej.

📘 Częstość to nie wyrok

Dziesięć rzutów monetą: 7 orłów, 3 reszki. Częstość orła $\tfrac{7}{10}$ nie zmienia $P=\tfrac{1}{2}$ w jedenastym rzucie. Częstość opisuje tę serię, która już była. Model $P$ opisuje listę przed rzutem. Przy stu rzutach częstość bywa bliżej połowy — i bywa, że nie. PP nie każe prawa wielkich liczb. Zdanie „przy dużej liczbie na pewno po równo" jest fałszywe dwukrotnie: nie pewność i nie obowiązek po równo w Twojej serii.

To samo z kostką: dwadzieścia szóstek z rzędu nie „zużywa" szóstek. $P(\text{szóstka})$ zostaje $\tfrac{1}{6}$. Strach, że „matematyka kłamie, bo mi nie wyszło po połowie", bierze się z pomylenia modelu z obietnicą życia. Model nie obiecuje serii.

💭 Pomyśl: W worku 1 kula złota i 99 szarych. Losujesz jedną. $P(\text{złota})=\tfrac{1}{100}$. Czy sto losowań ze zwracaniem gwarantuje złotą?

Sprawdź odpowiedź

Nie. Każde losowanie ma $n=100$, $k=1$. Sto prób to sto niezależnych list, nie kupon na sukces. Może nie wylosujesz złotej ani razu. $P=0$ byłoby tylko, gdyby złotej nie było w worku.

📌 W pigułce

• $P=\frac{k}{n}$ na liście jednakowo możliwych wyników tego doświadczenia.
• Moneta $n=2$, kostka $n=6$, kule $n=$ liczba kul.
• Dwa rzuty: wróć do wypisania (24.1); nie sklejaj OR i RO.
• Szansa nie pamięta poprzednich rzutów i nie staje się pewnością, gdy $N$ duże.
• $0\le P\le 1$.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• [ ] Z kostki umiem $P(\text{parzyste})$ bez zgadywania.
• [ ] W worku 1 do 9 nie stawiam $\tfrac{1}{2}$ „bo dwa kolory".
• [ ] Po serii orłów nadal mam $\tfrac{1}{2}$ na następnym rzucie.
• [ ] Nie obiecuję „na pewno po połowie przy stu próbach".

---