Łamigłówki i własne pytania

🎯 Po co Ci to?

PP XIV.7: układanie zadań i łamigłówki. To nie ozdoba na koniec roku. Kto układa zadanie, ten widzi, które dane są konieczne, które zbędne, które sprzeczne. Na egzaminie rzadko każą „ułożyć zadanie dla kolegi" — za to cały czas każą rozpoznać, czego brakuje. Łamigłówka (odgadnij liczbę, kto kłamie, ustaw w kolejce) trenuje to samo sitko co 25.1, tylko bez gotowego wzoru z działu 7.

✅ Czego się nauczysz

Po tej jednostce:

• rozwiązujesz łamigłówkę etapami (założenie → wniosek → sprzeczność albo domknięcie);
• układasz zadanie z jawnymi danymi, pytaniem i spójnym wynikiem;
• widzisz dane zbędne i dane brakujące.

🔁 Przypomnij sobie

Elenchus z geometrii i równań: sprzeczność zabija założenie. Dział 3: podzielność jako sitko. Dział 24: lista przypadków. Dział 18: dowód to nie przykład — tu łamigłówka bywa mini-dowodem.

📘 Łamigłówka: mała liczba możliwości

Przykład. Liczba naturalna $n$: $10 < n < 20$, $n$ parzyste, suma cyfr podzielna przez 3. Z 25.1 sitko: parzyste 12, 14, 16, 18. Suma cyfr ÷3: $1+2=3$, $1+4=5$, $1+6=7$, $1+8=9$. Zostaje 12 i 18. Jeśli treść doda „podzielna przez 4": 12 tak, 18 nie. Wypisanie (24.1) zamiast zgadywania.

Przykład. Trzy osoby A, B, C. Jedna zawsze kłamie, dwie mówią prawdę. A: „B kłamie". B: „C mówi prawdę". Rozważasz przypadki: kto jest kłamcą — trzy wiersze, nie wzór.

💭 Pomyśl: Ułóż brak w zadaniu: „Pociąg jechał 2 godziny. Jaką drogę przebył?" Czego nie ma? Dopisz jedno zdanie, żeby dało się liczyć.

Sprawdź odpowiedź

Brak prędkości (albo drogi w kawałkach, albo $s=vt$ z inną parą). Dopisek np. „stałą prędkością 80 km/h" → $s=160$ km. Bez tego 25.1 się urywa na etapie 1: za mało danych, nie „nie umiem wzoru".

📐 DEFINICJA — zadanie dobrze ułożone: ma (1) spójne dane, (2) jedno jasne pytanie, (3) wszystkie sitka możliwe do spełnienia naraz, (4) wynik sprawdzalny weryfikacją z 25.1.

Po ludzku: da się je zrobić i sprawdzić. Czym to NIE jest: zgadywanka bez danych; trzy pytania w jednym zdaniu; dane, które się gryzą (suma kątów trójkąta 200°).

Układanie: trzy pułapki autora

1. Dane zbędne. „Ania ma 12 lat i zielony plecak. Bilet kosztuje 8 zł. Ile kosztują 3 bilety?" Plecak i wiek nie biorą udziału. Na egzaminie bywają celowo — sitko czytania. W własnym zadaniu: albo je skreśl, albo użyj.
2. Dane sprzeczne. „Kwadrat o bokach 3 cm i 5 cm." Nie istnieje. Autor ma obowiązek spójności.
3. Pytanie nie z danych. „Ile waży?" przy samych długościach.

📘 Od autora: najpierw sam rozwiąż

Układając dla kolegi, zrób to, czego wymaga 25.1 od ucznia: narysuj, policz, podstaw. Jeśli Twoje własne zadanie nie ma rozwiązania — jest zepsute, nie „sprytne". Jeśli ma dwa różne wyniki przy tych samych danych, dane są sprzeczne albo pytanie niejednoznaczne („ile?" przy dwóch wielkościach).

Dane zbędne trenują czytanie na arkuszu; w ćwiczeniu-dla-kolegi lepiej jedna zbędna (kolor plecaka) niż trzy, bo sitko ma być widoczne, nie złość. Brak danych nazywasz wprost: „tego nie da się policzyć, bo nie ma czasu" — to też poprawna odpowiedź, nie wstyd.

Dobre zadanie na średnią (23.2): podajesz 5 liczb i pytasz o średnią — albo odwrotnie: średnia i $n-1$ liczb, szukana brakująca (sprawdzian działu 23). Dobre na skalę: jedna długość na planie, $1:n$, pytanie o świat.

📘 Przypadki: kto kłamie — trzy wiersze na kartce

Wróć do A, B, C: jedna kłamie, dwie mówią prawdę. A: „B kłamie". B: „C mówi prawdę".

Założenie 1: A kłamie. Wtedy „B kłamie" jest fałszem, więc B mówi prawdę. B mówi, że C mówi prawdę — C prawda. Jedna kłamca (A) — spójne. Założenie 2: B kłamie. Wtedy A mówi prawdę, więc B naprawdę kłamie (zgadza się z A). B kłamie, że C mówi prawdę → C kłamie. Dwóch kłamców (B i C) — sprzeczne z „dokładnie jeden". Założenie 3: C kłamie. A prawda → B kłamie. Znów dwaj kłamcy. Zostaje tylko założenie 1: kłamie A. To Elenchus na trzech wierszach, nie olśnienie.

Układając zadanie dla kolegi z klasy: ogranicz sitka. „Liczba dwucyfrowa, parzysta, suma cyfr 9" ma kilka odpowiedzi (18, 36, 54, 72, 90) — legalne, jeśli pytasz „podaj jedną" albo „ile ich jest" (wtedy lista). Gdy chcesz jedną konkretną, dołóż sitko („podzielna przez 10") albo zmień pytanie.

💭 Pomyśl: Ułóż dane sprzeczne w jednym zdaniu o trójkącie (dział 15) i powiedz, które sitko pęka.

Sprawdź odpowiedź

Np. „trójkąt o bokach 2 cm, 3 cm, 9 cm" — nierówność $2+3<9$. Albo „kąty 90°, 90°, 10°" — suma 190°, nie 180°. Sprzeczność jest w geometrii, nie w rachunku 2+3.

🧮 Krok po kroku: od sytuacji do zadania

Sytuacja: kupujesz 2,5 kg jabłek po 4 zł/kg.

1. Wybierz pytanie: „ile zapłacisz?" (proste) albo „ile kilogramów za 20 zł?" (odwrotność — dział 11).
2. Zapisz dane i sitka (cena dodatnia, masa dodatnia).
3. Rozwiąż sam: $2{,}5\cdot 4=10$ zł. Jeśli nie umiesz rozwiązać własnego zadania, nie jest gotowe.
4. Dopisz ewentualną zbędną liczbę świadomie („jabłka są czerwone") albo nie dopisuj.

⚠️ Uwaga, pułapka

1. Łamigłówka = spryt bez toku. Na kartce i tak sitka.
2. Ułożone zadanie bez rozwiązania autora. Potem okazuje się, że $x$ ujemne.
3. Sześć warunków na trzy liczby — puste przecięcie sit.
4. „Zgadnij, o czym myślę" bez danych.
5. Kopiowanie arkusza ze zmienionym imieniem i zepsutą liczbą (suma nie wychodzi).

✍️ Na egzaminie

XIV.7 rzadko stoi jako „ułóż zadanie". Stoi jako czytanie z szumem (dane zbędne) i jako krótkie łamigłówki liczbowych sit. Strategia 25.1 wystarcza. Jeśli kiedyś polecenie „podaj przykład liczby spełniającej…", to jest mini-układanie: Twoja liczba musi przejść wszystkie sita.

🎒 Teraz Ty

1. Liczby 4, 9, 15, 21, 25. Sitko: nieparzyste i podzielne przez 3. Które przechodzą? To łamigłówka czy zgadywanie?

Pokaż rozwiązanie

Nieparzyste: 9, 15, 21, 25. ÷3: 9, 15, 21. 25 odpada. Lista, nie magia.

2. Ułóż zadanie na $s=vt$ z wynikiem 90 km. Podaj treść i rozwiązanie w spoilerze (najpierw treść bez patrzenia w rozwiązanie).

Pokaż rozwiązanie

Przykład treści: „Rowerzysta jechał 2,5 godz. ze średnią 36 km/h. Jaką drogę przebył?" Tok: $s=36\cdot 2{,}5=90$ km. Inny zestaw: 45 km/h i 2 h.

3. W zadaniu „12 jajek, 3 zepsute, ile dobrych?" kolega dodał „kura znosi 1 jajko dziennie". Zbędne czy sprzeczne?

Pokaż rozwiązanie

Zbędne do pytania o dobre jajka tu i teraz. Nie sprzeczne. Sitko 25.1: nie używasz tego zdania.

4. Ułóż pytanie do danych: „mapa 1:50 000, odcinek drogi na mapie 8 cm". Jakie jest legalne pytanie? Jakie byłoby z brakiem (nie da się policzyć bez dopisku)?

Pokaż rozwiązanie

Legalne: „jaka długość w terenie?" → $8\cdot 50,000$ cm $= 4$ km. Brak: „ile czasu zajmie spacer?" — nie ma prędkości. Sitko 25.1 + 22.3.

📌 W pigułce

• Łamigłówka = sitka + wypisanie / przypadki, nie olśnienie.
• Układając: dane, pytanie, spójność, sam rozwiąż.
• Zbędne dane trenują czytanie; sprzeczne psują świat zadania.
• Brak danych nazywasz brakiem, nie swoją niewiedzą.
• XIV.7 i XIV.1–6 to jedna rodzina: kontrola treści.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• [ ] Przeprowadzam liczbę przez trzy sitka z treści.
• [ ] Umiem ułożyć zadanie, które sam liczę do końca.
• [ ] Wskazuję daną zbędną jednym palcem.
• [ ] Widzę, gdy danych jest za mało na $s=vt$.

---