Tabele, wykresy, proporcjonalność

🎯 Po co Ci to?

Trener notuje: w 1. minucie rowerzysta zrobił 400 m, w 2. — znowu 400 m, w 3. — 400 m. W tabeli to widać od razu. Na wykresie — jeszcze szybciej: prosta linia. Fizyka mówi obrazem. Jeśli nie umiesz czytać tabeli i wykresu, wzór $v = s/t$ z działu 2 będzie wisiał w powietrzu.

Tu też jest słowo, które wróci sto razy: proporcjonalność prosta. Na wykresie to linia przez punkt (0, 0).

✅ Czego się nauczysz

Po tej jednostce potrafisz:

wyłowić z tabeli, rysunku albo krótkiego tekstu informacje kluczowe;
rozpoznać zależność rosnącą i malejącą;
wskazać wartość największą i najmniejszą;
rozpoznać proporcjonalność prostą na wykresie i posłużyć się nią w prostym rachunku;
przenieść tabelę na wykres (osie, jednostki, punkty);
wyjąć dane ze schematu i przepisać je do tabeli.

🔁 Przypomnij sobie

Z matematyki: oś liczbowa, punkt o współrzędnych $(x, y)$, „im większe $x$, tym większe $y$". Jednostka 1.2: zawsze podpisuj, w czym liczą osie.

📘 Wyjaśnienie

Jak czytać tabelę

Tabela to nie ozdoba. Ma nagłówki z jednostkami. Wiersz = jedna próba albo jedna chwila.

Przykład: trzech rowerzystów jechało ten sam czas $t = 10\ \text{s}$.

Rowerzysta	Droga $s$ (m)	Prędkość $v$ (m/s)
Ala	40	4
Bartek	80	8
Celina	120	12

Informacje kluczowe: czas stały; kto dalej — ten szybciej; $v = s/t$ (na razie jako odczyt: $40/10 = 4$).

💭 Pomyśl: Przy stałym czasie $t$ — czy prędkość jest proporcjonalna do drogi? Jak to widać w tabeli?

Sprawdź odpowiedź

Tak. Dwa razy większa droga → dwa razy większa $v$ (Bartek vs Ala). Trzy razy (Celina vs Ala) → trzy razy $v$. Iloraz $v/s$ jest stały ($4/40 = 8/80 = 0{,}1$). To właśnie „$v \sim s$ przy stałym $t$".

Tabela trzech rowerzystów jadących ten sam czas dziesięciu sekund: Ala czterdzieści metrów i cztery metry na sekundę, Bartek osiemdziesiąt metrów i osiem metrów na sekundę, Celina sto dwadzieścia metrów i dwanaście metrów na sekundę; strzałka w dół prowadzi do wykresu prędkości od drogi, gdzie te same trzy pary liczb są punktami leżącymi na prostej przechodzącej przez początek układu; podpis: tabela, punkty, linia · źródło: opracowanie własne AsLekcyjny

Wykres rosnący, malejący, ekstrema

Patrzysz na linię (albo na słupki):

Rosnąca: gdy w prawo (większy $x$), wykres idzie w górę.
Malejąca: w prawo i w dół.
Maksimum / minimum: najwyższy / najniższy punkt na wykresie (w tym zakresie, który masz).

Nie zgaduj „na oko z pamięci" — połóż linijkę na osi i odczytaj.

💭 Pomyśl: Wykres temperatury w ciągu dnia: rano 8 °C, w południe 18 °C, wieczorem 12 °C. Gdzie zależność rosła, gdzie malała? Jaka wartość maksymalna?

Sprawdź odpowiedź

Rosła od rana do południa, malała od południa do wieczora. Maksimum: $18\ ^{\circ}\text{C}$ w południe. Minimum spośród trzech: $8\ ^{\circ}\text{C}$ rano (wieczór jest pomiędzy).

Proporcjonalność prosta = linia przez (0, 0)

Dwie wielkości są wprost proporcjonalne, gdy ich iloraz jest stały: $y/x = \text{const}$. Na wykresie $y$ od $x$: prosta przechodząca przez początek układu.

Przykłady, które już znasz albo zaraz poznasz:

przy stałym $t$: $s$ i $v$ (tabela rowerzystów);
przy stałej $v$: droga $s$ i czas $t$ (im dłużej, tym dalej — dział 2);
obwód kwadratu i długość boku.

Nie jest wprost proporcjonalna zależność, która jest prostą, ale nie przechodzi przez $(0,0)$ — np. „opłata = 5 zł + 2 zł/km". Przy zerowych km wciąż płacisz 5 zł.

📐 DEFINICJA — proporcjonalność prosta: zależność, w której stosunek dwóch wielkości jest stały; na wykresie — odcinek (lub prosta) przez (0, 0).

Po ludzku: dwa razy więcej jednego → dwa razy więcej drugiego, i to od zera. Czym to NIE jest: „wykres jest prostą" (prosta obok zera to inna historia). Czym to NIE jest: „gdy jedno rośnie, drugie też" — to tylko zależność rosnąca, niekoniecznie proporcja.

Dwa panele. W panelu A wykres prędkości od drogi dla trzech rowerzystów: punkty czterdzieści i cztery, osiemdziesiąt i osiem, sto dwadzieścia i dwanaście leżą na prostej wychodzącej z początku układu, więc prędkość jest wprost proporcjonalna do drogi przy stałym czasie. W panelu B prosta y równa się x plus trzy przecina oś y w punkcie trzy i omija początek układu, który jest zaznaczony kropką i przekreślony — to prosta, ale nie proporcjonalność prosta · źródło: opracowanie własne AsLekcyjny

🧮 Jak z tego liczyć: jeśli $y \sim x$ i znasz parę $(x_1, y_1)$ oraz nowe $x_2$, to $y_2 = y_1 \cdot (x_2 / x_1)$. Warunek: naprawdę proporcja (przez zero) i te same jednostki.

📝 Przykład krok po kroku

W 5 s rower zrobił 20 m (stała prędkość, jak się okaże w dziale 2). Jaka droga w 8 s, jeśli $s \sim t$?

$s_2 = 20 \cdot (8/5) = 32\ \text{m}$. Sprawdzenie: $20/5 = 4\ \text{m/s}$, $4 \cdot 8 = 32\ \text{m}$. Ten sam wynik.

Informacje kluczowe z tekstu i rysunku

PP I.1: nie wszystko na plakacie jest potrzebne. Ogłoszenie: „Rajd 12 km, start 9:00, bufet, numer startowy 347, czas zwycięzcy 24 min". Do prędkości średniej kluczowe są 12 km i 24 min — nie numer startowy.

Schemat czyta się w trzech krokach. Rysunek schematyczny (stanowisko, przekrój, obwód) i blokowy (prostokąty połączone strzałkami) to nie ozdoba — to skrócony zapis danych.

Legenda i jednostki. Co znaczą symbole i w czym podane są liczby. Bez tego „1,20" nie znaczy nic: metr czy centymetr to różnica stukrotna.
Bloki i strzałki. Strzałka mówi „co po czym" albo „co z czego wynika" — schemat czytasz wzdłuż strzałek, nie od lewej do prawej jak zdanie.
Dane kluczowe. Wypisz liczby, które wchodzą do pytania. Reszta (kolor, numer inwentarzowy, marka) opisuje przedmiot, nie zjawisko.

To, co kluczowe, ustala pytanie, nie rysunek: ten sam schemat raz służy do policzenia prędkości, a raz do sprawdzenia, czy sprzęt się nie przeciąży — i za każdym razem co innego jest z niego potrzebne.

Jak narysować wykres, żeby nie oszukać oka

PP I.8 każe odczytywać wykresy — a żeby odczytać, ktoś musi je narysować uczciwie. Oto checklista, której użyjesz też w dziale 2 przy $s(t)$ i $v(t)$.

Osie z nazwą wielkości i jednostką. Nie „x" i „y" z matematyki, jeśli to czas i droga. Pisz $t$ (s) i $s$ (m).
Skala równa. 1 cm na papierze = zawsze tyle samo sekund na osi czasu. Jeśli 1 s zajmuje 1 cm, to 5 s nie może zająć „mniej więcej trzech kratek".
(0, 0) zaznaczone, gdy ma sens. Przy proporcjonalności prostej musi być widać, czy linia idzie przez początek.
Punkty z tabeli najpierw jako kropki, potem linia (albo łamana). Nie odwrotnie: najpierw „ładna fala", potem szukanie, gdzie wcisnąć dane.
Tytuł albo podpis jednym zdaniem: „droga roweru od startu".

💭 Pomyśl: Tabela: $t$ = 0, 1, 2, 3 s; $s$ = 0, 4, 8, 12 m. Czy to proporcjonalność prosta? Jak to sprawdzisz dwojako — liczbą i wykresem?

Sprawdź odpowiedź

Iloraz $s/t$ (dla $t \neq 0$): $4/1 = 8/2 = 12/3 = 4$. Stały. Na wykresie punkty $(0,0)$, $(1,4)$, $(2,8)$, $(3,12)$ leżą na prostej przez początek. To $s \sim t$ — a $4\ \text{m/s}$ to już zapowiedź prędkości z działu 2.

Rosnąca zależność nie zawsze jest proporcją. Temperatura w pokoju rano rośnie, ale nie od zera kelwinów na wykresie, który zaczynasz od 15 °C. „Idzie w górę" ≠ „linia przez (0,0)".

Malejąca: woda w czajniku stygnie — wykres $T(t)$ opada. To nadal nie musi być prosta i na pewno nie „proporcjonalność prosta" w szkolnym sensie (tam drugie ma rosnąć razem z pierwszym od zera).

📝 Przykład — odczyt z wykresu (jakość). Na $s(t)$ odczytujesz $s$ przy $t = 6\ \text{s}$: prowadzisz kreskę pionowo do linii, potem poziomo do osi $s$. Szacujesz między kreskami skali. Zapisujesz jednostkę. Jeśli skala to 2 m na kratkę, a jesteś w 3,5 kratki — $7\ \text{m}$, nie „3,5".

🛠️ Narysuj w zeszycie (nawet brzydko) wykres z tabeli: czas 0, 2, 4 min; liczba stron przeczytanych 0, 6, 12. Czy to $n \sim t$? Co jest na osiach?

Klucz, nie rysunek

Tak — $6/2 = 12/4 = 3$ strony na minutę, start od (0,0). Osie: $t$ (min), $n$ (strony). Błąd: oś „strony" bez jednostki i bez zera.

📐 Definicje tej lekcji (ściąga)

📐 DEFINICJA — wykres zależności: rysunek, na którym widać, jak jedna wielkość zmienia się wraz z drugą (punkt z tabeli → punkt na płaszczyźnie).

Po ludzku: tabela opowiedziana linią, żeby oko złapało trend. Czym to NIE jest: ozdobny plakat. Bez skali i jednostek to bazgroł.

Gdy na plakacie zawodów jest za dużo liczb, wracasz do I.1: które pary $(x,y)$ odpowiadają na pytanie? Reszta to tło — jak magnes na lodówce przy pytaniu o parowanie kałuży.

⚠️ Pułapka

Połączyć punkty od ręki krzywą „ładną", choć w tabeli są trzy punkty na jednej prostej — albo odwrotnie: narysować prostą przez (0,0), choć pierwszy punkt to $(0, 2)$.

Oś bez jednostki. Wykres „3, 6, 9" — trzech czego? Zawsze: $s$ (m), $t$ (s).

Proporcja vs „po prostu rośnie"

Zapamiętaj test ilorazu: bierz kilka par z tabeli (pomijając zero na zero). Jeśli $y/x$ wychodzi w przybliżeniu to samo i $(0,0)$ do tego pasuje — masz proporcjonalność prostą. Jeśli iloraz pływa, a wykres i tak idzie w górę — zależność rosnąca, nie proporcja.

Przykład rosnący bez proporcji: temperatura w pokoju w ciągu dnia — rośnie od rana do południa, ale wykres $T(t)$ nie zaczyna się od zera stopni, więc to nie jest proporcjonalność prosta, tylko zwykła zależność rosnąca. Prosty szkolny kontrprzykład: $y = x + 5$ — prosta, ale nie przez (0,0).

Na $v \sim s$ przy stałym $t$: dłuższa droga w tym samym czasie to większa $v$. To zapowiedź $v = s/t$. Iloraz $s/t$ jest stały wzdłuż tej rodziny — bo $t$ zablokowane.

📌 W pigułce

Tabela: nagłówki + jednostki; wyławiasz to, czego pytanie naprawdę potrzebuje.
Rosnąca / malejąca — z kształtu; max i min — z odczytu.
Proporcjonalność prosta: $y/x = \text{const}$ i wykres przez (0, 0).
Punkty z tabeli przenosisz na papier: skala, osie, jednostki.

🎒 Zadania

Zadanie 1.4.1. Tabela: $t$ (s): 0, 2, 4, 6; $s$ (m): 0, 6, 12, 18. Czy $s \sim t$? Uzasadnij wykresem (słownie: co zobaczysz).

Pokaż rozwiązanie

Tak: $s/t = 3\ \text{m/s}$ w każdym wierszu (poza zerem). Wykres $s(t)$: prosta z (0, 0) przez (2, 6), (4, 12), (6, 18). Błąd: powiedzieć „rośnie, więc proporcja" — rosnąć może też krzywa.

Zadanie 1.4.2. Wykres maleje od $t = 0$ do $t = 5\ \text{s}$. Co to mówi o wielkości na osi pionowej? Podaj przykład z życia (rower, telefon, kałuża).

Pokaż rozwiązanie

Wielkość na pionie spada z czasem. Przykłady: najwyższy punkt KOLEJNYCH odbić piłki (coraz niżej — piłka traci energię przy każdym odbiciu), poziom baterii (%), pole kałuży przy parowaniu. Nie zgaduj wzoru — odczytaj trend.

Zadanie 1.4.3. Przy stałym $t = 10\ \text{s}$ droga 60 m. Jaka prędkość? Jaka droga przy tej samej prędkości w 10 s… poczekaj: jaka $v$, jeśli $s = 90\ \text{m}$ w tym samym czasie? Użyj proporcji $v \sim s$.

Pokaż rozwiązanie

Najpierw $v = 60/10 = 6\ \text{m/s}$. Potem $v' = 6 \cdot (90/60) = 9\ \text{m/s}$ (albo $90/10 = 9$). Błąd: dodać 30 m do prędkości.

Zadanie 1.4.4 — odczyt ze schematu. Poniższy schemat blokowy opisuje stanowisko, na którym mierzono ruch wózka.

            STANOWISKO — POMIAR RUCHU WÓZKA

  ┌───────────────┐     ┌────────────────┐     ┌───────────────┐
  │ START         │ ──▶ │ ODCINEK TORU   │ ──▶ │ META          │
  │ znacznik A    │     │ s = 1,20 m     │     │ znacznik B    │
  └───────────────┘     └────────────────┘     └───────────────┘
                                │
                                ▼
  ┌────────────────────────────────────────────────────────────┐
  │ STOPER w telefonie · działka 0,01 s                        │
  │ czasy pięciu prób (s): 2,41 · 2,38 · 2,45 · 2,40 · 2,36    │
  └────────────────────────────────────────────────────────────┘
                                │
                                ▼
  ┌────────────────────────────────────────────────────────────┐
  │ WÓZEK · masa 250 g · czerwony · numer inwentarzowy 17/3    │
  └────────────────────────────────────────────────────────────┘

(a) Wypisz ze schematu tylko te dane, które są potrzebne do policzenia prędkości wózka. Który blok nie wnosi do tego rachunku nic? (b) Przenieś pomiary czasu do tabeli (numer próby i $t$ w sekundach). (c) Policz średni czas i prędkość. Wynik zapisz z jednostką.

Pokaż rozwiązanie

(a) Kluczowe: $s = 1{,}20\ \text{m}$ z bloku „odcinek toru" i pięć czasów ze stopera. Blok „wózek" nie wnosi nic: masa, kolor i numer inwentarzowy opisują przedmiot, nie jego ruch. Działka stopera (0,01 s) do rachunku nie wchodzi, ale mówi, ile cyfr wyniku ma sens (1.3).

(b) Tabela — te same dane, inna postać:

nr próby	1	2	3	4	5
$t$ (s)	2,41	2,38	2,45	2,40	2,36

(c) Suma pięciu czasów: $2{,}41 + 2{,}38 + 2{,}45 + 2{,}40 + 2{,}36 = 12{,}00$ s. Średni czas: $12{,}00 / 5 = 2{,}40\ \text{s}$. Czasy rozrzucone są od 2,36 s do 2,45 s, więc zapis z niepewnością: $2{,}40\ \text{s} \pm 0{,}05\ \text{s}$.

Prędkość: $v = s / t = 1{,}20 / 2{,}40 = 0{,}50\ \text{m/s}$.

Błąd: policzyć prędkość z najkrótszego czasu, bo „to była najlepsza próba" — pojedynczy pomiar nie jest lepszy od średniej, jest tylko jednym z pięciu. Drugi błąd: wciągnąć masę do rachunku, bo skoro stoi na schemacie, to pewnie jest do czegoś potrzebna.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

[ ] Z tabeli i z tekstu biorę tylko dane potrzebne do pytania.
[ ] Rozpoznaję wykres rosnący i malejący; wskazuję max i min.
[ ] Proporcję prostą poznaję po linii przez (0, 0), nie po „jest prosto".
[ ] Umiem z tabeli naszkicować wykres z podpisanymi osiami.
[ ] Ze schematu blokowego wyjmuję dane potrzebne do rachunku i przenoszę je do tabeli; odróżniam je od danych, które opisują przedmiot.

Ucz się tej jednostki z asystentem