Prędkość

🎯 Po co Ci to?

„Jedziesz szybko" nic nie mówi sędziemu na rowerze. Sędzia chce ile metrów na sekundę albo kilometrów na godzinę. Prędkość łączy drogę z czasem. Przelicznik $3{,}6$ między m/s a km/h wraca w prawie każdym zadaniu z ruchu — lepiej zrozumieć, skąd się bierze, niż wkuć w obie strony na ślepo.

✅ Czego się nauczysz

Po tej jednostce potrafisz:

posługiwać się prędkością w ruchu prostoliniowym;
stosować $v = s/t$ i przeliczać jednostki;
zamieniać m/s ↔ km/h (czynnik $3{,}6$);
przeliczać czas (s, min, h), zanim wstawisz do wzoru;
ocenić, czy wynik ma sens (rower to nie 80 m/s).

🔁 Przypomnij sobie

$s$ — droga (m). $t$ — czas (s). Przedrostki i $1\ \text{h} = 3600\ \text{s}$ z działu 1. Proporcja: przy stałym $t$ mamy $v \sim s$.

Wyobraź sobie ścieżkę nad rzeką. Od ławki do mostu jest 240 m. Jedziesz rowerem i patrzysz na zegarek: 40 s. Średnia $v = 240/40 = 6\ \text{m/s}$. Po drodze zwolniłeś na pieszych i przyspieszyłeś na prostej — licznik skakał. Szkolny wzór nie udaje, że znał każdą sekundę. Zna parę $(s, t)$ na całym kawałku. To uczciwe — liczysz średnią z całego odcinka, nie prędkość „w tej sekundzie".

Gdy porównujesz się z kolegą, umówcie się co do jednostek. On: „22 na liczniku" (km/h). Ty: „6 m/s". To (w przybliżeniu) ta sama jazda po $\times 3{,}6$ — dokładnie $6 \cdot 3{,}6 = 21{,}6$ , licznik kolegi zaokrągla do $22$ . Kłótnia o liczbę bez jednostki to jednostka 1.2 w przebraniu.

📘 Wyjaśnienie

Co liczymy

W ruchu prostoliniowym wartość prędkości mówi, jaką drogę ciało przebywa w jednostce czasu.

🧮 Wzór: $v = s / t$

$v$ — wartość prędkości, $s$ — droga, $t$ — czas, w którym tę drogę przebyto. Jednostka SI: $\text{m/s}$ (metr na sekundę).

Założenie na teraz: bierzemy całą drogę i cały czas — to prędkość średnia na tym odcinku. Jeśli jedziesz nierówno, licznik nie pokazuje „w tej milisekundzie", tylko średnią z trasy (albo chwilową z GPS — to wciąż $s/t$ na bardzo krótkim kawałku).

📐 DEFINICJA — prędkość (wartość, ruch prostoliniowy): wielkość równa stosunkowi drogi do czasu, w którym droga została przebyta; $v = s/t$.

Po ludzku: ile drogi na każdą sekundę (albo na godzinę). Czym to NIE jest: „tempo" w znaczeniu kolokwialnym bez liczby. Czym to NIE jest: przyspieszenie (to zmiana prędkości — jednostka 2.4).

Wzór na prędkość: v równa się s przez t; od symbolu v odnośnik do prędkościomierza podpisanego metry na sekundę albo kilometry na godzinę, od s do taśmy mierniczej podpisanej droga w metrach lub kilometrach, od t do stopera podpisanego czas w sekundach lub godzinach; w ramce przypomnienie: najpierw jednostki, potem dzielenie · źródło: opracowanie własne AsLekcyjny

📝 Przykład — rower

Rowerzystka przejechała $90\ \text{m}$ w $15\ \text{s}$ (prosto, równo).

$v = 90 / 15 = 6\ \text{m/s}$.

Czy to dużo? $6 \cdot 3{,}6 = 21{,}6\ \text{km/h}$ — spokojny rower, ma sens.

Przeliczanie m/s ↔ km/h

Chcemy z $\text{m/s}$ zrobić $\text{km/h}$:

$1\ \text{m/s} = 3600\ \text{m/h} = 3{,}6\ \text{km/h}$ (bo $3600/1000 = 3{,}6$).

Stąd reguła:

z m/s na km/h: mnożysz przez $3{,}6$;
z km/h na m/s: dzielisz przez $3{,}6$.

Nie wkuwaj kierunku na pamięć bez sensu: km/h to większa liczba przy tej samej jeździe ($6\ \text{m/s} \approx 22\ \text{km/h}$). Jeśli po przeliczeniu rower „jedzie" 800 km/h — odwróciłeś mnożenie.

💭 Pomyśl: Biegacz: $18\ \text{km/h}$. Ile m/s?

Sprawdź odpowiedź

$18 / 3{,}6 = 5\ \text{m/s}$. Sprawdzenie: $5 \cdot 3{,}6 = 18$. Sens: 5 metrów co sekundę — szybko, ale na sprincie realne. Błąd: $18 \cdot 3{,}6 = 64{,}8\ \text{m/s}$ (to już pociąg).

Czas musi pasować do wzoru

Wzór „lubi" sekundy, gdy $s$ jest w metrach ($v$ w m/s). Albo godziny, gdy $s$ w kilometrach ($v$ w km/h). Nie mieszaj $s$ w metrach z $t$ w godzinach bez przeliczenia.

💭 Pomyśl: $s = 3\ \text{km}$, $t = 10\ \text{min}$. Policz $v$ w km/h.

Sprawdź odpowiedź

$10\ \text{min} = 10/60\ \text{h} = 1/6\ \text{h}$. $v = 3 / (1/6) = 18\ \text{km/h}$. Albo: $10\ \text{min}$ to $1/6$ godziny, w godzinę sześć razy tyle drogi: $18\ \text{km}$. Błąd: $3/10 = 0{,}3$ i dopisać km/h (to byłoby 3 km na 10 godzin).

Inne przekształcenia, gdy znasz dwie z trzech: $s = v \cdot t$, $t = s / v$. Zawsze: jednostki po obu stronach muszą się zgadzać.

Średnia z całego odcinka — to, co naprawdę liczysz w SP

Wzór $v = s/t$ zawsze daje prędkość średnią na przebytej drodze w czasie $t$. Jeśli na początku biegłeś szybciej, a pod koniec wolniej, wynik to „jakbyś szedł równo i zrobił tę samą drogę w tym samym czasie".

Nie potrzebujesz jeszcze „prędkości w tej milisekundzie" (to liceum / prędkościomierz chwilowy). W klasie 7–8:

na kartkówce: $v = s/t$ i jednostki;
na rowerze: licznik bywa chwilowy — to inna informacja niż „12 km w 40 min".

💭 Pomyśl: Do babci 6 km. 20 min rowerem, 10 min postój (sklep), 20 min z powrotem tym samym tempem. Jaka jest średnia tam i z powrotem wliczając postój, a jaka tylko w jeździe? Droga całkowita 12 km.

Sprawdź odpowiedź

Całkowity czas $20+10+20 = 50\ \text{min} = 50/60\ \text{h}$. $v = 12 / (50/60) = 14{,}4\ \text{km/h}$ z postojem. Bez postoju: $t = 40\ \text{min} = 2/3\ \text{h}$, $v = 12 / (2/3) = 18\ \text{km/h}$. Postój obniża średnią, bo droga nie rośnie, a zegar tak. Błąd: wziąć tylko 6 km.

Przeliczanie km/h ↔ m/s — aż wejdzie w krew

Pamiętaj kierunek:

z m/s na km/h: mnożysz przez $3{,}6$ (liczba rośnie: 5 m/s → 18 km/h);
z km/h na m/s: dzielisz przez $3{,}6$ (liczba maleje: 36 km/h → 10 m/s).

Skąd 3,6, bez ułamków piętrowych: w godzinie jest 3600 s, w kilometrze 1000 m, więc $3600/1000 = 3{,}6$.

📝 Tabela „czy to ma sens?" — zanim oddasz wynik, porównaj z kotwicą:

Sytuacja	rząd wielkości
spacer	ok. 1 m/s (ok. 4 km/h)
rower w mieście	kilka m/s (15–25 km/h)
sprint na 100 m	ok. 10 m/s (ok. 36 km/h) na krótkim kawałku
autobus w mieście	często 30–50 km/h, nie 300
„wyszło 80 m/s na rowerze"	pomyłka jednostek — to samolot

🛠️ (a) $54\ \text{km/h}$ na m/s; (b) $2{,}5\ \text{m/s}$ na km/h; (c) $s = 150\ \text{m}$, $t = 30\ \text{s}$ — $v$ w m/s i km/h.

Pokaż rozwiązanie

(a) $54/3{,}6 = 15\ \text{m/s}$. (b) $2{,}5 \cdot 3{,}6 = 9\ \text{km/h}$. (c) $v = 150/30 = 5\ \text{m/s} = 18\ \text{km/h}$. Błąd (a): $54 \cdot 3{,}6$.

Gdy znasz $v$ i $t$, droga $s = v \cdot t$. Gdy znasz $s$ i $v$, czas $t = s/v$. Ten sam związek, trzy maski. Zawsze najpierw jednostki: metry z sekundami, kilometry z godzinami.

📐 DEFINICJA — prędkość (wartość, SP): $v = s/t$; ile drogi przypada na jednostkę czasu.

Po ludzku: jak szybko ubywa (przybywa) metrów na zegarze. Czym to NIE jest: przyspieszenie (to zmiana prędkości — 2.4). Czym to NIE jest: „prędkość chwilowa z licznika", jeśli w zadaniu masz tylko całą drogę i cały czas — wtedy liczysz średnią.

⚠️ Pułapka

$v = t/s$ — odwrócony ułamek. Jednostka wyszłaby s/m, bez sensu na prędkościomierzu.

„36 km/h = 36 m/s" — zapomniałeś o $3{,}6$. 36 km/h = 10 m/s.

Czas $1{,}5\ \text{min}$ wstawiony jako $1{,}5\ \text{s}$.

Na klasówce: trzy liczby, jeden związek

Typowe zadanie ma dwie z trzech: $s$, $v$, $t$. Trzecią liczysz. Zanim ruszysz kalkulatorem:

Wypisz dane z jednostkami. 2. Przelicz czas i drogę na spójną parę (m i s albo km i h). 3. Wybierz maskę wzoru. 4. Policz. 5. Test życia (tabela kotwic). 6. Jednostka w odpowiedzi.

📝 Zestaw treningowy (zrób w zeszycie). (1) Pies 3 km w 40 min — $v$ w km/h. (2) Hulajnoga 4 m/s przez 12 s — jaka $s$? (3) Autobus 54 km/h, przystanek za 270 m — ile sekund (najpierw m/s)?

Klucz

(1) $t = 40/60 = 2/3\ \text{h}$, $v = 3/(2/3) = 4{,}5\ \text{km/h}$. (2) $s = 4 \cdot 12 = 48\ \text{m}$. (3) $54/3{,}6 = 15\ \text{m/s}$, $t = 270/15 = 18\ \text{s}$. Błąd (1): $3/40$ km/h. Błąd (3): zostawić km/h i metry w jednym ułamku.

Dlaczego rowerzysta na liczniku widzi inną liczbę niż Ty z $s/t$? Licznik próbuje mówić „teraz". Ty z taśmy i stopera mówisz „na całym odcinku". Oba są prędkościami — innym pytaniem. Na kartce szkolnej, gdy nie ma licznika, obowiązuje $v = s/t$.

Godziny i minuty: $1{,}5\ \text{h} = 90\ \text{min} = 5400\ \text{s}$. Zapis $1{,}5\ \text{min}$ to półtorej minuty = 90 s, nie 1,5 s. Ta pomyłka psuje całe zadanie o rząd wielkości.

W autobusie tablica „50" to km/h. 50 km/h ≈ 14 m/s. Jeśli w zadaniu wypadnie 50 m/s, to już pociąg albo błąd ×3,6.

📌 W pigułce

$v = s/t$ w ruchu prostoliniowym; SI: m/s.
km/h ↔ m/s przez $3{,}6$ (km/h ma większą liczbę).
Przelicz czas zanim dzielisz.
Wynik musi przejść test życia: rower, bieg, autobus.

🎒 Zadania

Zadanie 2.2.1. Autobus: $s = 240\ \text{m}$, $t = 12\ \text{s}$. Policz $v$ w m/s i w km/h.

Pokaż rozwiązanie

$v = 240/12 = 20\ \text{m/s}$. $20 \cdot 3{,}6 = 72\ \text{km/h}$. Sens: droga raczej trasa za miastem niż w środku miasta (tam jeździ się wolniej) — OK. Błąd: $12/240$.

Zadanie 2.2.2. Ile sekund zajmie przebiegnięcie $100\ \text{m}$ ze średnią $8\ \text{m/s}$?

Pokaż rozwiązanie

$t = s/v = 100/8 = 12{,}5\ \text{s}$. Błąd: $8/100$.

Zadanie 2.2.3. $v = 54\ \text{km/h}$, czas $20\ \text{s}$. Jaka droga w metrach?

Pokaż rozwiązanie

$54 / 3{,}6 = 15\ \text{m/s}$. $s = 15 \cdot 20 = 300\ \text{m}$. Albo 54 km/h = 54 km na 3600 s → na 20 s: $54 \cdot 20 / 3600 = 0{,}3\ \text{km} = 300\ \text{m}$. Błąd: $54 \cdot 20$ bez przeliczenia.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

[ ] Liczę $v$, $s$ albo $t$ z $v = s/t$.
[ ] Mnożę / dzielę przez $3{,}6$ w dobrą stronę.
[ ] Nie mieszam minut z sekundami w jednym ułamku.
[ ] Odrzucam wynik-absurd (rower 200 m/s).

Ucz się tej jednostki z asystentem