Ruch jednostajny i wykresy
🎯 Po co Ci to?
Tempomat w samochodzie, równe pedałowanie na prostym odcinku, schody ruchome: co sekundę tyle samo metrów. To ruch jednostajny. Na wykresie drogi od czasu — prosta. Na wykresie prędkości od czasu — pozioma linia. Umiesz odczytać $v$ i $s$ z obrazka — jesteś w domu na kartkówce i w dziale o przyspieszeniu.
Bywa, że jedziesz równo, potem stoisz, potem znowu równo. To ruch odcinkami jednostajny — łamana na $s(t)$, „schodki" albo kilka poziomów na $v(t)$.
✅ Czego się nauczysz
Po tej jednostce potrafisz:
- nazwać ruchem jednostajnym taki, w którym droga w jednakowych odcinkach czasu jest stała;
- naszkicować i odczytać $s(t)$ oraz $v(t)$ dla ruchu prostoliniowego jednostajnego;
- zrobić to samo dla ruchu odcinkami jednostajnego.
🔁 Przypomnij sobie
$v = s/t$. Proporcjonalność prosta: linia przez (0, 0) — tu $s \sim t$ przy stałym $v$. Jednostka 1.4: jak czytać osie.
Schody ruchome w galerii: stoisz, a i tak „jedziesz" względem sklepu. Względem stopnia $v = 0$. Względem hali — stała $v$ (jednostajny, dopóki schody nie zwolnią na końcu). Wykres $s(t)$ względem hali: prosta. Wykres $v(t)$: poziomo. Ten sam człowiek, dwa wykresy w dwóch układach — echo 2.1.
Na kartce szkolnej układ jest zwykle „względem ziemi / korytarza". Wtedy jednostajny = równe $\Delta s$ w równych $\Delta t$. Sprawdzasz tabelą, zanim narysujesz „ładną" prostą.
📘 Wyjaśnienie
Definicja słowami podstawy
📐 DEFINICJA — ruch jednostajny: ruch, w którym droga przebyta w jednostkowych przedziałach czasu jest stała.
Po ludzku: co sekundę (albo co minutę) tyle samo metrów. Prędkość się nie zmienia. Czym to NIE jest: „jadę prosto". Możesz jechać prosto i przyspieszać. Jednostajność to sprawa czasu i drogi, nie samego kształtu toru. (Na SP liczymy to na torze prostoliniowym.)
Tabela-test: $\Delta t = 1\ \text{s}$ za każdym razem.
| $t$ (s) | $s$ (m) | $\Delta s$ na 1 s |
|---|---|---|
| 0 | 0 | — |
| 1 | 4 | 4 |
| 2 | 8 | 4 |
| 3 | 12 | 4 |
$\Delta s$ stałe → jednostajny, $v = 4\ \text{m/s}$.
💭 Pomyśl: W kolejnych sekundach drogi: 5 m, 5 m, 7 m. Jednostajny?
Sprawdź odpowiedź
Nie — w trzeciej sekundzie więcej metrów, prędkość wzrosła. To już ruch zmienny (do 2.4–2.5).
Wykres $s(t)$ — linia ukośna
Przy $s = v \cdot t$ i starcie z $s = 0$: prosta z (0, 0). Nachylenie (stromość) to właśnie $v$: im stromiej, tym szybciej.
Odczyt: w chwili $t$ czytasz $s$ z osi pionowej. Przyrost drogi między dwiema chwilami: $\Delta s = v \cdot \Delta t$.
Wykres $v(t)$ — linia pozioma
Prędkość stała: wykres $v$ od $t$ to odcinek poziomy na wysokości $v$. Droga w czasie $\Delta t$ to na tym wykresie pole prostokąta: podstawa $\Delta t$, wysokość $v$, pole $v \cdot \Delta t = s$. Na SP: prostokąt. Nie musisz znać całek.
Odcinkami jednostajny — łamana
Przykład: 10 s idziesz 1 m/s, potem 5 s stoisz, potem 10 s znowu 1 m/s.
- $v(t)$: trzy poziomy — 1, potem 0, potem 1.
- $s(t)$: ukos w górę, poziomy odcinek (droga nie rośnie, gdy $v = 0$), znowu ukos. To łamana, nie jedna prosta.
💭 Pomyśl: Na $s(t)$ widzisz odcinek poziomy. Co robi ciało?
Sprawdź odpowiedź
Spoczywa (w tym układzie) — droga się nie zmienia, $v = 0$. Nie myl z poziomą linią na $v(t)$: tam poziomo przy $v \neq 0$ znaczy „jedzie równo".
Jak czytać $s(t)$ i $v(t)$ — krok po kroku na liczbach
Weź ruch: $v = 4\ \text{m/s}$ przez $6\ \text{s}$, start z $s = 0$.
- Co 1 s droga rośnie o 4 m: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24 m.
- Wykres $s(t)$: prosta z $(0,0)$ do $(6, 24)$. Nachylenie: $\Delta s / \Delta t = 24/6 = 4\ \text{m/s}$ — to ta sama $v$.
- Wykres $v(t)$: poziomo na 4 od 0 do 6. Pole prostokąta: $4 \cdot 6 = 24\ \text{m}$ — ta sama droga.
To nie przypadek. Nachylenie $s(t)$ i wysokość $v(t)$ mówią to samo w ruchu jednostajnym. Pole pod $v(t)$ zbiera drogę.
💭 Pomyśl: Na $s(t)$ odcinek od $t = 2\ \text{s}$, $s = 10\ \text{m}$ do $t = 5\ \text{s}$, $s = 25\ \text{m}$. Jaka $v$? Czy musisz znać, co było przed $t = 2$?
Sprawdź odpowiedź
$\Delta s = 15\ \text{m}$, $\Delta t = 3\ \text{s}$, $v = 5\ \text{m/s}$ na tym odcinku. Historia przed $t = 2$ nie wchodzi do tego rachunku — o ile pytają tylko o ten kawałek. Jeśli ruch był odcinkami różny, liczysz $v$ osobno na każdym poziomie $v(t)$.
Odcinkami jednostajny — jeszcze jeden komplet liczb.
Idziesz 8 s z $v = 1{,}5\ \text{m/s}$, stoisz 4 s, biegniesz 8 s z $v = 3\ \text{m/s}$.
- Droga: $1{,}5\cdot 8 + 0\cdot 4 + 3\cdot 8 = 12 + 0 + 24 = 36\ \text{m}$.
- $v(t)$: trzy półki 1,5 / 0 / 3.
- $s(t)$: ukos, poziom (czas płynie, $s$ stoi), stromszy ukos (szybciej).
📝 Odczyt. Na $v(t)$ poziomo 6 m/s od 0 do 3 s, potem 0 do 5 s. Droga = pole: $6\cdot 3 + 0\cdot 2 = 18\ \text{m}$. Nie: „średnia 3 m/s razy 5 s = 15" — to zakłada błędnie, że obie prędkości trwały tyle samo (po 2,5 s), a naprawdę odcinki mają różny czas trwania (3 s i 2 s); tu akurat średnia z całego czasu to $18/5 = 3{,}6\ \text{m/s}$, nie 3.
Skala osi: ten sam ruch na papierze w kratkę 1 s = 1 cm i na papierze 1 s = 5 mm wygląda pod innym kątem. Kąt z kątomierza kłamie. Liczy się $\Delta s/\Delta t$ z jednostek na osiach.
📐 DEFINICJA — ruch jednostajny prostoliniowy: w równych odstępach czasu ciało przebywa równe drogi; $v$ stała; tor — prosta (na SP: „jedzie równo prosto").
Po ludzku: tempomat i prosta droga. Czym to NIE jest: „w ogóle się nie rusza" (to $v = 0$, szczególny przypadek stałej prędkości). Czym to NIE jest: łuk z stałą „szybkością" na liczniku — tor nie jest prostą, a PP na ten rok trzyma nas przy prostych i łamanych z odcinków prostych.
⚠️ Pułapka
Stromość $s(t)$ to nie „kąt w stopniach z kątomierza na zeszyt" — to $\Delta s/\Delta t$ w jednostkach osi. Inna skala osi → inny kąt, ta sama $v$.
Mylić spoczynek (poziom na $s(t)$) z ruchem jednostajnym (poziom na $v(t)$).
Ściąga wykresów — zanim otworzysz dział 2.5
Zapamiętaj parę zdań jak tabliczkę mnożenia:
| Co widzisz | Co to znaczy |
|---|---|
| $s(t)$ prosta w górę | $v$ stała (jednostajny), nachylenie = $v$ |
| $s(t)$ poziomo | $v = 0$, droga nie rośnie |
| $s(t)$ łamana | odcinkami inna $v$ |
| $v(t)$ poziomo przy $v > 0$ | jedzie równo |
| $v(t)$ na zerze | stoi |
| pole pod $v(t)$ (prostokąt) | droga $s = v \cdot t$ |
💭 Pomyśl: Na $s(t)$ linia idzie w górę, potem w dół do zera. Czy droga maleje? Co się stało z ciałem?
Sprawdź odpowiedź
Droga nie maleje — $s$ w fizyce SP to długość przebyta, rośnie (albo stoi, gdy $v=0$). Jeśli oś opisano jako „położenie na linii" i wraca do startu, to już inna wielkość (położenie), nie droga. W tej książce $s$ na wykresie $s(t)$ w jednostajnym od zera rośnie. Linia w dół na „położeniu" znaczyłaby zawracanie — wtedy droga i tak by rosła. Nie rysuj $s$ spadającego, jeśli $s$ ma być drogą.
Praktyka odczytu: zawsze dwa punkty, $\Delta$ w pionie i poziomie, iloraz, jednostka. Jeden punkt na wykresie nie daje $v$ (nie wiesz, skąd liczyć przyrost).
Rower „odcinkami": 2 min równo 20 km/h, 1 min stoisz na światłach, 2 min znowu 20 km/h. $v(t)$ w km/h i minutach — pamiętaj przeliczyć, gdy liczysz $s$ w km: czas w godzinach. 2 min = $1/30$ h, $s = 20 \cdot (1/30) = 2/3$ km na pierwszym kawałku. To ten sam mechanizm co w metrach i sekundach.
📌 W pigułce
- Jednostajny: równe $\Delta t$ → równe $\Delta s$; $v$ stała.
- $s(t)$ : prosta (przy starcie z $s=0$ zaczyna się w początku układu; gdy $s(0)\neq 0$ , nadal jest prostą, tylko zaczyna się wyżej).
- $v(t)$: poziomo; pole prostokąta = droga.
- Odcinkami: łamana $s(t)$, kilka poziomów $v(t)$.
🎒 Zadania
Zadanie 2.3.1. $v = 8\ \text{m/s}$ stałe, $t = 0$ przy $s = 0$. Ile $s$ po 6 s? Jak wygląda $v(t)$ od 0 do 6 s?
Pokaż rozwiązanie
$s = 48\ \text{m}$. $v(t)$: pozioma na 8 m/s. Błąd: narysować ukos na $v(t)$.
Zadanie 2.3.2. Z wykresu $s(t)$: w 0 s jest 0 m, w 4 s jest 20 m, linia prosta. Podaj $v$, narysuj $v(t)$ na kartce, a potem opisz, co na niej widać.
Pokaż rozwiązanie
$v = 20/4 = 5\ \text{m/s}$, pozioma na 5. Błąd: $4/20$.
Zadanie 2.3.3. 3 s z $v = 2\ \text{m/s}$, potem 3 s spoczynek. Droga całkowita? Kształt $s(t)$?
Pokaż rozwiązanie
$s = 2 \cdot 3 + 0 = 6\ \text{m}$. $s(t)$: ukos 0→6 m na 0–3 s, potem poziom do 6 s. Błąd: $2 \cdot 6 = 12\ \text{m}$ (liczenie spoczynku jak jazdy).
Zadanie 2.3.4 — narysuj wykres. Rowerzysta jedzie ruchem jednostajnym. Drogę zmierzono co dwie sekundy:
| $t$ (s) | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|
| $s$ (m) | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 |
Na kartce w kratkę narysuj wykres $s(t)$: oś pozioma to $t$ w sekundach, pionowa to $s$ w metrach. Podpisz osie razem z jednostkami, dobierz podziałkę (np. 1 cm = 2 s i 1 cm = 5 m), nanieś pięć punktów i połącz je linijką. Potem odczytaj z wykresu prędkość i sprawdź ją na danych z tabeli.
Pokaż rozwiązanie
Pięć punktów leży na jednej prostej, która wychodzi z początku układu — tak wygląda ruch jednostajny rozpoczęty przy $s=0$.
Prędkość z dwóch punktów wykresu, np. $(0\ \text{s};\ 0\ \text{m})$ i $(8\ \text{s};\ 20\ \text{m})$: $v = \Delta s / \Delta t = 20/8 = 2{,}5\ \text{m/s}$.
Kontrola z tabeli: co $2\ \text{s}$ przybywa $5\ \text{m}$, czyli $5/2 = 2{,}5\ \text{m/s}$. Zgadza się.
Cztery typowe błędy rysunkowe: łamana „od ręki" zamiast prostej przez punkty; zamienione osie ($t$ w pionie); podziałka nierówna (odstępy 2 s raz szersze, raz węższe); odczyt $\Delta t / \Delta s = 0{,}4$ zamiast $\Delta s / \Delta t$. Osie bez jednostek to wykres, którego nikt nie odczyta.
🔍 Sprawdź, czy umiesz
- [ ] Definiuję ruch jednostajny słowami: stała droga w równych $\Delta t$.
- [ ] Z $s(t)$ liczę $v$; z $v(t)$ liczę $s$ jako pole prostokąta.
- [ ] Łamaną $s(t)$ czytam jako odcinki z różnym $v$ (w tym zero).
- [ ] Z tabeli pomiarów rysuję wykres $s(t)$ (osie, jednostki, podziałka, punkty) i odczytuję z niego $v$.