Wykresy ruchu zmiennego + pomiar prędkości

🎯 Po co Ci to?

Kartkówka pokazuje wykres $v(t)$: linia idzie w górę. Masz odczytać, o ile wzrosła prędkość i jakie było przyspieszenie. To PP II.9 — czysty odczyt, bez zgadywania historii.

Druga połowa to doświadczenie obowiązkowe: wyznaczasz prędkość z pomiaru drogi i czasu — stoper i taśma albo film / apka. Dział 1 (opis, niepewność, BHP) tutaj się spina.

✅ Czego się nauczysz

Po tej jednostce potrafisz:

z wykresu $v(t)$ dla ruchu prostoliniowego jednostajnie zmiennego odczytać $\Delta v$ i $a$;
jakościowo związać pole pod $v(t)$ z drogą (prostokąt; przy ukosie — „trójkąt albo trapez" tylko jako obraz, bez obowiązku wzoru);
zaplanować i wykonać pomiar $v$ (II.18.b).

🔁 Przypomnij sobie

$a = \Delta v / \Delta t$. Pole prostokąta pod poziomym $v(t)$ = droga (2.3). Pomiar: $v = s/t$ ze średnią z kilku prób (1.3, 1.5).

📘 Wyjaśnienie

Odczyt z $v(t)$

Jednostajnie przyspieszony: $v(t)$ to prosta wznosząca się (nie pozioma). Jednostajnie opóźniony: prosta opadająca. Przykład: w 0 s jest 12 m/s, w 6 s jest 0 m/s — $\Delta v = 0 - 12 = -12\ \text{m/s}$, $a = -12/6 = -2\ \text{m/s}^2$; wartość opóźnienia to 2 m/s², a kierunek zmiany oddaje samo słowo „opóźniony” (nie musisz pisać minusa w wyniku, jeśli podajesz go opisowo).

Odczyt $\Delta v$: weź dwie chwile $t_1$, $t_2$ (łatwo: kreski siatki). Z pionu odczytaj $v_1$, $v_2$. $\Delta v = v_2 - v_1$, $\Delta t = t_2 - t_1$, $a = \Delta v / \Delta t$.

💭 Pomyśl: Wykres: w 0 s jest 2 m/s, w 4 s jest 10 m/s, linia prosta. Jakie $a$? Jaki ruch?

Sprawdź odpowiedź

$\Delta v = 8\ \text{m/s}$, $a = 8/4 = 2\ \text{m/s}^2$, jednostajnie przyspieszony. Błąd: podzielić 10 przez 4 (to nie $v/t$ ze startu od zera — start był od 2 m/s).

Wykres prędkości od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym: prosta wznosi się od dwóch metrów na sekundę w chwili zero do dziesięciu metrów na sekundę w czwartej sekundzie, więc przyrost prędkości osiem metrów na sekundę w ciągu czterech sekund daje przyspieszenie dwa metry na sekundę kwadrat; pole pod linią jest drogą, ale na tym etapie tylko je oglądamy · źródło: opracowanie własne AsLekcyjny

Pole pod $v(t)$: gdy linia pozioma, prostokąt (już umiesz). Gdy linia ukośna, pole to trójkąt albo trapez — jakościowo wiesz, że to nadal droga (więcej czasu przy większej $v$ → więcej metrów). Liczenie $s = at^2/2$ nie jest wymagane. Jeśli nauczyciel każe oszacować kratki — liczysz kratki, nie wzór licealny.

🔬 Doświadczenie II.18.b — prędkość z drogi i czasu

Cel: wyznaczyć wartość prędkości (średniej na odcinku) z pomiaru $s$ i $t$.

Wersja A — analogowa. Taśma (odcinek np. 5 m na korytarzu albo 2 m w sali). Stoper. Rower / bieg / toczenie piłki równo, bez rozpędzania w połowie (inaczej to średnia z ruchu zmiennego — też legalna, byle nazwać to średnią).

Wersja B — cyfrowa. Film z telefonu (statyw albo oparcie o ścianę). Odcinek zaznaczony kredą. Odtwarzanie klatka po klatce albo apka do analizy wideo. Czas z osi filmu, droga z taśmy w kadrze (w kadrze musi być linijka / znaczniki).

Kroki (wspólne):

BHP: wolna przestrzeń, nikt na torze, nie filmuj pod koła.
Zmierz $s$ taśmą; niepewność $\pm 1\ \text{cm}$ albo działka.
Zmierz $t$ (3–5 prób); średnia; niepewność jak w 1.3 (reakcja albo klatka).
$v = s/t$; przelicz na km/h, jeśli porównujesz z rowerowym licznikiem.
Wniosek: „Na odcinku … m średnia prędkość wyniosła … m/s (… km/h)."

Dwa zestawy do pomiaru prędkości: w wersji A na podłodze korytarza leży taśma z podziałką od zera do pięciu metrów, przy starcie i przy mecie stoją znaczniki, a przy mecie osoba ze stoperem; w wersji B telefon stoi na krześle i nagrywa odcinek między dwoma kredowymi znacznikami na podłodze; w obu prędkość liczy się ze wzoru v równa się s przez t, a próby powtarza się od trzech do pięciu razy · źródło: opracowanie własne AsLekcyjny

💭 Pomyśl: Jedna próba: $s = 10{,}0\ \text{m}$, $t = 2{,}1\ \text{s}$. Druga: $t = 1{,}9\ \text{s}$. Co z $v$? Czy rzucać jedną próbę?

Sprawdź odpowiedź

Średni czas $2{,}0\ \text{s}$, $v = 5{,}0\ \text{m/s}$. Nie wyrzucaj „gorszej" próby bez powodu (pomyłka startu — tak; po prostu inny rozrzut — nie). Rozrzut wchodzi w niepewność. Błąd: wybrać tylko szybszą, „bo ładniej".

Jeśli w czasie pomiaru rozpędzasz się, $v = s/t$ to nadal średnia na odcinku — nie kłam, że to „prędkość z prędkościomierza w środku trasy".

Odczyt $a$ z wykresu $v(t)$ — ostrożnie z polem

Gdy $v(t)$ idzie ukośnie w górę (prosta, nie poziomo):

Wybierz dwa punkty na linii, łatwe do odczytu.
$\Delta v$ = różnica wysokości (w m/s).
$\Delta t$ = różnica w poziomie (w s).
$a = \Delta v / \Delta t$.

Jeśli linia startuje z $v = 2\ \text{m/s}$ przy $t = 0$ i dochodzi do $8\ \text{m/s}$ przy $t = 3\ \text{s}$: $\Delta v = 6$, $a = 2\ \text{m/s}^2$. Nie licz $8/3$ — to byłoby $v/t$ od zera, a tu zero prędkości nie było.

Pole pod $v(t)$:

prostokąt (ruch jednostajny): pole = $v \cdot t$ = droga. Pewne.
trójkąt albo trapez (ukośna $v(t)$): na SP mówimy jakościowo „pole to też droga", ewentualnie pole trójkąta jak w matematyce $(\text{podstawa}\times\text{wysokość})/2$, jeśli nauczyciel tak każe. Nie wciągamy $at^2/2$ jako obowiązkowego wzoru fizyki.

💭 Pomyśl: $v(t)$: od 0 do 4 s linia z 0 do 8 m/s (prosta). Jakie $a$? Ile drogi, jeśli wolno policzyć pole trójkąta?

Sprawdź odpowiedź

$a = 8/4 = 2\ \text{m/s}^2$. Pole trójkąta: $(4 \cdot 8)/2 = 16\ \text{m}$. To ta sama droga, którą „nabija" rosnąca $v$. Jeśli nie wolno trójkąta — wystarczy: droga jest większa niż przy stałym 0 i mniejsza niż przy stałym 8 m/s przez 4 s (to byłoby 32 m). 16 leży pośrodku — ma sens.

Doświadczenie II.18.b — droga i czas, potem $v$

Podstawa każe wyznaczyć prędkość z pomiaru drogi i czasu (albo z nagrania). To nie pokaz dla publiczności — to ten sam $v = s/t$ co na kartce, tylko z prawdziwym $\pm$.

Warianty (wybierz jeden, z dorosłym jeśli w domu):

A. Taśma + stoper. Korytarz, 5–10 m, znaczniki. Jedna osoba puszcza / startuje, druga stoi na mecie ze stoperem (albo ta sama z apką, gorzej). Trzy–pięć prób.

B. Wideo. Telefon na krześle, klatki albo apka z czasem. Znacznik mety w kadrze. Zaletą: możesz cofnąć klatkę; wada: trzeba ustawić kadr.

Zapis jak w 1.3 i 1.5: tabela prób, średnia $t$, $s$ z taśmy, $v = s/t$, jednostka, krótki wniosek. Przeliczenie na km/h — tylko do porównania z licznikiem roweru, po $\times 3{,}6$.

Jeśli na odcinku się rozpędzasz, wynik i tak jest średnią. Napisz to w wniosku. Nie udawaj tempomatu.

🛠️ Zaplanuj na kartce: cel, dwa przyrządy z rolą, trzy kroki, miejsce na tabelę 4 prób. Nie wykonuj w ruchu ulicznym.

Szkielet

Cel: $v$ na 8 m korytarza. Taśma — $s$; stoper — $t$. Kroki: odłóż 8 m; puść / biegnij równo jak umiesz; stop na mecie; powtórz. Tabela: próba, $t$. $v = s / t_{\text{śr}}$.

📐 Pole pod $v(t)$ = droga (na SP pewny prostokąt). $a$ z ukosu $v(t)$ = $\Delta v/\Delta t$, nie $v/t$ od zera, gdy $v(0) \neq 0$.

⚠️ Pułapka

Czytać $a$ jako $v/t$ od zera, gdy wykres nie startuje z $v = 0$.

Liczyć pole pod $v(t)$ wzorem $at^2/2$ „bo tak w internecie" — nie na tej lekcji.

W doświadczeniu: mierzyć $s$ krokami, $t$ „na oko". Wtedy to nie II.18.b.

Połączenie wykresu z pomiarem

Wykres $v(t)$ z kartkówki i stoper na korytarzu to to samo pojęcie $v$, tylko inne wejście. Na papierze odczytujesz; na korytarzu tworzysz dwie liczby $s$ i $t$.

Gdy nauczyciel da $v(t)$ przyspieszony (ukośna z 0), możesz:

podać $a$ z dwóch punktów;
powiedzieć, że droga to pole (trójkąt — jeśli wolno; inaczej: „rośnie szybciej niż przy małej stałej $v$").

Gdy sam mierzysz, nie masz $v(t)$ z czujnika (chyba że apka GPS — ostrożnie, błędy). Masz średnią na odcinku. Zapisz to słowem „średnia".

Niepewność czasu dominuje przy krótkim $t$: na 2 s błąd 0,3 s to dużo. Dlatego II.18.b lubi dłuższy odcinek (kilka–kilkanaście metrów), byle równo i bezpiecznie.

💭 Pomyśl: $s = 10{,}00\ \text{m}$ (taśma), $t = 2{,}0\ \text{s} \pm 0{,}3\ \text{s}$. Czy warto pisać $v = 5{,}000\ \text{m/s}$?

Sprawdź odpowiedź

Nie. Czas „pływa" o ~15%. $v \approx 5\ \text{m/s}$ i dopisek o $\pm$ z 1.3 jest uczciwszy. Fałszywe zera to jednostka 1.3 w praktyce ruchu.

📌 W pigułce

Z $v(t)$ ukośnego: $\Delta v$ z osi, $a = \Delta v/\Delta t$.
Pole pod $v(t)$ = droga; na SP pewny jest prostokąt, ukos — jakościowo.
Pomiar $v$: taśma + stoper lub wideo; kilka prób; $v = s/t$.
Średnia z odcinka ≠ obietnica stałej $v$.

🎒 Zadania

Zadanie 2.5.1. $v(t)$: 0 s → 0 m/s, 5 s → 15 m/s, prosta. Podaj $\Delta v$, $a$ i rodzaj ruchu.

Pokaż rozwiązanie

$\Delta v = 15\ \text{m/s}$, $a = 3\ \text{m/s}^2$, jednostajnie przyspieszony.

Zadanie 2.5.2. $v(t)$ poziomo 12 m/s przez 3 s. Jaka droga? Jak liczysz?

Pokaż rozwiązanie

Prostokąt: $s = 12 \cdot 3 = 36\ \text{m}$. To ruch jednostajny (2.3) — tu jako odczyt pola.

Zadanie 2.5.3. Zaplanuj w 4 punktach pomiar prędkości biegu na 20 m telefonem (wideo). Wskaż jedną niepewność.

Pokaż rozwiązanie

(1) Taśmą 20 m, znaczniki w kadrze. (2) Telefon nieruchomy, widać start i metę. (3) Film; czas z klatek / apki; 3 biegi. (4) $v = s/t_{\text{śr}}$. Niepewność: np. $\pm 1$ klatka przy 30 kl./s $\approx 0{,}03\ \text{s}$, plus $\pm 2\ \text{cm}$ taśmy. BHP: nie biegać na kamerzystę.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

[ ] Z ukośnego $v(t)$ liczę $\Delta v$ i $a$.
[ ] Pole prostokąta pod $v(t)$ zamieniam na drogę.
[ ] Wyznaczam $v$ z $s$ i $t$ przyrządami analogowymi albo cyfrowymi.
[ ] Zapisuję wynik z jednostką i nie udaję wzoru licealnego na $s(t)$.

Ucz się tej jednostki z asystentem