Ciężar i spadek swobodny

🎯 Po co Ci to?

Jabłko oderwane od gałęzi nie „wybiera" spadania — Ziemia ciągnie je siłą, którą nazywamy ciężarem. Ta siła ma wzór: $Q = mg$. Spadek bez oporów to ruch z przyspieszeniem $g$, takim samym dla piórka i dla młota — byle nie mieszało się powietrze. Na Ziemi płaska kartka kłamie, że „lżejsze spada wolniej". Zgnieć ją — i prawie dogania kamyk. Na Księżycu David Scott pokazał to bez sporu: pióro i młot razem. To jednostka, w której masa i ciężar przestają się mylić, a dział 2 (wzory ruchu przyspieszonego) wraca w pionie.

✅ Czego się nauczysz

Po tej lekcji potrafisz:

  • stosować $Q = mg$ ($g \approx 10\ \text{m/s}^2$, w nawiasie $9{,}8$);
  • odróżnić masę od ciężaru liczbowo, nie tylko słowem;
  • opisać spadek swobodny jako ruch jednostajnie przyspieszony z $a = g$ (bez oporów);
  • wyjaśnić, czemu $a$ nie zależy od masy — i czemu na Ziemi czasem wydaje się, że zależy (opór powietrza);
  • liczyć $v$ w spadku ze spoczynku ($v = g t$) i wiedzieć, że droga rośnie coraz szybciej — bez liczenia jej wzorem.

🔁 Przypomnij sobie

§3.4: $F_w = ma$; masa w kg; $1\ \text{N} = 1\ \text{kg}\cdot\text{m/s}^2$. Dział 2: ze spoczynku przy stałym $a$ prędkość rośnie jak $v = a t$ (drogi wzorem nie liczymy — §2.4). §3.1: ciężar to strzałka w dół; siłomierz ją mierzy.

💭 Pomyśl: Dwa kamienie, $1\ \text{kg}$ i $3\ \text{kg}$, puszczone razem z tej samej wysokości, bez oporu powietrza. Który uderzy pierwszy?

Sprawdź odpowiedź

Razem. Cięższy ma większy ciężar ($Q = mg$ trzy razy większe), ale też trzy razy większą masę — bezwładność „zjada" nadwyżkę siły. $a = Q/m = mg/m = g$. Masa się skraca. To nie magia — to II zasada plus wzór na $Q$.

📘 Wyjaśnienie

Wzór na ciężar

📐 DEFINICJA — ciężar (siła ciężkości): $Q = m g$, gdzie $m$ jest masą, a $g$ przyspieszeniem ziemskim (przyspieszeniem spadku swobodnego). $g \approx 10\ \text{m/s}^2$ (dokładniej około $9{,}8\ \text{m/s}^2$; w zadaniach szkolnych zwykle $10$, chyba że treść poda inaczej). $Q$ ma jednostkę niutona. Zwrot: pionowo w dół, ku Ziemi.

Po ludzku: ile niutonów „ciągnie w dół". Czym to NIE jest: $Q$ to nie masa. $m = 2\ \text{kg}$ nie równa się $2\ \text{N}$. Przy $g = 10\ \text{m/s}^2$ jest $Q = 20\ \text{N}$.

Na Księżycu $g$ jest około sześć razy mniejsze — ta sama masa, mniejszy ciężar. Dlatego astronauta w skafandrze skacze „łatwiej", choć masa skafandra została.

ciężar to siła: Q = m · gna Ziemina KsiężycuQ = 1 NQ około 6 razymniejszem = 0,1 kgm = 0,1 kgmasa TA SAMA, ciężar innyQ = 0,1 kg · 10 m/s² = 1 Nkilogramy zostają wadze, niutony siłomierzowi
Z lewej jabłko na Ziemi: w jego środku masy zaznaczona kropka, a przez nią biegnie pionowa linia działania, wzdłuż której spod owocu wychodzi w dół długa strzałka ciężaru równego jednemu niutonowi. Z prawej to samo jabłko na Księżycu: kropka środka masy i masa podpisane tak samo, zero i jedna dziesiąta kilograma, ale strzałka ciężaru jest dokładnie sześć razy krótsza. W ramce rachunek: masa razy przyspieszenie ziemskie daje ciężar jeden niuton · źródło: opracowanie własne AsLekcyjny

🧮 Przykład. $m = 5\ \text{kg}$, $g = 10\ \text{m/s}^2$: $Q = 5\times 10 = 50\ \text{N}$. Przy $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$: $Q = 5\times 9{,}8 = 49\ \text{N}$ — blisko, dlatego $10$ jest wygodnym przybliżeniem.

Siłomierz z §3.1, gdy wisisz ciało pionowo, pokazuje właśnie $Q$ (w spoczynku względem haka). Waga pokazuje $m$. Iloraz $Q/m$ powinien wyjść blisko $g$ — to most między doświadczeniem II.18.c a tą jednostką.

Spadek swobodny: $a = g$, bez oporów

📐 DEFINICJA — spadek swobodny: ruch ciała pod wpływem samej siły ciężkości (opory pominięte). Wtedy $F_w = Q = mg$, więc $a = F_w/m = g$. To ruch jednostajnie przyspieszony z przyspieszeniem $g$, niezależnym od masy.

Po ludzku: spadasz jak kamień w próżni — coraz szybciej, co $1\ \text{s}$ o około $10\ \text{m/s}$. Czym to NIE jest: spadek z otwartym spadochronem, lot piórka w sali, jazda na rowerze z górki z tarciem — tam $F_w \neq Q$.

Ze spoczynku prędkość rośnie równomiernie:

$$v = g t.$$

Po $1\ \text{s}$: $v \approx 10\ \text{m/s}$; po $2\ \text{s}$: $v \approx 20\ \text{m/s}$. Droga w tym samym czasie rośnie coraz szybciej (w drugiej sekundzie kamień przelatuje więcej niż w pierwszej), ale jej wzoru na tym etapie nie liczymy — tak samo jak w §2.4.

bez oporów spadają razemt = 0po chwilituż nad ziemiąw każdej klatce obie kule na tej samej wysokościdlaczego? bo a = Q/mQaQaQ różne — a jednakowea = g, niezależnie od masy — bez oporów
Trzy klatki filmu z dwiema kulami o różnych rozmiarach, puszczonymi razem bez oporu powietrza: na starcie, po chwili i tuż nad ziemią. W każdej klatce obie kule są na tej samej wysokości, a odstępy między klatkami rosną, bo spadek jest ruchem przyspieszonym. W dolnym panelu widać, dlaczego tak jest: cięższa kula ma dłuższą strzałkę ciężaru, ale obie mają jednakową strzałkę przyspieszenia, bo przyspieszenie równa się ciężar przez masę, czyli g, niezależnie od masy · źródło: opracowanie własne AsLekcyjny

💭 Pomyśl: Skoro $Q$ większej kuli jest większe, czemu nie spada „mocniej"?

Sprawdź odpowiedź

Bo trudniej ją rozpędzić (większa masa). $Q$ i $m$ rosną proporcjonalnie — $g$ zostaje. To ta sama logika co „ta sama $F$, większa $m$, mniejsze $a$", tylko tu $F$ nie jest ta sama: większa masa → proporcjonalnie większy ciężar.

Powietrze kłamie — kartka i Księżyc

Na Ziemi piórko spada wolno, bo opór powietrza jest porównywalny z jego małym ciężarem. Zgnieciona kartka vs płaska: ta sama masa, inny kształt, inny opór — płaska szybuje, zgnieciona leci prawie jak kamyk.

ta sama kartka, inny kształtpłaska kartkazgnieciona w kulkęQdużyopórQmałyopórmasa ta sama, ciężar ten sam — różni je OPÓRto nie tak, że „cięższe lubi spadać szybciej”
Dwa kadry z dwiema identycznymi kartkami. Z lewej kartka płaska: strzałka ciężaru w dół i zwrócona w górę strzałka oporu powietrza, krótsza od ciężaru, bo opór spadającego ciała nigdy go nie przewyższa; kartka opada wolno i jest jeszcze wysoko. Z prawej ta sama kartka zgnieciona w kulkę: strzałka ciężaru dokładnie taka sama, a strzałka oporu dużo krótsza, więc kulka jest już znacznie niżej. Masa jest ta sama, różni je tylko opór powietrza · źródło: opracowanie własne AsLekcyjny

🤯 Ciekawostka (Księżyc). W 1971 r. na Księżycu David Scott puścił pióro i młot: uderzyły razem. Brak atmosfery ≈ brak oporu ≈ prawdziwy spadek swobodny. Film z misji Apollo 15 krąży w sieci — warto zobaczyć po tym, jak umiesz powiedzieć, czemu tak miało być.

Apollo 15: pióro i młot spadają razempióromłotaato samo przyspieszenie dla obu ciałbrak atmosfery = brak oporu = spadek swobodny
Szkic sceny z misji Apollo piętnaście: astronauta w skafandrze stoi na regolicie, a obok niego pióro i młot puszczone z tej samej wysokości. Pod każdym z nich narysowana jest strzałka przyspieszenia i obie mają dokładnie tę samą długość, bo bez atmosfery nie ma oporu powietrza i oba ciała spadają tak samo · źródło: opracowanie własne AsLekcyjny

🔬 Zrób to sam

Kartka płaska i zgnieciona (dom / klasa)

  1. Dwie identyczne kartki. Jedną zgnieć w kulkę.
  2. Puść jednocześnie z tej samej wysokości (na krześle stań stabilnie).
  3. Która pierwsza? Powtórz. Wniosek: różnica to opór, nie masa (masy prawie równe).
  4. Opcja: mały kamyk i zgnieciona kartka — bliżej siebie niż kamyk i płachta.

Nie skacz z wysokości. Nie zrzucaj niczego z okna na chodnik.

Siłomierz + waga (domknięcie II.18.c)

Zważ kilka ciał, zmierz $Q$ siłomierzem, policz $Q/m$. Wynik ≈ $10\ \text{N/kg}$, czyli $10\ \text{m/s}^2$. Niepewność z działu 1 zostaje w grze: nie oczekuj dokładnie $9{,}81$.

⚠️ Uwaga, pułapka

$m = Q$. Nigdy. Inne jednostki, inne pojęcia.

„Cięższe spada szybciej" jako prawo. Bez oporów — fałsz. Z oporami — bywa wygląd taki dla piórka, nie dla dwóch kamieni.

$g$ w kilogramach. $g$ to przyspieszenie ($\text{m/s}^2$), nie siła.

Spadek z $v_0 \neq 0$. Jeśli rzucasz w dół, kamień startuje z prędkością początkową i przez cały czas przyspiesza tak samo ($a = g$). W zadaniach „puszczono" zwykle znaczy, że startuje z zera.

Ciężar na wadze w windzie. W tym kursie nie wchodzimy w „pozorny ciężar". Waga w spoczynku na Ziemi ≈ masa; siłomierz w spoczynku ≈ $Q$.

📐 Definicje tej lekcji

📐 DEFINICJA — ciężar: $Q = m g$; $g \approx 10\ \text{m/s}^2$ ($9{,}8$).

📐 DEFINICJA — spadek swobodny: tylko ciężar, $a = g$, niezależnie od masy; ze spoczynku $v = g t$ (drogi wzorem nie liczymy — §2.4).

📌 Najważniejsze w pigułce

  • $Q = mg$; masa w kg, ciężar w N; $g \approx 10$ (można $9{,}8$).
  • Bez oporów wszystkie ciała spadają z $a = g$.
  • Pióro vs młot na Księżycu; kartka płaska vs kulka na Ziemi = opór.
  • Wzory ruchu z działu 2 działają w pionie z $a = g$.

🎒 Zadania

Zadanie 3.6.1. $m = 2\ \text{kg}$. (a) $Q$ przy $g = 10\ \text{m/s}^2$? (b) Przy $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$? (c) Jaka masa ma ciężar $30\ \text{N}$ przy $g = 10$?

Pokaż rozwiązanie

(a) $Q = 20\ \text{N}$. (b) $Q = 19{,}6\ \text{N}$. (c) $m = Q/g = 30/10 = 3\ \text{kg}$.

Zadanie 3.6.2. Kamień o masie $2\ \text{kg}$ puszczono z spoczynku, opory pomijamy, $g = 10\ \text{m/s}^2$. (a) Prędkość po $3\ \text{s}$? (b) Ciężar tego kamienia? (c) Czy kamień $5\ \text{kg}$ spadałby z innym przyspieszeniem niż kamień $1\ \text{kg}$?

Pokaż rozwiązanie

(a) $v = 10\times 3 = 30\ \text{m/s}$ w dół (co sekundę o $10\ \text{m/s}$ więcej). (b) $Q = mg = 2\times 10 = 20\ \text{N}$. (c) Nie — $a = g$ niezależnie od masy (bez oporów). Drogi w takim ruchu nie liczymy wzorem — to liceum (§2.4).

Zadanie 3.6.3. Płaska kartka spada wolniej niż zgnieciona. Czy to łamie $a = g$? Co dodać do rysunku sił na płaskiej kartce?

Sprawdź odpowiedź

Nie łamie spadku swobodnego, bo to nie jest spadek swobodny: jest opór powietrza w górę. $F_w = Q - F_{\text{oporu}} < Q$, więc $a < g$. Na rysunku: $Q$ w dół i strzałka oporu w górę (na płaskiej — długa).

🔍 Sprawdź, czy umiesz

  • [ ] Liczyć $Q = mg$ i nie mylić kg z N.
  • [ ] Powiedzieć, że w spadku swobodnym $a = g$ dla każdej masy.
  • [ ] Użyć $v = gt$ ze spoczynku i wiedzieć, że droga rośnie coraz szybciej.
  • [ ] Wyjaśnić kartkę i pióro na Księżycu bez sprzeczności.

Ucz się tej jednostki z asystentem