Zasada zachowania energii

🎯 Po co Ci to?

Zjeżdżalnia na placu. Na górze stoisz (prawie zero prędkości, duża wysokość). Na dole leci jak z procy (duża prędkość, mała wysokość). Nikt po drodze nie dokłada Ci silnika. Skąd prędkość? Z przemiany: $E_p$ spada, $E_k$ rośnie, suma — gdyby nie tarcie — stałaby w miejscu.

To jest zasada zachowania energii w wersji na plac zabaw. Z tarciem część energii „ucieka" w rozgrzanie zjeżdżalni i Twoich nogawek. Nie ginie z Wszechświata — staje się ciepłem. Dział 5 opowie, czym to ciepło jest. Tu wystarczy: mechaniczna suma $E_k+E_p$ już nie jest stała, gdy jest tarcie.

✅ Czego się nauczysz

Po tej jednostce potrafisz:

wykorzystać zasadę zachowania energii do opisu spadania, zjeżdżalni i huśtawki;
policzyć prędkość na dole z $mgh = \tfrac12 mv^2$ (bez tarcia);
odróżnić tor bez tarcia (suma $E_k+E_p$ stała) od toru z tarciem (część → ciepło);
zapowiedzieć dział 5 jednym zdaniem: tarcie nie niszczy energii, zmienia jej postać.

🔁 Przypomnij sobie

$E_k = \tfrac12 mv^2$, $E_p = mgh$, $g \approx 10$. Praca = zmiana energii. Tarcie (dział 3) to siła oporu — działa przeciw ruchowi, więc zabiera energię mechaniczną.

📘 Wyjaśnienie

Wyobraź sobie wózek na gładkich szynach (tarcie ≈ 0). Start ze szczytu, $h = 5\ \text{m}$, $v = 0$.

Na górze: $E_p = mgh$, $E_k = 0$. Suma $E = mgh$.

Na dole: $E_p = 0$ (jeśli tam jest zero), $E_k = \tfrac12 mv^2$. Suma $E = \tfrac12 mv^2$.

Zasada: bez oporów $E_k + E_p$ na górze = $E_k + E_p$ na dole (i w każdym punkcie po drodze). Stąd $mgh = \tfrac12 mv^2$, masa się skraca, $v = \sqrt{2gh}$.

📐 DEFINICJA — zasada zachowania energii mechanicznej: gdy można zaniedbać tarcie i opór powietrza, suma energii kinetycznej i potencjalnej ciała (układu) jest stała. Energia przelewa się między $E_k$ a $E_p$, ale nic z tej puli nie znika.

Po ludzku: zjeżdżasz — tracisz wysokość, zyskujesz prędkość; podjeżdżasz pod następną górkę — odwrotnie. Licznik „$E_k$ plus $E_p$" się nie rusza. Czym to NIE jest: obietnicą, że wózek wjedzie na wyższą górkę niż ta, z której ruszył. Bez dokładek energii nie wjedzie. I nie jest to „energia się nie zmienia nigdy" — z tarciem pula mechaniczna maleje.

💭 Pomyśl: Huśtawka. Puszczasz ją z wysokości barku, bez popychania. Czy po drugiej stronie wzniesie się wyżej niż bark? Dlaczego w rzeczywistości z każdym wahnięciem jest niżej?

Sprawdź odpowiedź

Bez tarcia i oporu powietrza: nie wyżej niż start — w najlepszym razie tak samo wysoko (zamiana $E_p \to E_k \to E_p$). W rzeczywistości łańcuchy, powietrze i oś zabierają energię mechaniczną (zamieniają w ciepło, cichy szum). Dlatego amplituda maleje — musisz dokładać nogami, czyli wykonywać pracę.

Profil gładkiego toru: wysoki start A, najniższy punkt B, mniejsza górka C i niższy od niej punkt D. Przy punktach A, B i C stoją małe słupki energii w ramkach tej samej wysokości. W punkcie A cała ramka wypełniona jest zieloną energią potencjalną, w punkcie B pomarańczową kinetyczną, a w punkcie C obie dzielą ramkę. Skośna strzałka od A do B podpisana jest przemianą energii potencjalnej w kinetyczną, a strzałka od B do C przemianą odwrotną. U góry napis mówi, że bez tarcia suma energii kinetycznej i potencjalnej jest stała · źródło: opracowanie własne AsLekcyjny

Z tarciem — zapowiedź działu 5

Zjedź nią kilka razy pod rząd — nogawki i dłonie robią się cieplejsze. Tarcie wykonało pracę (siła oporu wzdłuż drogi, przeciw ruchowi) i nie zwiększyło $E_k$ — przeciwnie, część $E_p$ nie wróciła do $E_k$. Ta część poszła na ogrzanie powierzchni: wzrost energii chaotycznego ruchu cząsteczek. W dziale 5 nazwiemy to zmianą energii wewnętrznej przez pracę tarcia albo przez ciepło.

Na razie reguła praktyczna:

Model bez tarcia: $E_k + E_p = \text{const}$; na dole największa $v$.
Z tarciem: $E_k + E_p$ na dole mniejsza niż na górze; brakującą część „czujesz" jako ciepło; wózek nie wjedzie na taką samą wysokość po drugiej stronie.

Nie liczymy tu „ile dżuli poszło w ciepło" wzorem — nie mamy jeszcze do tego narzędzi. Wystarczy jakość i nierówność: $v_{\text{z tarciem}} < \sqrt{2gh}$.

📝 Przykład krok po kroku — zjeżdżalnia bez tarcia

Start $h = 1{,}25\ \text{m}$, $v = 0$, $g \approx 10$. Jaka $v$ na dole?

$$ mgh = \frac12 m v^2 \quad \Rightarrow \quad v^2 = 2gh = 2 \cdot 10 \cdot 1{,}25 = 25 \quad \Rightarrow \quad v = 5\ \text{m/s}. $$

Masa niepotrzebna. $5\ \text{m/s}$ to $18\ \text{km/h}$ — szybki rower w parku, nie samolot. Wynik ma sens.

🛠️ Teraz Ty: Z jakiej wysokości (bez tarcia) trzeba puścić wózek, by na dole miał $10\ \text{m/s}$? $g \approx 10$.

Pokaż rozwiązanie

$v^2 = 2gh \Rightarrow 100 = 20 h \Rightarrow h = 5\ \text{m}$. Pięć metrów — balkon, nie dach wieżowca. $10\ \text{m/s}$ to $36\ \text{km/h}$.

Piłka, schody, huśtawka — trzy obrazy tej samej zasady

Piłka rzucona w górę. Na starcie (z ręki) masz $E_k$; na szczycie $v = 0$, cała energia (bez oporu) siedzi w $E_p$; w drodze w dół znowu $E_k$. Szczyt nie może być wyżej, niż pozwala startowa suma. Opór powietrza trochę zjada pulę — kolejny rzut nie sięga identycznie, jeśli nie dodasz pracy ręką.

Schody w dół. Idziesz z trzeciego piętra. $E_p$ maleje. Gdzie idzie? Częściowo w $E_k$ (gdy przyspieszasz na prostej), ale zwykle idziesz jednostajnie — wtedy mięśnie i tarcie stóp hamują, zamieniając ubytek $E_p$ w energię wewnętrzną (ciepło w mięśniach i podeszwach). Dlatego zejście Cię męczy, choć „energia potencjalna spada sama": kontrolujesz spadek pracą.

Huśtawka z popchnięciem. Każde kopnięcie nogą to praca dokładana do puli. Bez niej amplituda siada. Z nią możesz chwilowo wyjść wyżej niż sam start — bo dodałeś energię z chemii kanapki, nie złamałeś zasady.

💭 Pomyśl: Skaczesz na trampolinie. W najniższym punkcie (materiał wklęśnięty) $E_p$ grawitacji jest najmniejsza, a jednak zaraz wylatujesz wysoko. Jaka energia „trzyma wtedy kasę", skoro $E_k$ w najniższym punkcie bywa mała (na chwilę stoisz)?

Sprawdź odpowiedź

Energia potencjalna sprężystości materiały trampoliny (jakościowo, jak guma z 4.3). Grawitacyjna $E_p$ jest niska, kinetyczna chwilowo też, ale tkanina jest napięta — tam siedzi zapas. Gdy płótno wraca, oddaje go w $E_k$, potem w $E_p$ grawitacji na górze skoku. Suma form energii się zgadza; tarcie i „plusk" powietrza powoli uszczuplają pulę mechaniczną.

🔬 Eksperyment myślowy — dwie zjeżdżalnie

Dwie zjeżdżalnie: krótka stroma i długa łagodna, ta sama różnica wysokości, start z spoczynku. Bez tarcia: $v$ na dole taka sama (zależy od $h$, nie od kształtu). Z tarciem: dłuższa zwykle bardziej spowolni (dłuższa droga tarcia) — na dole ciszej, wolniej. Kształt zaczyna mieć znaczenie dopiero z oporami.

📝 Jeszcze jeden rachunek — dwie wysokości

Start $h_1 = 5\ \text{m}$, $v = 0$. Pytanie: jaka $v$ na wysokości $h_2 = 1{,}8\ \text{m}$ (nie na samym dole), bez tarcia? $g \approx 10$.

Ubytek $E_p$: $mg(5 - 1{,}8) = mg \cdot 3{,}2$. To staje się $E_k$: $$ \frac12 v^2 = g \cdot 3{,}2 = 32 \quad \Rightarrow \quad v^2 = 64 \quad \Rightarrow \quad v = 8\ \text{m/s}. $$ Nie musisz zjeżdżać do zera, żeby użyć zasady — liczysz różnicę $h$. Na dole byłoby $v = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 5} = 10\ \text{m/s}$; po drodze, wyżej, wolniej. To ten sam obrazek ze słupkami z 4.3.

⚠️ Uwaga, pułapka

„Energia kinetyczna się zachowuje." Nie. Zachowuje się suma (bez tarcia). $E_k$ na zjeżdżalni wręcz ma się zmieniać.
Liczenie $v$ z $s/t$ zamiast z energii. Da się, ale to inna historia (ruch przyspieszony). Tu droga po łuku nie jest $h$.
Wjazd wyżej niż start bez silnika, bez sprężyny, bez kogoś kto pcha — złamanie zasady. Kolejka górska ma napęd na początku; dalej jeździ z zapasu $E_p$.

📐 Definicje tej lekcji

Zasada zachowania energii mechanicznej: bez tarcia $E_k + E_p = \text{const}$.
Z tarciem: ubytek energii mechanicznej pojawia się jako ciepło (energia wewnętrzna) — szczegół w dziale 5.

📌 Najważniejsze w pigułce

Bez tarcia: wysokość ↔ prędkość, $mgh = \tfrac12 mv^2$, $v = \sqrt{2gh}$.
Największa $v$ w najniższym punkcie.
Tarcie: część $E_p$ nie wraca do $E_k$; zjeżdżalnia i ubranie się grzeją.
Huśtawka sama z siebie nie bije rekordu wysokości.

🎒 Zadania

Zadanie 4.4.1. Puszczasz kulkę z $h = 0{,}8\ \text{m}$. $v$ na dole bez tarcia? $g \approx 10$.

Pokaż rozwiązanie

$v^2 = 2 \cdot 10 \cdot 0{,}8 = 16$, $v = 4\ \text{m/s}$. Błąd: $v = 2gh = 16$ (zapomniany pierwiastek) albo $v = gh$.

Zadanie 4.4.2. Kulka $0{,}2\ \text{kg}$ na górze ma $E_p = 6\ \text{J}$ i $E_k = 0$. Na dole (bez tarcia) $E_p = 1\ \text{J}$. Ile $E_k$ na dole? Jaka $v$?

Pokaż rozwiązanie

Suma $6\ \text{J}$ = const, więc $E_k = 6 - 1 = 5\ \text{J}$. $\tfrac12 \cdot 0{,}2 \cdot v^2 = 5 \Rightarrow 0{,}1 v^2 = 5 \Rightarrow v^2 = 50 \Rightarrow v \approx 7{,}1\ \text{m/s}$. Nie musisz mieć $h$ wprost — słupki energii wystarczą.

Zadanie 4.4.3. Ta sama kulka, ale z tarciem na dole $E_k = 3\ \text{J}$ (przy $E_p = 1\ \text{J}$). Ile energii „poszło w ciepło"? Czy $v$ jest większa czy mniejsza niż w zadaniu 4.4.2?

Pokaż rozwiązanie

Suma mechaniczna na dole $4\ \text{J}$, na górze $6\ \text{J}$ → $2\ \text{J}$ w ciepło. $E_k$ mniejsza ($3$ zamiast $5$) → $v$ mniejsza.

Zadanie 4.4.4. Wyjaśnij, czemu kolejka górska ma najwyższy zjazd na początku, a nie na końcu.

Pokaż rozwiązanie

Napęd daje zapas $E_p$ na pierwszym szczycie. Dalej, nawet z tarciem, starczy na niższe górki. Gdyby najwyższy szczyt był na końcu, bez dodatkowego napędu wózek by na niego nie wjechał (za mało energii mechanicznej, zwłaszcza z tarciem).

🔍 Sprawdź, czy umiesz

[ ] Zapisać $E_k + E_p = \text{const}$ i powiedzieć, kiedy to wolno.
[ ] Wyliczyć $v$ z wysokości (bez tarcia).
[ ] Opisać zjeżdżalnię z tarciem: co się dzieje z „brakującymi" dżulami.
[ ] Związać huśtawkę / kolejkę z zasadą zachowania.

Ucz się tej jednostki z asystentem