Wyznaczanie gęstości

🎯 Po co Ci to?

Wzór $\rho = m/V$ jest niczym, jeśli nie umiesz zmierzyć $m$ i $V$. Kostkę masła zmierzysz linijką. Kamyk z rzeczki — nie, bo nie jest prostopadłościanem. Podstawa (V.9.a) wymaga obu dróg: kształt regularny (waga + przymiar) i nieregularny (waga + ciecz + cylinder miarowy). To ten sam przepis, którego użyjesz, gdy nauczyciel da Ci „tajemniczy" przedmiot i każe zgadnąć substancję z tabeli gęstości.

✅ Czego się nauczysz

Po tej jednostce potrafisz:

• zaplanować pomiar gęstości bryły regularnej i nieregularnej;
• odczytać objętość w cylindrze z meniskiem (oczy na wysokości tafli);
• policzyć $\rho$ z pomiarów i ocenić, czy wynik ma sens;
• opisać doświadczenie tak, jak w dziale 1: cel, przyrządy, kroki, niepewność.

🔁 Przypomnij sobie

§6.1: $\rho = m/V$, woda ≈ $1\ \text{g/cm}^3$. Dział 1: wynik pomiaru to liczba plus jednostka plus niepewność; nie mieszasz jednostek w jednym wzorze. Objętość prostopadłościanu $V = a\cdot b\cdot c$; walca $V = \pi r^2 h$ (jeśli dojdzie). $1\ \text{ml} = 1\ \text{cm}^3$.

💭 Pomyśl: Masz kamyk, wagę kuchenną i kuchenny dzbanek z podziałką w mililitrach. Jak — bez linijki — dostać objętość kamyka?

Sprawdź odpowiedź

Wrzucasz kamyk do znanej objętości wody: poziom wzrasta o objętość kamyka (Archimedes jakościowo: ciało wypiera tyle cieczy, ile samo zajmuje pod wodą — tu kamyk tonie, więc $V_{\text{wyparte}} = V_{\text{kamyka}}$). Różnica odczytów przed i po to $V$. Potem $m$ z wagi, $\rho = m/V$. Dzbanek jest grubym cylindrem — w szkole użyjesz cylindra miarowego, bo podziałka jest gęstsza.

📘 Wyjaśnienie

Dwie drogi, jeden wzór. Różni się tylko skąd bierzesz $V$.

Kształt regularny — waga i linijka

Przedmiot, którego wymiary da się zmierzyć przymiarem: kostka, prostopadłościan, walec, kula (średnica).

1. Zmierz masę $m$ na wadze (suche ciało).
2. Zmierz krawędzie (kilka razy, weź średnią — dział 1).
3. Policz $V$ ze wzoru geometrycznego.
4. $\rho = m/V$.

Jednostki: jeśli $m$ w gramach, $V$ w $\text{cm}^3$ → $\rho$ w $\text{g/cm}^3$. Albo wszystko w SI.

Pułapka wymiaru: zmierz trzy krawędzie kostki, nawet jeśli „wygląda na sześcian". Tani klocek bywa 2,0 × 2,0 × 1,9 cm.

Kształt nieregularny — waga, woda, cylinder

Ciało tonące (kamyk, śruba, gwóźdź):

1. Masa $m$ na wadze — przed moczeniem, suche.
2. Do cylindra wlej wodę; odczytaj $V_1$ (menisk — niżej).
3. Zanurz ciało całkowicie (nić / cienki drucik, jeśli grozi plusk). Odczytaj $V_2$.
4. $V = V_2 - V_1$.
5. $\rho = m/V$.

Ciało, które pływa (korek, styropian), tą metodą nie oddaje swojej objętości, bo nie jest całe pod wodą. Wtedy: zatop je cienką igłą / obciąż znaną masą (to już wariant szkolny z nauczycielem) albo zmierz w cieczy, w której tonie. Na sprawdzianie SP klasyczny kamyk tonie — i o to chodzi.

Menisk — odczyt, który psuje wynik po cichu

Woda w szklanej rurce tworzy wklęsłą taflę (pamiętasz §6.2: woda lubi szkło). Objętość czyta się w najniższym punkcie menisku, okiem na wysokości tafli — nie z góry (za dużo) i nie z dołu (za mało).

Błąd 2 ml przy $V = 20\ \text{ml}$ to 10% gęstości — substancja z tabeli „wskakuje" na sąsiada. Dlatego cylinder, nie słoik po ogórkach.

📝 Przykład krok po kroku. Śruba: $m = 15{,}6\ \text{g}$. Cylinder: $V_1 = 30{,}0\ \text{cm}^3$, po zanurzeniu $V_2 = 32{,}0\ \text{cm}^3$. Gęstość?

$V = 32{,}0 - 30{,}0 = 2{,}0\ \text{cm}^3$ , $\rho = 15{,}6 / 2{,}0 = 7{,}8\ \text{g/cm}^3$ . To rząd żelaza / stali. Sens: śruba nie jest z drewna (0,5) ani z ołowiu (11).

💭 Pomyśl: Kolega waży kamyk mokry, po wyjęciu z cylindra. Jak to zniekształci $\rho$?

Sprawdź odpowiedź

Mokry kamyk jest cięższy (woda na powierzchni). $m$ za duże, $V$ z wypierania w porządku → $\rho$ zawyżone. Dlatego masa przed kąpielą, suche ciało. (Jeśli kamyk jest porowaty i nasiąkł w środku, $V$ z wypierania też kłamie — w SP wybieramy lity kamień.)

🔬 Zrób to sam — doświadczenie V.9.a

Cel. Wyznaczyć gęstość przedmiotu regularnego i nieregularnego; porównać z tabelą.

Przyrządy. Waga (szkolna albo kuchenna z działką 1 g), przymiar, cylinder miarowy, woda, nić, ręcznik, dwa przedmioty: klocek i kamyk.

Przebieg — regularny. Zmierz $m$; zmierz $a,b,c$ trzykrotnie; licz $V$ i $\rho$; zapisz $\rho \pm$ zgrubna niepewność (np. z dokładności wagi i linijki — dział 1, bez wielkich wzorów: „waga ±1 g, linijka ±1 mm").

Przebieg — nieregularny. Jak w przepisie wyżej. Cylinder na stole, oczy na menisku. Ciało całkowicie pod wodą, bez pęcherzyków na powierzchni (strząśnij).

Wniosek. Liczba + jednostka + „to jest blisko gęstości … z tabeli". Jeśli wypada 0,9 przy „kamieniu" — szukaj błędu (powietrze, zły menisk, mokra masa), nie nowej skały.

BHP. Szkło cylindra; rozlana woda natychmiast; nic nie wrzucaj z wysokości (pęknięcie). Woda z kranu wystarczy; nie sól, nie olej (inny menisk utrudnia odczyt, a w gęstszej cieczy ciało może zacząć pływać zamiast tonąć — wtedy metoda w ogóle nie działa).

Jak nie dać się jednostkom i niepewności

Waga kuchenna często ma działkę $1\ \text{g}$ . Cylinder szkolny — $1\ \text{ml}$ albo $2\ \text{ml}$ . Jeśli $V = V_2-V_1$ wychodzi $3\ \text{ml}$ , a każdy odczyt ma niepewność rzędu działki, wynik $\rho$ ma duży rozrzut. Remedium: większy kamyk (większe $V$), węższy cylinder (gęstsza podziałka), kilka powtórzeń i średnia.

Przeliczanie, które ratuje życie na sprawdzianie:

• $1\ \text{ml} = 1\ \text{cm}^3$
• $1\ \text{l} = 1000\ \text{cm}^3 = 1\ \text{dm}^3$
• $1\ \text{m}^3 = 10^6\ \text{cm}^3$
• $\rho$ w $\text{g/cm}^3$ × 1000 = $\rho$ w $\text{kg/m}^3$

📝 Przykład — dwie drogi, ten sam klocek. Prostopadłościan $4{,}0 \times 3{,}0 \times 2{,}0\ \text{cm}$, $m = 48\ \text{g}$. (a) $\rho$ z linijki. (b) W cylindrze $V_1 = 50{,}0\ \text{ml}$, po zanurzeniu $V_2 = 74{,}0\ \text{ml}$. Czy metody się zgadzają?

(a) $V = 4\cdot 3\cdot 2 = 24\ \text{cm}^3$ , $\rho = 48/24 = 2{,}0\ \text{g/cm}^3$ . (b) $V = 24{,}0\ \text{ml}$ — to samo, $\rho = 2{,}0\ \text{g/cm}^3$ . Jeśli (b) da 26 ml, szukaj pęcherzyka albo złego menisku, nie nowej fizyki.

💭 Pomyśl: Na sprawozdaniu uczeń napisał $V = 12\ \text{cm}^3$ i $m = 12\ \text{g}$, więc „gęstość 1, czyli woda". Przedmiot był metalową nakrętką. Gdzie najpewniej leży błąd?

Sprawdź odpowiedź

Nakrętka nie jest wodą. Albo $V$ z cylindra jest zawyżone (pęcherzyki, ciało nie całkiem pod wodą, odczyt z góry), albo $m$ z mokrej wagi jest przypadkowo zaniżone, albo pomyłka jednostki (12 kg vs 12 g). Liczba 1,0 g/cm³ przy metalu to czerwona lampka z §6.1 — sprawdź sens, zanim oddasz kartkę.

Mini-protokół na kartkę (dział 1 wraca): cel; tabela $m$, $a,b,c$ albo $V_1,V_2$; obliczenie $\rho$ z jednostką; porównanie z tabelą; źródło niepewności (menisk / działka wagi / krawędź). Bez tabeli pomiarów to nie doświadczenie, tylko zgadywanie.

⚠️ Uwaga, pułapka

Objętość wyparła ≠ masa wody w gramach bez sprawdzenia. Przy wodzie $1\ \text{cm}^3 \approx 1\ \text{g}$, więc różnica mililitrów liczbowo przypomina gramy wypartej wody. To zbieg okoliczności dla wody, nie prawo dla oleju. Ty potrzebujesz objętości ciała, nie masy wody.

Pęcherzyk powietrza na kamyku zawyża $V$ (wypierasz extra powietrze) → $\rho$ za małe.

Złe jednostki: $m$ w kg, $V$ w $\text{cm}^3$ bez przeliczenia → absurd typu $0{,}002\ \text{g/cm}^3$ dla żelaza.

📐 Definicje tej lekcji

• Objętość wyparta — przyrost odczytu cieczy po całkowitym zanurzeniu ciała; dla ciała tonącego bez pęcherzyków równa objętości ciała.
• Menisk — zakrzywienie tafli przy ściance naczynia; odczyt objętości wody: spód wklęsłego menisku, oczy na wysokości tafli.

📌 Najważniejsze w pigułce

• Regularny: $m$ z wagi, $V$ z linijki i geometrii.
• Nieregularny (tonący): $m$ suche, $V = V_2 - V_1$ w cylindrze.
• Menisk: oczy równo z taflą, spód wklęsłości.
• Na końcu zawsze: czy $\rho$ ma sens przy tabeli?

🎒 Zadania

Zadanie 6.3.1. Sześcian o krawędzi $2{,}0\ \text{cm}$ waży $21{,}6\ \text{g}$. Gęstość? Z jaką substancją z tabeli z §6.1 to zgrane?

Pokaż rozwiązanie

$V = 2{,}0^3 = 8{,}0\ \text{cm}^3$. $\rho = 21{,}6/8{,}0 = 2{,}7\ \text{g/cm}^3$ — rząd aluminium. Błąd: $2^2$ zamiast $2^3$.

Zadanie 6.3.2. Kamyk $m = 18{,}0\ \text{g}$. Cylinder 40,0 ml, po wrzuceniu 47,0 ml. Gęstość w $\text{g/cm}^3$.

Pokaż rozwiązanie

$V = 47{,}0 - 40{,}0 = 7{,}0\ \text{ml} = 7{,}0\ \text{cm}^3$. $\rho = 18{,}0/7{,}0 \approx 2{,}6\ \text{g/cm}^3$ (szkło / niektóre skały). Odczyt menisku „na oko z góry" łatwo robi 46 albo 48 — ćwicz.

Zadanie 6.3.3. Chcesz zmierzyć gęstość korka (pływa). Dlaczego sam cylinder z wodą nie wystarczy? Zaproponuj jakościowo remedium (bez nowego wzoru z liceum).

Pokaż rozwiązanie

Korek nie jest cały pod wodą → $V_2-V_1$ to tylko część objętości. Remedium: zatop go (igła, cienki pręt) całkowicie i wtedy odczytaj przyrost; albo użyj cieczy, w której korek tonie. Ważne: nie liczyć objętości z wystającej „góry" na oko.

Zadanie 6.3.4. Klocek regularny: $m = 108\ \text{g}$, wymiary $3{,}0 \times 3{,}0 \times 3{,}0\ \text{cm}$. Potem ten sam klocek w cylindrze: przyrost poziomu 28 ml. Co jest nie tak i którą objętość bierzesz do $\rho$?

Pokaż rozwiązanie

Z geometrii $V = 27\ \text{cm}^3$; z cylindra 28 ml ≈ 28 cm³. Różnica 1 ml to rząd działki / menisku — nie drugi klocek. $\rho \approx 108/27 = 4{,}0\ \text{g/cm}^3$ . Nie uśredniaj z 28 „na siłę", jeśli wiesz, że klocek jest lity i wymiary pewniejsze; albo powtórz menisk. Sprzeczność 27 vs 40 ml już byłaby błędem (pęcherzyk / niecałkowite zanurzenie).

Zadanie 6.3.5. W raporcie uczeń napisał: „gęstość śruby = 7,8" bez jednostki. Co z tym zrobisz jako recenzent z działu 1?

Pokaż rozwiązanie

Wielkość fizyczna bez jednostki jest niepełna. 7,8 g/cm³ to stal; 7,8 kg/m³ to prawie powietrze. Dopisz jednostkę albo pomiar jest bezużyteczny.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• [ ] Wypisać kroki pomiaru dla kostki i dla kamyka.
• [ ] Odczytać menisk na schematycznym rysunku.
• [ ] Policzyć $\rho$ z przykładowych $m$, $V_1$, $V_2$.
• [ ] Wskazać dwa typowe błędy (mokra masa, pęcherzyk, złe jednostki).

---